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工业机器人课程设计 基于 Matlab 的工业机器人运动学和雅克比较矩阵求解 目录 PUMA560 机器人简介机器人简介 4 PUMA560 机器人的正解机器人的正解 5 1 确定 D H 坐标系 5 2 确定各连杆 D H 参数和关节变量 5 3 求出两杆间的位姿矩阵 5 4 求末杆的位姿矩阵 6 5 MATLAB编程 7 6 验证 7 PUMA560 机器人的逆解机器人的逆解 8 1 求 1 8 2 求 3 8 3 求 2 9 4 求 4 10 5 求 5 10 6 求 6 11 7 解的多重性 11 8 MATLAB编程 11 9 对于机器人解的分析 12 机器人的雅克比矩阵机器人的雅克比矩阵 12 1 定义 12 2 雅可比矩阵的求法 12 3 微分变换法求机器人的雅可比矩阵 13 4 矢量积法求机器人的雅克比矩阵 15 5 MATLAB编程 15 附录附录 16 1 程序 16 2 三维图 24 摘要 机器人学作为一门高度交叉的前沿学科 引起许多具有不同专业背景人们 的广泛兴趣 对其进行深入研究 并使其获得快速发展 尤其是近年来各种新 兴技术飞速发展 机械工业产品的自动化 高精度 重负载等性能指标变得越来 越突出 因此在机器人学的计算中就要求更高的精度 计算机技术的发展很好 的解决了这一问题 本文将以 PUMA560 为例 利用个人电脑平台的 Matlab 对 其运动学的正解 逆解以及雅克比矩阵进行计算研究 关 键 词 PUMA560 Matlab 正解 逆解 雅克比矩阵 微分变换法 矢量积法 ABSTRACT As a highly interspersed subject the robotics makes many people who major in different subject interest in it research and develop it Especially in recent years with the rapid development of varieties of emerging technologies mechanical products indexes of automation high precision and the re load are becoming more and more outstanding There is a need of greater precision in the calculation of robotics and computer technology makes it possible In this paper we will use Matlab to research the kinematics problem and Jacobian array of PUMA560 KEY WORDS PUMA560 Matlab Kinematics problem Positive solution Inverse solution Jacobian array Differential transformation Vector product transformation PUMA560 机器人简介 PUMA560 是属于关节式机器人 6 个关节都是转动关节 如图 1 1 所示 前三个关节确定手腕参考点的位置 后三个关节确定手腕的方位 和大多数工 业机器人一样 后三个关节轴线交于一点 该点选作为手腕参考点 也选作为 4 5 6 的原点 关节一的轴线为垂直方向 关节 2 和关节 3 的轴线为水 平 且平行 距离为 关节 1 和关节 2 的轴线垂直相交 关节 3 和关节 4 的 a2 轴线垂直交错 距离为 各个连杆坐标系如 a3 图 1 1 所示 相应的连 杆参数列于表 1 2 中 其中 mm a 8 431 2 mm a 32 20 3 mm d 09 149 2 mm d 07 433 3 在更进一步了解 PUMA560 机器人的转 动角度问题时 我们先 来定义一下 PUMA560 机器人的初始位姿 首 先 定义机器人的初始位 置 取大臂处于某一朝向 时 作为腰关节的初始位 置 大臂处在水平位置时 作为肩关节的初始位置 小臂处在下垂位置 关节轴线 Z4 和 Z0 平行时 作为肘关节的初始位置 关节轴线 Z5 和 Z3 平行时 作为腕扭转关节的初始位置 关节轴线 Z6 和 Z4 平行时 作为腕 弯曲关节的初始位置 抓手两个指尖的连线与大臂平行时 作为腕旋转关节的初始 位置 在上述初始位置的前下 各个关节的零点位置得到确定 PUMA560 机器人的正解 1 确定 确定 D H 坐标系坐标系 PUMA 560 的关节全为转动关节 Zi 坐标轴 沿着 i 1 关节的运动轴 Xi 坐标轴 沿着 Zi 和 Zi 1 的公法线 指向离开 Zi 1 轴的方向 Yi 坐标轴 按右手直角坐标系法则制定 连杆长度 ai Zi 和 Zi 1 两轴心线的公法线长度 连杆扭角 i Zi 和 Zi 1 两轴心线的夹角 两连杆距离 di Xi 和 Xi 1 两坐标轴的公法线距离 两杆夹角 i Xi 和 Xi 1 两坐标轴的夹角 2 确定各连杆 确定各连杆 D H 参数和关节变量参数和关节变量 确定各连杆 D H 参数和关节变量 连杆连杆 i变量变量 i i 1ai 1di变量范围变量范围 1 10 00 160 160 2 2 90 0d2 225 45 