自动控制原理 王永骥版 第七章.ppt

第7章线性离散控制系统 7 1引言7 2采样过程的数学描述7 3信号恢复7 4Z变换理论7 5采样系统的数学模型7 6离散控制系统分析7 7数字控制器的设计 7 1引言 7 1 1直接数字控制系统 DDC DirectDigitalControl input digital 图7 1直接数字控制系统 DDC 7 1 2计算机监督控制系统 SCC SurveillanceComputerControlSystem 图7 2计算机监督控制系统 SCC 7 1 3集散控制系统 TDC TotalandDistributedControl 集中调度控制中心 子调度控制中心 图7 3集散控制系统 TDC 7 2采样过程的数学描述 7 2 1采样过程及其数学描述7 2 2采样定理7 2 3采样周期的选择 7 2 1采样过程及其数学描述 在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采样过程 实现这个采样过程的装置称为采样装置 如图7 4所示 e t e t 图7 4采样开关 将断续信号用如下数学式子表示 e t 对离散信号e t 取拉氏变换 可得 E s L e t L 图7 5连续信号e t 与断续信号e t 7 2 2采样定理 为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信号 采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍 即 或T 7 1 7 2 理想滤波器的滤波特性为 1 0 7 3 其频率特性如图7 6 图7 6理想滤波器的频率特性 7 2 3采样周期的选择 工程实践表明 根据表7 1给出的参考数据选择采样周期T 可以取得满意的控制效果 表7 1工业过程T的选择 随动系统的采样角频率可近似取为 由于T 2 所以采样周期可按下式选取 采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取 7 3信号恢复 7 3 1零阶保持器7 3 2一阶保持器 7 3 1零阶保持器 零阶保持器是最常用的一种保持器 它把采样时刻的采样值恒定不变地保持 或外推 到下一采样时刻 如图7 7所示 零阶保持器的输出为阶梯信号 采样开关 保持器 图7 7零阶保持器 由于 k 0 1 2 所以保持器的输出与连续输入信号之间的关系式为 7 4 的拉式变换则为 7 5 上式与式 7 1 比较后 知道零阶保持器的传递函数为 7 6 b 图7 8应用零阶保持器恢复信号 零阶保持器的频率特性为 7 7 7 3 2一阶保持器 一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推 它的外推输出式中t 为kT到 k 1 T之间的时间变量 如图7 9所示 7 8 0t2t3t 图7 9应用一阶保持器恢复信号 根据一阶保持器脉冲响应函数的分解 可得保持器的传递函数 7 9 或 7 10 一阶保持器的频率特性为 7 11 7 4Z变换理论 7 4 1Z变换7 4 2Z变换的性质7 4 3Z反变换 7 4 1Z变换 由式 7 1 可知 断续函数x t 的拉氏变换为 X S X kT e kTS 7 12 若令 eTS Z 7 13 则将在S域分析的问题变成Z域的分析问题 X Z X kT Z k 7 14 X Z 称为X t 的z变换 记为z z X Z X kT Z k 7 15 在Z变换中 X Z 为采样脉冲序列的Z变换 即只考虑采样时刻的信号值 由于在采样时刻 X t 的值就是X kT 所以从这个意义上说 X Z 既是X t 的Z变换 也可以写为X t 的Z变换 即 Z z X Z X kT Z k 7 16 7 4 2Z变换的性质 线性定理 z a1X1 Z a2X2 Z 7 17 z Zm 7 18 z Z mX Z 7 19 式中a1 a2 为常数 2 实平移定理 3 复平移定理 z 7 20 例已知 求X Z 解 z z 4 复域微分定理 Z 7 21 例已知x t t3 求X Z 解 Zt 2 Zt TZ 3 5 初值定理 7 22 证明 由Z变换的定义有 6 终值定理 7 23 7 4 3Z反变换 幂级数法通常Z变换表达式有如下形式 7 24 实际的物理系统满足n 则用综合除法有 X Z 7 25 由Z变换的定义式可知则 即为x z 的原函数 2 部分分式法部分分式法又称查表法 它的基本思想是将X Z Z展开成部分分式 7 26 然后 查Z变换表 即可求取X Z 的原函数x kT 3 留数法由Z变换的定义式有 X Z X kT Z x 0 x T