数字信号处理--AR 和MA模型的理解.pdfVIP

书上说了书上说了 确定信号的确定信号的 f t 的傅里叶变换的傅里叶变换 F w 描述了信号描述了信号 f t 中各频率中各频率 信号成分的幅度大小信号成分的幅度大小 离散时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程 u n 的功率谱的功率谱 S w 相关相关 函数函数 r m 的傅里叶变换的傅里叶变换 则描述了随机过程则描述了随机过程 u n 中各频率成分的平均中各频率成分的平均 功率的大小功率的大小 因此因此 知道了知道了 S w 就可以知道就可以知道 u n 中的各频率构成情况中的各频率构成情况 但是在实际生活中 不可能知道随机信号的自相关函数但是在实际生活中 不可能知道随机信号的自相关函数 r m 仅有随机仅有随机 信号的信号的 u n 的一次观测样本的的一次观测样本的 N 各观测数据 且都是当前或则以前发各观测数据 且都是当前或则以前发 生了的 那么如何从这些观测数据估计出随机信号的功率谱生了的 那么如何从这些观测数据估计出随机信号的功率谱 S w 呢 呢 几十年下来研究这种的理论就多了去了几十年下来研究这种的理论就多了去了 但是主要分为两种但是主要分为两种 一种是将一种是将 基于相关函数傅里叶变换的估计方法基于相关函数傅里叶变换的估计方法 这就是经典功率谱估计这就是经典功率谱估计 另一种另一种 是将参数模型估计方法和基于相关矩阵特征分解的信号频谱估计方法是将参数模型估计方法和基于相关矩阵特征分解的信号频谱估计方法 这就是现代功率频谱估计方法 这就是现代功率频谱估计方法 AR 模型 MA 模型就是现代功率频谱估计方法 AR 模型 书上写了 具有连续谱的离散时间规则随机过程 x n 可以看成是 0 均值 方差位白噪声 u n 通过频率响应为 H w 的 LIT 离散时间系 统的响应 废话这么多 其实就是说 x n u n h n 注意 这 里是卷积 那么随机过程的功率谱 用个图表形象表示下就是 u n H z x n 下面来梳理思路 1 先搞清楚我们最终目标 也就是 AR 模型这个东东是干什么的 我们最终是目标 x n 他是由 u n 激励 H Z 产生的 2再搞清楚我们可以知道什么就是我们可以通过测量知道x n 现在时刻以前的N个 样本值 3 基本的思想就是根据 H Z 的参数来估计出 x n 的功率谱 因此 参数模型功率谱的求解有两步 1 H z 模型参数估计 2 依据模型参数求功率谱 下面来科普下 AR 的数学原理 公式看看就好了 认真你就输了 你信就 是对的 不信就是错的 其中 输入设定为方差为 的白噪声序列 ak 是模型的参数 p 是模型 的阶数 Px 为 x n 功率谱 也即本文要求解的目标 AR 模型是一个全极点模型 自回归 的含义是 现在的输出是现在的输入和过去 p 个输出 的加权和 关于什么是全极点模型 百度了下 说是全极模型简单来说就是传递函数只有 极点没有零点 通常用在语音分析和合成中 现在我们希望建立 AR 参数模型和 x n 的自相关函数的关系 也即 AR 模型的正则方程 上面的正则方程也称 Yule Walker 方程 其中的 rx 为自相关函数 由方程可以看出 一个 p 阶的 AR 模型有 p 1 个参数 通过推导可以发现 反正我是没有推导过 同样信就是对的 不信就是 不对 AR 模型与线性预测器是等价的 AR 模型是在最小平方意义上 对数据的拟合 后来就有各种乱七八糟的算法来求 AR 模型的参数了 上面说了 P 阶 AR 模型有 P 1 个参数 比较出名靠谱的就是 Levinson Durbin 算法 关于这个算法有时间再去好好研究吧 算法 关于这个算法有时间再去好好研究吧 定义为 p 阶 AR 模型在 m 阶次时的第 k 个系数 k 1 2 m 定义为 m 阶系统时 的 这也是线性预测器中前向预测的最小误差功率 此时 一阶 AR 模型时有 我们定义初始时 则 由 PART1 中矩阵的对称性质 将上面的公式推广到高阶 AR 模型 可以推导出 Levinson Durbin 递推算法 Levinson Durbin 递推算法从低