3 30 a20 45 225 4 4 90 a3d4 110 170 5 590 00 100 100 6 6 90 00 266 266 3 求出两杆间的位姿矩阵 求出两杆间的位姿矩阵 第 i 连杆与第 i 1 连杆间的变换矩阵 Ai Rot x i 1 trans ai 1 0 0 Rot z i trans 0 0 di 1 1111 1111 0 0001 iii iiiiiii iiiiiii csa s cc cssd s sc sccd 相邻两个连杆间的位姿变换矩阵 11 110 1 00 00 0010 0001 cs sc T 22 1 2 22 00 0010 00 0001 cs T sc 33 332 3 00 00 0010 0001 cs sc T 44 3 4 44 00 0010 00 0001 cs T sc 55 4 5 55 00 0010 00 0001 cs T sc 66 5 6 66 00 0010 00 0001 cs T sc 4 求末杆的位姿矩阵 求末杆的位姿矩阵 0012345 6112233445566 TTTTTTT 001 616 0001 xxxx yyyy zzzz noap noap TT T noap 由上面的矩阵 我们可以得到最终结果 1234 5 64 623 5 614 5 64 6 1234 5 64 623 5 614 5 64 6 234 5 64 623 5 6 1234 5 64 623 5 614 64 5 6 1234 5 64 623 5 614 x y z x y nccc c cs ss s css c cc s nscc c cs ss s ccs c cc s nsc c cs sc s c occc c ss cs s ss c cs c s oscc c ss cs s sc c c 64 5 6 234 5 64 623 5 6 123 4 523 51 4 5 123 4 523 51 4 5 23 4 523 5 1223 234 232 1 1223 234 232 1 3 232 2423 z x y z x y z s c c osc c ss cc s s ac c c ss cs s s as c c ss cc s s as c sc c pc a ca cd sd s ps a ca cd sd c pa sa sd c 5 Matlab 编程编程 运行 zhengjie m 根据提示输入的值 回车后的出 T 的解如下 16 T 0 1 0000 0 149 0900 0 0 1 0000 864 8700 1 0000 0 0 20 3200 0 0 0 1 0000 6 验证 验证 123456 22346 90 0 90 0 00 431 8 149 09 20 32 433 07 56 25 oo ammdmmammdmmdmm 2 240 6 3 010 001 100 0001 d ad T a 由课本给出的验证公式进行所编程序的验证 经验证 编程所得结果与课本给出验证 公式得到的结果一致 进一步表明所编程序是正确的 PUMA560 机器人的逆解 将 PUMA 560 的运动方程 3 64 写为 0012345 6112233445566 0001 xxxx yyyy zzzz noap noap TTTTTTT noap 若末端连杆的位姿已经给定 求关节变量 的值成为运动逆解 16 1 求 求 1 01012345 1162233445566 TTTTTTT 11 111 6 00 00 0010 00010001 xxxx yyyy zzzz csnopa scnoap T noap 2 1212 2 22 1 222 122 sin cos 1 atan2 1 atan2 atan2 yxxy dd dd ppdppd 式中 正 负号对应于的两个可能解 1 2 求 求 3 113 234 2322 3 234232 2 xy z c ps pa cd sa c pa sd ca s 由以上两式的平方加上的平方可以得到 112 s xy pc pd 2 2 3 34 3 a cd sk 在上式中 2222222 2324 2 2 xyz pppaadd k a 式 2 2 中已经消去 所以可以由三角代换求解得到的解 2 3 所以 在的表达式中正 负号对应于的两种可能解 3 3 222 33434 atan2 atan2 a dkadk 3 求 求 2 010345 31236445566 TTTTT 2 3 1 231 23232 3 1 231 23232 33 6 112 0 00010001 xxxx yyyy zzzz c cs csa cnopa c ss sca snoap T scdnoap 4 5 64 64 5 64 64 53 5 65 654334 646 4 5 64 64 5 64 64 5 0 0001 c c cs sc c ss sc sa s ss scd TT T s s sc ss c sc cs s 令矩阵方程 2 3 两端的元素 1 4 和 2 4 分别对应相等 则得两方程 1 231 23232 33 1 231 23232 34 xyz xyz c s ps c ps pa ca c s ps s pc pa sd 由以上两式可得的表达式 23 232332 3112 34 42 3112 33 tan2 zxy xy aaa cpc ps pa sd da spc