无约束梁的实验模态及误差分析.pdf

1 无约束梁的实验模态及误差分析无约束梁的实验模态及误差分析1 罗智恒 李建华 张锋伟 宗子坤 唐海艳 甘肃农业大学工学院 兰州 730070 E mail luozhh 摘摘 要 要 本文给出了无约束梁固有频率及振型标准函数的详细推导过程 并求出了 1 2 3 阶的固有频率 利用东昊测试模态分析软件进行实验模态分析得到 1 2 3 阶固有频率和振 型 两者得到的结果基本一致 并对其中产生的误差进行分析及改进 关键词 关键词 无约束梁 实验模态 误差分析 中图分类号 中图分类号 TH113 1 引言引言 模态分析有着广阔的运用领域 并有成熟的理论 1 其中比较常用的有 有限元模态分析 试验模态分析 2 后者可对前者进行修正 3 但目前鲜有对实验模态误差进行分析的 本文 试图以无约束梁为例 对实验模态误差进行分析 2 运动方程推导运动方程推导 现考察一根长度为l并受小的弯曲振动的梁 假设振动发生在梁的对称平面内 如图 1 且梁的厚度和宽度与其长度相比要小得多 根据直梁的弯曲理论 4 得 M dx yd EI 2 2 1 式中E是该梁材料的弹性模量 I是横截面对垂直于振动平面的主轴线的轴惯性矩 M是 在任一截面上的弯矩 坐标轴 弯矩和剪切力的正方向如图 1 所示 图 1 推导梁的弯曲振动运动方程的说明图 式 1 的导数为 1本课题得到甘肃农业大学学生科研训练计划基金 SIT 061309 资助 Wdx dx x M M l M x dx y x dx x F F 2 2 2 2 2 2 2 xw dx dF dx yd EI dx d F dx dM dx yd EI dx d 2 式中 F 是剪切力 xw 是作用在梁长度的垂直方向上的分布载荷 在本问题中 载 荷 xw 是作用在梁dx单元上的惯性力 定义为 2 2 t y g A xw 3 式中 是梁单位体积的重量 A是梁的横截面 g 是重力加速度 gA 表示单位长度 上梁的质量 将 3 式 代入 2 便得出梁的运动方程 假设梁是棱柱形截面 5 即假若EI是常数 则方程有下列形式 0 4 4 2 2 2 x y a t y 4 式中引入 A EIg a 2 5 式中 4 是一偏微分方程 此方程可以这样来求解 设其解为两个因子的乘积 其中第一 个因子只取决于x 第二因子只取决于t 即 tTxXy 6 将式 6 代入式 4 4 4 2 2 2 1 1 dx xXd xX a dt tTd tT 7 在该式中 左边是一个只包含t的单元函数 右边是一个只包含x的单元函数 此两式只有 当它们都等于一个常数时 才能彼此相等 我们把这个常数称为 2 因此得到两个常微 分方程 0 2 2 2 tT dt tTd 8 和 0 2 2 4 4 xX adx xXd 9 已知式 8 的解为 tBtBtT sincos 21 10 常数 是振动的角频率 21 BB 是积分常数 它们取决于振动的初始条件 式 9 的解为 kxCkxCkxCkxCxXcoshsinhcossin 4321 11 3 式中常数 4321 CCCC和 取决于末端条件 而 EIg A a k 2 2 2 4 12 四个积分常数要求四个末端条件 梁的每端各两个 这里末端条件取决于梁末端的固定形式 或支承形式 若梁的末端无约束 则末端条件为 0 0 2 2 0 2 2 lx x dx Xd dx Xd 0 0 3 3 0 3 3 lx x dx Xd dx Xd 13 用这些条件代入式 11 得 0 0 31 42 CC CC 即 231 142 CCC CCC 14 和 0 sin sinh cos cosh 0 cos cosh sin sinh 21 21 CklklCklkl CklklCklkl 15 当式 15 的行列式为零时 即 0coscosh2coscoshsinsinh 2222 klklklklklkl 16 式 15 有一个解 但因为 1sinhcosh1cossin 2222 klklklkl和 所以频率方程 取如下形式 1coshcos klkl 17 上式前三个根为 730 4 1l k 853 7 2l k 996 10 3l k 借助于 12 可计算出相应的固有频率 一旦求得频率方程的根 lkn 后 则根据式 15 之 一 即可求得比值 21 CC以及振型的标准函数如下 sinh sin cosh cos 21 xkxkCxkxkCxX nnnnnnn 18 两端无约束梁的前三个振型 5 如图 3 所示 3 试验模态试验模态 3 1试样与实验装置试样与实验装置 现以简支梁为模型进行模态分析 简支梁为高碳钢加工而成 其截面为矩形 长宽高 为mmmmmm924380 试样采用弹性系数mN 200的橡皮筋悬挂 3 2模态参数采集与分析系统模态参数采集与分析系统 