行列式的巧解.doc

化为上三角行列式,即依次消去第二三四列的第一个元素,再消去三四列的第二个元素,再消去第四列的第三个元素,然后行列式的值就是对角线乘机例如消去第二三四行的第一列元素方法:A B C DE F G HI J K LM N O P=A B C D0 -ABF/E -ACG/E -ADH/E0 -ABJ/I -ACK/I -ABL/I0 -ABN/M -ABO/M -ABP/M再用第二列乘以某数消去第三列的第二个元素-ABJ/I,然后依次类推(过程你自己算把),换算成三角行列式就好了1.递推法例1求行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n 2阶行列式，这个n 2阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：（2）移项，提取公因子：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：，当（3）当=，从从而。由（3）式，若。注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式（3）和三对角线型行列式（4）有相同的递推关系式（5）（6）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故例2计算n阶范德蒙行列式行列式解:即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积2拆元法例3：计算行列式解（x + a）（x a）3加边法例4计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.解4数学归结法例5计算行列式解：猜测：证明（1）n = 1, 2, 3时，命题成立。假设nk 1时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。5.消去法求三对角线型行列式的值例6求n阶三对角线型行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n 1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为 93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。注3一般的三对角线型行列式（4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。6乘以已知行列式例7求行列式的值：称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为解设1的立方根为，即其中i是虚数单位，又右乘以行列式则（1）用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和于是因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得。注4在n阶的一般情形，设1的n次方根为则得行列式的值为这里的是由构成的n阶循环行列式：7利用线性代数方程组的解例8求n阶行列式的值：（1）的构造是：第i行的元顺次为又第n行的元顺次为。解（1）的行列式与凡德蒙行列式（2）的比值可以看成线性代数方程组（3）的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式但方程组（3）又可以看成n次多项式方程（4）（t是未知数，看作系数）有n个根用根与系数的关系，即得8递推方程组方法例9求行列式的值：（1）是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x；主对角线上方的元全为y,下方的元全为z。解从（1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，第n 1列减第n列，得（2）上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x y）乘一个n 1阶行列式，这个n 1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是故递推式 （3）若z = y，则上式化为（4）类似地有又故可对（4）式递推计算如下：上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论zy的情形。把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为（5）从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x z），（5）乘