ps pa ca 由求得的 可求出 23 2 2233 根据解的四种可能组合可以得到相应的四种可能值 于是可得到 13 和 23 的四种可能解 2 4 求 求 4 1 231 23232 3 1 231 23232 33 6 112 0 00010001 xxxx yyyy zzzz c cs csa cnopa c ss sca snoap T scdnoap 令上式的矩阵方程的两端的元素 1 4 和 2 4 分别对应相等 则得两方程 1 231 23234 5 114 5 xyz xy a c ca s ca sc s a sa cs s 5 41111 231 2323 42111 231 2323 0 atan2 atan2 xyxyz xyxyz s a sa ca c ca s ca s a sa c a c ca s ca s 当 当 S5 0 时 机械手处于奇异形位 此时 关节轴 4 和 6 重合 只能解出和的和 4 6 或差 奇异形位可以由式的表达式中的 atan2 的两个变量是否接近零来判别 若 4 都接近零 则为奇异形位 否则 不是奇异形位 在奇异形位时 可任意选取值 再计 4 算相应的值 6 5 求 求 5 根据求出的 可以进一步解出 4 5 010454 4123465566656 TTTTT 因为 在前面均已解出 逆变换为 1 2 3 4 01 41234 T 1 23 41 41 23 41 423 42 3 42 43 4 1 23 41 41 23 41 423 42 3 4243 4 1 231 23232 34 0001 c c cs ss c cc ss ca c cd sa c c c ss ss c sc cs sa c sd ca s c ss sca sd 令矩阵方程两端的元素 1 3 和 3 3 分别对应相等 则得两方程 1 23 41 41 23 41 423 45 1 231 23235 xyz xyz acc cs sas c cc sas cs ac sas sacc 所以可以得到的最终表达式 5 555 atan2 s c 6 求 求 6 0105 512345666 TTT 令矩阵方程两端的元素 3 1 和 1 1 分别对应相等 则得两方程 61 23 41 41 23 41 423 4 61 23 41 451 23 51 23 41 451 23 5 23 4 523 5 xyz xy z sn c c ss cns c sc cn s s cnc c cs scc s sns c cc s cs s s n s c cc s 得到最后的表达式 6 666 atan2 s c 7 解的多重性 解的多重性 PUMA560 的运动反解可能存在 8 种解 但是 由于结构的限制 例如各关 节变量不能在全部 360 度范围内运动 有些解不能实现 在机器人存在多种解 的情况下 应选取其中最满意的一组解 以满足机器人的工作要求 8 Matlab 编程编程 在 Matlab 中运行 nijie m 根据提示输入的值并回车 可 xxxyyyzzz n o a n o an o a 得的 8 组解值如下 i 90 0000 2 6918 84 6272 180 0000 2 6810 180 0000 90 0000 0 0000 90 0000 0 0 0000 0 90 0000 2 6918 84 6272 0 0000 2 6810 0 0000 90 0000 0 0000 90 0000 0 0 0000 0 70 4385 180 0000 84 6272 104 7629 20 2581 74 3103 70 4385 182 6918 90 0000 97 5292 19 7387 82 0067 70 4385 180 0000 84 6272 75 2371 20 2581 105 6897 70 4385 182 6918 90 0000 82 4708 19 7387 97 9933 9 对于机器人解的分析 对于机器人解的分析 通过编程可以知道 我们最终得到八组解 然后对八组解进行分析 对于 的变化范围为从 所以程序中我们得到的两个解都是正确的 1 00 160 160 然后对进行分析 由于的角度变化范围是从 所以在我们所 2 2 00 45 225 得到的结果中 后四组是超出的变化范围的 所以我们可以舍去后四组解 2 再逐个对 进行角度分析 最终可获得适合的解 3 4 5 6 机器人的雅克比矩阵 1 定义 定义 机械手的操作速度与关节速度间的线性变换定义为机械手的雅可比矩阵 xx qxJ q q 1 2 6 1 2 i ij j x q Jqijn q 2 雅可比矩阵的求法 雅可比矩阵的求法 1 矢量积法 对移动关节 00 ii ii vzz qJ w 对转动关节 iooi nin pR p 2 微分变换法 对于转动关节 i 相对连杆 i 1 绕坐标系 i 的轴所作微分转动 其微分运动 i z i d i o n i i ii i o n i i z pz Jq z pz w v 矢量为 3 117 对应的夹持器的微分运动矢量为 3 118 00 0 0 3 117 3 118 01 T x z T y z T z z ii T zx T zy T zz pnd p od pad ddd n o a 于是 J q 的第 i 列如下 对转动关节 i z z TT liaiz z z z pnn Jp oJo paa 对移动关节 i 0 0 0 z TT lizai z n