通信原理_第三章 傅立叶变换应用于通信系统.ppt

第三章傅立叶变换应用于通信系统 3 1引言 一线性元件的傅立叶变换模型 1R L C时域关系 R L C频域关系将 1 各式进行傅立叶变换 设IC 0 0 二系统函数H 设系统的冲激响应为h t 其激励信号为e t 则产生的零状态响应为 或 其中h t 的傅立叶变换为H 这里H 反映了系统频域特性 所以称H 为系统函数 对上式进行傅立叶变换为 时域卷积性质 3 2利用系统函数H 求响应 下面给出两个实例 说明系统函数H 求响应的问题 例 如图3 1 a 所示 RC低通网络在输入端加入矩形脉冲v1 t 如图3 1 b 用傅立叶分析求输出电压v2 t 图3 1 解 图3 1 a 看出的电路为时域电路图 我们可以把时域电路图变换成频域电路图 即对图3 1 a 进行傅立叶变换 图中所有变量由时域改成频域变量 如时域元件模型改成频域元件模型 即 这样时域电路中适合的运算定律 对频域电路运算照样适用 这样由电路 得 所以得系统函数 令 激励信号v1 t 的傅立叶变换为 所以输出v2 t 的傅立叶变换为 下面求输出v2 t 取V2 傅立叶反变换得出v2 t 如图3 1 d 所示v2 t 由图看出 输出信号的波形与输入相比显然产生了失真 表现在输出波形上升和下降特性上 输入信号在t 0时刻急剧上升 在t 时刻急剧下降 这意味着具有很高的频率分量 由于电路中具有频率函数元件电容的作用 使电路不允 许这些频率分量通过 所以输出电压不能迅速变化而出现了按电容频率特性指数上升和下降如果减少时间常数RC 1 能使很多高频分量通过 使上升和下降时间进一步缩短 图3 1 例 如图3 2所示电路 输入为电流源电流 输出为电容两端电压 求h t 系统函数H 解 令输入信号求v t 即求h t 图3 2 3 3无失真传输 一般情况 系统的输出响应波形与输入激励的波形是不相同 即信号在传输过程中产生失真 我们研究的为线性系统产生的失真为线性失真主要有两方面因素造成的 系统对信号中各个频率分量幅度产生不同程度的衰减 使输出响应各个频率分量的相对幅度产生变化 引起幅度失真 系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比 使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化 引起相位失真 由上看出 线性系统的幅度失真和相位失真都没有产生新的频率分量 而对于非线性系统 具有非线性特性 所以其产生的输出信号失真为非线性失真 在非线性失真中可能产生新的频率分量 一般情况我们希望信号在传输过程中失真尽可能小 下面研究一下无失真传输的条件 无失真是指响应信号与激励信号相比 只是大小和出现的时间不同 而无波形的变化 设激励信号为e t 响应信号为r t 那么无失真传输的条件为 K为常数 t0为滞后时间 即r t 的波形是e t 波形经t0时间滞后出现 虽然幅度有K倍的变化 但波形形状没有发生变化 由图3 3示意表示 下面讨论实现无失真传输 其系统函数H 应该是怎样的 图3 3 设 对式进行傅立叶变换 有 所以 满足无失真传输的系统函数H 条件应有 即要使信号在通过线性系统时不产生任何失真 必须在信号的全部频带内 要求系统频率响应的幅度特性为一常数 相位特性是一通过原点的直线 其斜率为 t0 如图3 4 从物理概念作一个简单解释 由于系统函数为一常数K 说明响应中各频率分量幅度的相对大小与激励信号的情况一样 因而没有幅度失真 而相位特性为过零点的斜线 这就保障了响应中各频率分量与激励中 图3 4 各对应分量滞后同样的时间t0 从 式中可以看出 其相位特性 与频率 是成正比的 而滞后时间 t0为斜率 负号表示滞后的意思 有 的斜率为 t0 对于无失真传输系统的冲激响应h t 也就是其时域特性应该满足什么条件 因为 取傅立叶逆变换得冲激响应 说明信号通过线性系统不产生失真 其冲激响应应该是冲激函数 而时间延后t0时刻 3 4理想低通滤波器 在对线性系统研究中 经常把系统模型理想化 变成理想化的系统模型 虽然在物理上是不可实现的 但理想的系统模型对于理论研究带来许多方便 往往理想的东西是实际当中一种极限结果 在通信系统中 最主要的常用的是低通滤波器 所以这节主要讨论一下理想低通滤波器 理想低通滤波器的频域特性和冲激响应 理想低通滤波器具有矩形的幅度特性和线性的相移特性 如图3 5 图3 5 由图看出 理想低通滤波器将低于某一频率 c的所有信号予以传送而无失真 将频率等于 c的信号完全衰减 不予传送 其中 c称为截止频率 而相移特性是一通过原点的直线 在 c范围内 满足了无失真传输的要求 由图看出 其网络系统函数为 所以 为得到理想低通滤波器的时域特性 即其冲激响应 对网络函数H 求傅立叶逆变换 用欧拉公式得 如图3 6所示 为一个峰值位置为t0的Sa函数由