由力锤激振 用 DH201 050 加速度传感器采集载荷信号 通过电荷放大器进入数据采 集仪 频响函数测试采用单点拾振的方法 利用 DH 9522 动态信号测试分析系统软件控制 仪器并将数据导入计算机 并由东华模态分析软件进行模态分析 采用频响识别法中的峰值 4 法 6 实验装置与仪器框图如图 2 图 2 实验装置与仪器框图 3 3测试结果与理论计算结果分析测试结果与理论计算结果分析 现将简支梁的理论与实测模态的固有频率列于表 1 其振型图分别示图 3 图 4 表 1 理论固有频率与实测固有频率 模态阶数1 阶 2 阶 3 阶 理论计算 331 34913 311790 68 实 测 341 80938 901845 70 误 差 3 16 2 80 3 07 图 3 理论振型 a 1 阶振型 b 2 阶振型 c 3 阶振型 5 a 1 阶振型 b 2 阶振型 c 3 阶振型 图 4 实测振型 4 模型改进模型改进 试验振型与理论振型大致吻合 实测固有频率与理论固有频率误差在 3 5 内 导致误 差的原因有 仪器的精度 数字信号分析误差 如迭混和泄露 以及梁并不是完全的无约束 是用一根弹性系数非常小的皮筋悬挂 下面改进梁的末端支承在弹性支承的模型 5 梁的微分仍由式 4 给出 通过研究基 本振动系统 即两个支承 和梁的相互作用的方式来求得末端条件 基本系统的运动可看成 是强迫振动 作用在梁上的扰动力和横向剪切力大小相等而方向相反 剪切力为 3 3 x y EIF 19 在0 x处 该力作用在y 方向 而在另一端lx 处 则作用在y 方向 因此处的末端 条件由下式给出 6 0 3 3 0 2 0 2 x x y EIy t y m 20 而在lx 处 由下式给出 lxl l x y EIy t y m 3 3 2 2 21 还需要两个末端条件 这两个末端条件与非弹性简支梁的末端条件是相同的 即作用在 梁两端的弯矩等于零 0 0 2 2 lx x x y EIM 22 用这些末端条件和已采用的方法很容易推导出频率方程 求得梁的对称振动的频率方程为 klklN 2 1 coth 2 1 tan2 23 梁的非对称振动的频率方程为 klklN 2 1 coth 2 1 cot2 24 式中 33 3 1 1 2 2 2 kl kl klEI l kl M m N 25 而 M m2 是质量比 M 梁的质量 EI l 3 2 是刚度比 式中 23 和 24 以图解法求解 画出N2作为kl的函数的关系曲线 同样 对各 对称型的klkl 2 1 coth 2 1 cot 也画出作为kl的函数关系曲线 并对确定各点lkn 则求得各 固有频率为 A EIgk f n n 2 2 周 秒 26 5 柔性支承对无约束梁的影响柔性支承对无约束梁的影响 实验表明 支承带有一些柔性 会导致所有频率函数方程的根 即固有频率 的升高 而振型越高 这种升高就越显著 并进一步得出 柔性支承的弹性系数越小 测出频率越接 近真实值 7 参考文献参考文献 1 沃德 海伦 斯蒂芬 拉门兹 波尔 萨斯 模态分析理论与试验 M 白化同 郭继忠译 北京 北京理 工大学出版社 2004 2 王文静 刘志明 缪龙秀 基于实验模态的结构应变模态分析 J 北方交通大学学报 2000 24 20 28 3 陈德成等 有限元模型修正技术的工程应用 J 中国工程科学 2001 3 59 63 4 刘鸿文 材料力学 M 北京 高等教育出版社 2004 5 S A 托贝斯 机床振动学 M 天津大学机械制造系译 北京 机械工业出版社 1977 6 模态东昊测试分析软件使用手册 Unconstrained beam experimental modal and error analysis Luo zhiHeng Li jianHua Zhang Fengwei Zong Zikun Tang Haiyan College of Engineering Gansu Agricultural University Lanzhou 730070 Abstract This paper provides the detailed derivation process about inherent frequency and standard function basing on the shapes of unconstrained beam and obtains first second and third inherent frequencies then uses Donghao Test Modal Analysis Software to analys frequencies and shapes The results of both the basic agreement of which