浙江大学2015-2016学年秋学期 复变函数与积分变换 试卷及答案.pdf

浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 熊熊看星星整理 第 1 页 共 7 页 浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 开课学院 理学院 考试形式 闭卷 考试时间 2015 年 11 月 15 日 所需时间 120 分钟 考生姓名 学号 所属院系 一 每题 8 分 共 3 题 24 分 1 求 19 13 i 的实部和虚部 2 解方程 2 10 zz eei 并写出解的实部和虚部 3 已 知 函 数 f zuiv 解 析 且 3223 33 1 1uxx yxyyf 求 函 数 f zzzxiy 用 表示 其中 二 计算积分 每题 8 分 共 3 题 24 分 1 63 1 sinln 3 4 z zz dz zz 浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 熊熊看星星整理 第 2 页 共 7 页 2 2 cos 22 x dx xx 3 2 2 1 cos1 z z dz zz 三 级数 每题 8 分 共 2 题 16 分 1 将 722 1 1 zz 展开为1z 内的罗朗级数 2 设函数 1 1 2 z z f ze z 求留数Res 1 f z 浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 熊熊看星星整理 第 3 页 共 7 页 四 保角映射 每题 8 分 共 2 题 16 分 1 求将区域 1 0arg 2 z zz 映为区域 1w w 解 时 32233 0333 331 1 1 xz y yix yxyyx zizi zi 浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 熊熊看星星整理 第 5 页 共 7 页 二 计算积分 每题 8 分 共 3 题 24 分 1 63 1 sinln 3 4 z zz dz zz 6366 11 5 6 6 00 sinln 3 sinsin 2Res 0 4 1sin12 2lim2limcos 5 5 5 zz zz zzzz dzdzi zzzz zi iziz z 解 2 2 cos 22 x dx xx 222 2 2 121 1 2 1 cos ReRe 2Re 222222 022 0 22 1 1 1 2Re 1 2 2222 cos 22 ixix i i ix ixix i xi xee dxdxisx xxxxxx e xx xx xi xixi ee isiie xxx x x 解 的奇点为使分母为 的点 即 取上半平面 1 2 ReRe cos1 isin1 cos1 i dxe xee 3 2 2 1 cos1 z z dz zz 2 2 2 1 2 1 2 00 2 Res 1 Res 1 Res 0 1 cos1 1 Res 1 lim 2 cos1 1 sin2 cos1 1 1 Res 1 lim 2 cos1 1 sin2 cos1 1 Res 0 limlim 1 cos1 z z z zz z dzifff zz z f zzzz z f zzzz z fz zz 解 2 22 2 2 2 1 1 2 1 2 Res 1 Res 1 Res 0 2 2 1 cos1 cos1 1 z z zz z dzifffi zz 浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 熊熊看星星整理 第 6 页 共 7 页 三 级数 每题 8 分 共 2 题 16 分 1 将 722 1 1 zz 展开为1z 内的罗朗级数 2 222 1 0 1 2 2 2 22 000 211 722 0 111 1 1 1 1111 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n nn nnn n n tz ztt ttt t ntnz ztt nzz zz 解 令 2 设函数 1 1 2 z z f ze z 求留数Res 1 f z 11 11 00 000 1 1 1 1 2 1 1 1 222 1 11 2 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1 11 1 12 1 1 2 1 n mm zz mn nn mm nmn n n n n zz f zeez zzn zz z nn nC mnC n C 解 令第一项 则 令第二项 则 1 11 11 Res 1 1 2 1 n n f z nn 四 保角映射 每题 8 分 共 2 题 16 分 1 求将区域 1 0arg 2 z zz 映为区域 1w w 的保角映射 2 1 1 2 1 2 32 3 4 3 1 1 wz w w w ww wi w wi 解 第一步 映为上半圆 第二步 映为右上半平面 第三步 映为上半平面 第四步 映为单位圆 复合上述映射即可 浙江大学 2015 2016 学年秋学期 复变函数与积分变换 课程期末考试试卷 熊熊看星星整理 第 7 页 共 7 页 2 求分式线性映射 ww z 将上半平面映射为单位圆 且 1 0 1 2 w iw 0 1 0 2 0 1 YziyZY wyWY ZWYw 解 采用过渡平面 先将映射到 中上半平面映射为 上的单位圆 再将映射到 中单位圆映射为 上的单位圆 联立 对 的映射 并代入解出待定系数即可 五 拉式变换 每题 7 分 共 2 题 14 分 1 求 0 sin t f ted 的 Laplace 变换 L f t 22 2 0 11 sin sin 1 1 1 1 sin 1 1 t t LtL et ss L f tLed s s 解 2 求 2 21 s e F s ss 的 Laplace 逆变换 1 LF s 11 22 11 1 2 11 1 1 1 1 t s t Lt Lte ss e LLF steu t s 解 六 6 分 f zu x yiv x y 是 D 内的解析