Z x 2T Z 上式两端乘以Z有 K 1 k 1 2 X Z Zk 1 x 0 Zk 1 x T Zk 2 x kT Z 1 7 27 所以 x kT 根据留数定理 则上式可写成 x kT Res 7 5采样系统的数学模型 7 5 1描述离散控制系统的线性差分方程7 5 2脉冲传递函数 7 5 1描述离散控制系统的线性差分方程 线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述 y k a1y k 1 any k n b0r k b1r k 1 r k m 7 28 也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统 y k n a1y k n 1 an 1y k 1 any k b0r k m b1r k m 1 bm 1r k 1 bmr k 7 29 求解差分方程常用的有迭代法和Z变换法 1 迭代法若已知线性定常离散控制系统的差分方程式 7 28 或式 7 29 并且给定输出 序列初值 则可以利用递推关系 在计算机上一步一步计算出输出序列 2 Z变换法若已知线性定常离散控制系统的差分方程描述 则根据Z变换的实位移定理 对差分方程两边取Z变换 再根据初始条件及给定输入控制信号的Z变换表达式 可求取离散控制系统输出的Z变换表达式 再求输出Z变换的Z反变换表达式 即可求取离散控制系统输出的实域表达式Y K 7 5 2脉冲传递函数 1 开环脉冲传递函数 一离散开环控制系统如图7 10所示 r t r t y t y t 图7 10开环离散控制系统 脉冲传递函数定义为在零初始条件下 输出Y t 的Z变换Y Z 与输入r t 的Z变换R Z 之比 脉冲传递函数用G Z 表示 则 7 30 假定动态环节的单位脉冲过渡函数为h t 该环节的输入为r t 7 31 利用线性环节满足叠加原理 无穷多个脉冲作用在线性环节G s 上 其输出Y t 为 y t r 0 h t r T h t T r nT h t nT 7 32 将输出信号离散化 得到 y kT r 0 h kT r T h k 1 T r nT h k n T r nT h k n T 7 33 上式两边用乘以e KTS 并求和 得到 7 35 考虑到前面的给定 当t 0时 h t 0 于是有 7 36 同理有 7 37 所以 7 38 采样周期与所用时间变量文字描述无关 则上式可改写为 7 39 即 7 40 式中 7 41 若令式中Z eTS 则可知 又因G s h t 7 42 G Z zG s 7 43 2 串联环节的脉冲传递函数1 两个串联环节间没有采样开关的连接 图7 11串连环节间没有采样开关 r t Y t Y t G1 s G2 s 等价于下图 r t r t Y t Y t 图7 12等价开环离散系统 有 z 7 44 将z记为G1G2 Z z 7 45 2 串连环节间有采样开关连接 且采样开关都是同步采样 如图 r t r t Y t Y t Y1 t 图7 13串连环节间有采样开关 z z 所以 7 46 3 带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数 r t r t Y t Y t 图7 14带零阶保持器开环离散系统 由脉冲传递函数的定义有 G Z z z 7 47 即 7 48 4 闭环离散控制系统的脉冲传递函数 r t e t e t d t b t Y t Y t 图7 15带干扰的闭环线性离散控制系统 假定d t 0 得到如图7 24所示的结构图 r t e t Y t Y t 图7 16线性闭环离散控制系统 根据脉冲传递函数的定义可知 7 49 7 50 7 51 将 7 72 代入 7 71 有 7 52 于是得到 7 53 定义误差脉冲传递函数Ge Z 为 7 54 将式 7 54 代入式 7 49 有 7 55 于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB Z 为 7 56 7 6离散控制系统分析 7 6 1线性离散控制系统的稳定性分析7 6 2离散控制系统的瞬态响应7 6 3离散控制系统的稳态误差 7 6 1线性离散控制系统的稳定性分析 线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数 如图7 17所示 r t y t y t 图7 17线性离散控制系统 可求得为 GB Z 7 57 则线性离散控制系统的特征方程为 1 G Z 0 7 58 考察下式 Z eTs 7 59 假定在s平面上任有一点 s j 7 60 则通过Z变换 映射到Z平面为 Z