JoJ a 3 微分变换法求机器人的雅可比矩阵 微分变换法求机器人的雅可比矩阵 PUMA560 的 6 个关节都是转动关节 所以利用 3 121 求取雅克比矩阵的列矢量 对于第 1 个关节来说 将中的 n o a p 向量代入式 3 121 得到雅克比矩阵的 1 6 T 列矢量 1 1 1 1 234 5 64 62356 234 5 64 62356 23 4 523 5 T x T y T Tz J J J Jq sc c cs sc s c sc c ss cc s s s c sc c 其中 的表达式如下所示 x TJ 1x TT 2x TT 3 14 5 64 53 232342234 5 64 623 5 6 14 5 64 63 232342234 5 64 623 5 6 14 53 23234223 4 523 5 T x T y T z Js s sc sa cs dd cc c cs ss s s Js c sc ca cs dd cc c cs ss s s Js s a cs dd c c ss c 对于第 2 个关节来说 将中的 n o a p 向量代入式 3 121 得到雅克比矩阵的列 2 6 T 矢量 2 TJ q 可以得到 2 2 2 2 4 54 66 4 5 64 6 4 5 T x T y T Tz J J J Jq s cc sc s c sc c s s 其中 三个参数的表达式如下所示 x TJ 2y TJ 2z TJ 2 同理 可求得 234 5 64 63 5 63 3342 34 5 64 63 5 63 334 234 5 64 63 5 63 3342 34 5 64 63 5 63 334 23 53 4 53 33423 4 53 53 T x T y T z Jsc c cs sc s sa cs da cc c cs ss s sa sc d Jsc c ss sc s sa cs da cc c ss ss s s a sc d Jc cs c sa cs dac c ss ca 334 sc d 3456 TTTT JqJqJqJq 44 5 64 635 6 44 5 64 635 6 44 53 6 3 4 5 64 6 4 5 64 6 4 5 T dc c cs sas c dc c ss cas s d c sa c Jq s c cc s s c sc c s s 456 5 66 5 66 5 000 000 000 0 0 01 TTT JqJqJq s cs s sc c 所以又以上六个矩阵便最后组成了的雅克比矩阵 16 66 4 矢量积法求机器人的雅克比矩阵 矢量积法求机器人的雅克比矩阵 PUMA560 的 6 个关节都是转动关节 因而其雅克比矩阵具有下列形式 102060 162666 126 zpzpzp J q zzz 5 Matlab 编程编程 1 用微分变换法求解雅克比矩阵 在 Matlab 中运行 wfbh m 根据提示输入的值并回车 得雅克比矩阵如下 16 864 8700 0 0 0 0 0 149 0900 20 3200 20 3200 0 0 0 0 864 8700 433 0700 0 0 0 0 1 0000 1 0000 0 1 0000 0 0 0 0 1 0000 0 1 0000 1 0000 0 0 0 0 0 2 用矢量积法求解雅克比矩阵 在 Matlab 中运行 slj m 根据提示输入的值并回车 得雅克比矩阵如下 16 864 8700 0 0 0 0 0 149 0900 20 3200 20 3200 0 0 0 0 864 8700 433 0700 0 0 0 0 1 0000 1 0000 0 1 0000 0 0 0 0 1 0000 0 1 0000 1 0000 0 0 0 0 0 从以上结果中我们可以看出其运行结果与用微分变换编程所得到的结果是 一致的 进一步证明了所编写程序的正确性 附录 1 程序 程序 1 运动学正解 function zhengjie c1 c2 c3 c4 c5 c6 clc a2 431 8 a3 20 32 d2 149 09 d4 433 07 d6 56 25 c1 input c1 c2 input c2 c3 input c3 c4 input c4 c5 input c5 c6 input c6 T1 cosd c1 sind c1 0 0 sind c1 cosd c1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T2 cosd c2 sind c2 0 0 0 0 1 d2 sind c2 cosd c2 0 0 0 0 0 1 T3 cosd c3 sind c3 0 a2 sind c3 cosd c3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T4 cosd c4 sind c4 0 a3 0 0 1 d4 sind c4 cosd c4 0 0 0 0 0 1 T5 cosd c5 sind c5 0 0 0 0 1 0 sind c5 cosd c5 0 0 0 0 0 1 T6 cosd c6 sind c6 0 0 0 0 1 0 sind c6 cosd c6 0 0 0 0 0 1 T T1 T2 T3 T4 T5 T6 disp T disp T 2 运动学逆解 function nijie T clc nx input