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数学物理方法 李晓红西南科技大学理学院2020 1 21 复变函数积分的定义复变函数积分的性质柯西定理柯西积分公式 复变函数的积分 复变函数的积分 积分的定义 不定积分的定义 定理 复积分的Newton Leibnitz公式 任何两个原函数相差一个常数 说明 1 当是连续函数 且L是光滑曲线时 积分一定存在 2 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 复积分的基本性质 1 若f z 沿L可积 且L由L1和L2连接而成 则 2 常数因子k可以提到积分号外 即 3 函数和 差 的积分等于各函数积分的和 差 即 4 若积分曲线的方向改变 则积分值改变符号 即其中 L 为L的负向曲线 闭曲线的正方向 曲线上点顺此方向沿该曲线前进时 邻近P点曲线内部始终位于P点的左方 解法一 例计算其中C以z0为中心 r为半径的正方向 n为整数 解 的方程为 所以 结论 与积分路线的圆周中心及半径无关 柯西定理 如果函数在单连通区域内处处解析 那么函数沿内任何一条封闭曲线的积分为零 柯西定理 如果曲线是区域的边界 在内及上解析 即在闭区域上解析 则 柯西定律的证明 P Q为D区域内具有连续偏导数的二元函数 Cauchy Riemann条件C R条件 柯西 古萨积分定理 注 经修改后的柯西 古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域D内解析 在边界上连续 以后使用中 当满足此条件时柯西积分定理仍然成立 这个定理是柯西 Cauchy 于1825年发表的 古萨 Goursat 于1900年提出了修改 故又称为柯西 古萨定理 柯西定理推论 这个定理可用来计算周线内部有奇点的积分 柯西定理2 柯西积分公式 有界区域的单连通柯西积分公式定理 柯西积分公式 如果在有界区域D处处解析 L为D内的任何一条正向简单闭曲线 且其内部全含于D 为L内的任一点 那么称为柯西积分公式 柯西积分公式 意义 对于解析函数 只要知道了它在区域边界上的值 那么通过上述积分公式 区域内部点上的值就完全确定了 结论 如果两个解析函数在区域的边界上处处相等 则它们在整个区域上也相等 设f z 在区域D内解析 在边界C上连续 则任意阶导数在区域D内函数f z 的任意阶导数存在 且 2 Morera定理 设函数f z 在区域D内连续 且沿区域内任意围线积分为零 则该函数在区域D内解析 柯西积分公式的重要推论 复变函数积分计算方法总结 方法一 方法二 方法三 方法四 复变函数积分计算思路总结 检查被积函数是否在该区域解析看被积函数是否和柯西积分公式相似 先柯西定理后参数法 例计算其中C以z0为中心 r为半径的正方向 n为整数 解题思路 计算积分 解 1 注意到在复平面内解析 而 i在积分环路C内 由柯西积分公式得 2 注意到函数在内解析 而i在内 由柯西积分公式得 解 根据柯西积分公式 得到 故得到 例题 例2计算积
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