e T ej T 7 61 当 0 即s平面的虚轴 对应Z平面的单位圆 当 0 即左半s平面对应Z平面的单位圆 内部区域 即s平面的稳定域映射到Z平面单位圆内的区域为稳定区域 当 0 即右半s平面对应Z平面的单位圆外部区域 也即s平面不稳定域映射到Z平面单位圆外的部分为不稳定域 上面映射关系如图7 31所示 线性离散控制系统稳定的充分必要条件是 线性离散闭环控制系统特征方程 7 58 的根的模小于1 则线性离散控制系统是稳定的 Re Re Im Im 图7 18s平面到Z平面映射 7 6 2离散控制系统的瞬态响应 闭环零极点与瞬态响应的关系 通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式 GB Z K K 7 62 当系统输入为单位阶跃时 其系统输出Y Z 为 Y Z K 7 62 展开成部分分式 有 Y Z K 7 63 7 64 式中 Ck K 闭环极点对系统瞬态响应的影响 1 Pk为正实根 对应的瞬态分量 Yk nt Z 1 CkPkn 令Pk eaT a lnPk则 yk nT CkeanT 7 65 若Pk 1 即闭环极点位于右半Z平面上圆周上 闭环系统瞬态响应为等幅脉冲 若Pk 1 则闭环极点位于单位圆内 此时a 0 则输出响应呈指数衰减状 若Pk 1 闭环极点位于单位圆外 此时a 0 则输出响应呈指数z增加状 2 当Pk为负实根 则对应的瞬态分量为 yk nT CkPkn 7 66 若Pk 1 输出响应分量Yk nT 对应图7 39中d点波形 呈等幅跳跃输出 若 Pk 1 输出响应分量Yk nT 对应图7 39中d点波形 呈发散跳跃变化 3 当Pk Pk 1为一对共轭复根时 为 Pk Pk 1 7 67 此时 Ck Ck 1也为一对共轭复数 Ck Ck 1 7 68 则它们对应的瞬态分量Yk k 1 nT 为 yk k 1 nT 2 7 69 若 Pk 1 则对应的瞬态响应分量为发散正弦振荡 对应图7 40中b点对应的波形 Im Re xb xb xa xa 图7 19闭环实极点分布与相应瞬态响应 7 6 3离散控制系统的稳态误差 对于如图7 20所示的单位反馈的闭环离散系统的误差脉冲传递函数Ge Z 为 r t y t e t Ge Z 7 70 图7 20单位反馈闭环离散系统 所以E Z R Z 由终值定理 有 7 71 7 72 与连续系统类似 根据系统开环脉冲传递函数在Z 1的极点的个数而分为0型 1型 2型 系统 7 7数字控制器的设计 7 7 1无稳态误差最少拍系统的7 7 2G z 具有单位圆上和单位圆外零极点的情况 数字控制器的设计7 7 3无纹波无稳态误差最少拍系统的设设计 7 7 1无稳态误差最少拍系统的设计 R t Y t 图7 21数字控制系统结构 对于如图7 21所示的系统 闭环脉冲传递函数可求得为 GB z 7 73 D z 7 74 设计出的数字控制器D z 还必须满足物理可实现条件 数字控制器D z 分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次 D z 没有单位圆上 除有一个z 1的极点外 和单位圆外的极点 设给定系统输入为 r t tp 7 75 则其z变换表达式为 R t 7 76 式中r p 1 且A z 1 为z 1的多项式 没有z 1的零点 系统误差脉冲传递函数Ge z 与闭环脉冲传递函数GB z 存在以下关系 Ge z 1 GB z 7 77 E z 1 GB z R z 7 78 根据终值定理 e 1 z 1 1 GB z 7 79 为使系统的稳态误差为零 可令 1 GB z 1 z 1 rF z 1 7 80 式中F z 1 在z 1处无零点 GB z 1 1 z 1 rF z 1 7 81 表7 2无稳态误差最少拍系统设计结果 7 7 2G z 具有单位圆上和单位圆外零极点时数字控制器的设计 7 82 当开环脉冲传递函数G z 有单位圆上或单位圆外零点时 由式 D z 可知它必将成为数字控制器的极点 D Z 将不稳定 其物理实现不可能 为此 令GB z 包含z 1因子GB z 包含开环脉冲传递函数G z 在单位圆上和单位圆外的零点 Ge z 包含开环脉冲传递函数G z 在单位圆上和单位圆外的极点 由关系式GB z 1 Ge z 求解有关待定系数 最后选定GB z 和Ge z 7 7 3无纹波无稳态误差最少拍系统的设计 波纹即系统输出在采样时刻已达到稳态 而在两个采样时刻间输出在变化 如图7 22所示 0T2T3T4Tt y t 图7 22系统输出 如 系统结构为图7 23所示 E1 z E2 z r t y t 图7 23一个实际的数字控制系统 G z 7 8