nx ox input ox ax input ax ny input ny oy input oy ay input ay nz input nz oz input oz az input az px input px py input py pz input pz a2 431 8 a3 20 32 d2 149 09 d4 433 07 c1 atan2 py px atan2 d2 sqrt px px py py d2 d2 atan2 py px atan2 d2 sqrt px px py py d2 d2 求解 c1 c1 c1 pi 180 k px px py py pz pz a2 a2 a3 a3 d2 d2 d4 d4 2 a2 c3 atan2 a3 d4 atan2 k sqrt a3 a3 d4 d4 k k atan2 a3 d4 atan2 k sqrt a3 a3 d4 d4 k k 求解 c3 c3 c3 pi 180 for i 1 2 for j 1 2 m1 cosd c1 i m2 sind c1 i n1 cosd c3 j n2 sind c3 j c23 i j atan2 a3 a2 n1 pz m1 px m2 py a2 n2 d4 d4 a2 n2 pz m1 px m2 py a2 n1 a3 c23 i j c23 i j pi 180 c2 i j c23 i j c3 1 j end end 求解 c2 for i 1 2 for j 1 2 m1 cosd c1 i n1 sind c1 i m2 cosd c23 i j n2 sind c23 i j c41 i j atan2 ax n1 ay m1 ax m1 m2 ay n1 m2 az n2 c411 i j atan2 ax n1 ay m1 ax m1 m2 ay n1 m2 az n2 c41 i j c41 i j pi 180 c411 i j c411 i j pi 180 end end 求解 c4 c4 c41 c411 disp c4 c23 c23 1 c23 1 c23 2 c23 2 for i 1 2 for j 1 4 m1 cosd c1 i n1 sind c1 i m2 cosd c23 i j n2 sind c23 i j m3 cosd c4 i j n3 sind c4 i j sinc5 i j ax m1 m2 m3 n1 n3 ay n1 m2 m3 m1 n3 az n2 m3 cosc5 i j ax m1 n2 ay n1 n2 az m2 c5 i j atan2 sinc5 i j cosc5 i j c5 i j c5 i j pi 180 end end 求解 c5 for i 1 2 for j 1 4 m1 cosd c1 i n1 sind c1 i m2 cosd c23 i j n2 sind c23 i j if sind c5 i j 0 01 c4 i j 0 end end end 奇异形位判断 for i 1 2 for j 1 4 m1 cosd c1 i n1 sind c1 i m2 cosd c23 i j n2 sind c23 i j m3 cosd c4 i j n3 sind c4 i j m4 cosd c5 i j n4 sind c5 i j sinc6 i j nx m1 m2 n3 n1 m3 ny n1 m2 n4 m1 m4 nz n2 n3 cosc6 i j nx m1 m2 m3 n1 n3 m4 m1 n2 n4 ny n1 m2 m3 m1 n3 m4 m1 m2 m4 nz n2 m3 m4 m2 n4 c6 i j atan2 sinc6 i j cosc6 i j c6 i j c6 i j pi 180 end end 求解 c6 C1 c1 1 c1 1 c1 1 c1 1 c1 2 c1 2 c1 2 c1 2 C2 c2 1 c2 1 c2 2 c2 2 C3 c3 1 c3 2 c3 1 c3 2 c3 1 c3 2 c3 1 c3 2 C23 c23 1 c23 2 C4 c4 1 c4 2 C5 c5 1 c5 2 C6 c6 1 c6 2 排序 C C1 C2 C3 C4 C5 C6 输出 C C disp C 3 微分变换法求雅克比矩阵 function wfbh c1 c2 c3 c4 c5 c6 c1 input c1 c2 input c2 c3 input c3 c4 input c4 c5 input c5 c6 input c6 a2 431 8 a3 20 32 d2 149 09 d4 433 07 d6 56 25 T10 cosd c1 sind c1 0 0 sind c1 cosd c1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T21 cosd c2 sind c2 0 0 0 0 1 d2 sind c2 cosd c2 0 0 0 0 0 1 T32 cosd c3 sind c3 0 a2 sind c3 cosd c3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T43 cosd c4 sind c4 0 a3 0 0 1 d4 sind c4 cosd c4 0 0 0 0 0 1 T54 cosd c5 sind c5