解析几何中的最值问题(1).doc

教 案【课 题】解析几何中的最值问题【教学目标】1.能够根据变化中的几何量的关系，建立目标函数，然后利用求函数最值的方法求出某些最值；2.能够比较熟练地应用数形结合的方法，结合曲线的定义和几何性质，用几何法求出某些最值。【方法指导】最值问题常见的解法有两种：代数法和几何法。若条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结论能明显一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、函数的单调性、三角函数的有界性、基本不等式等，这些方法叫代数法。【基础训练】1.双曲线的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e1+e2的最小值为（ ）A. B.2 C.2 D.4 2.若点P（x，y）在椭圆上，求x+y的最大、最小值，现有两种解法： 解法1：因同理，故，最大、最小值分别为3，-3。 解法2：令，则，由解得，故最大、最小值为。3.若x，yR，且，则的最大值是 ，最小值是 。4.设P（x，y）为曲线上任意一点，若之值最小，则P 点坐标为 。【例题选讲】例1已知点A(3,2), F(2,0)，在双曲线上求一点P，其坐标为 时，使最小。平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB中点，则|OP|的最小值是（ ）A. 1 B. C. 2 D. 3分析：这是两道典型的数形结合求最值的题目，方法：（1）借助圆锥曲线的第二定义；（2）借助第一定义。解：如图1，易知A点在双曲线的右支内，则据双曲线的第二定义知，若最小，只要|PA|+d最小，过点A作右准线的垂线AD，则PD与双曲线右支的交点即为所求点。根据双曲线的第一定义知，P点轨迹是双曲线的一支，如图2，P点为双曲线的顶点时，|OP|最小，即|OP|的最小值为双曲线的实半轴长，故选B。例2.已知定点A（a，0），其中，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a的值。解法一：设椭圆上一点P（x，y），|PA|=r，则.当时，得（舍）当时，函数在-3，3上是减函数，将x=3代入得，解得a=2或a=4（舍）。综上，a=2。解法二：设椭圆上点，则以下同解法一，略。点评：本题是通过建立二次函数求最值的，其中要特别注意顶点是否在此区间内，以及所讨论的区间中函数的单调性。例3.已知抛物线的顶点O，点A（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线与M，N两点，求AMN面积最大的直线l的方程，并求AMN的最大面积。思路一：对于AMN的面积，可利用线段|MN|的长及点A到直线l的距离d来表示，而表达式是关于b的函数，在考虑求函数的最值即可。解法一：设直线l的方程是y=x+b直线与线段OA相交，-5b0,由方程组消去y得直线l与抛物线必有两个交点,设为M(x1,y1),N(x2,y2)。则由弦长公式可得|MN|=设点A到直线l的距离为d，则=128当，即b=-1时，面积的最大值为此时直线的方程为y=x-1。思路二：若直线MN与x轴的交点为P，则AMN的面积也可表示为AMP和ANP的面积的和，而且这两个三角形同底，M、N的纵坐标的绝对值分别是高。，以下略。点评：根据题设条件建立目标函数，发现解析式特征，创造条件用均值不等式求最值；体现出在知识网络的交汇点设计问题；对综合运用知识解决问题的能力有较高的要求。【课堂练习】1.若点（x，y）在椭圆上，则的最小值为（ ）A. 1 B. 1 C. D. 以上都不对2.P是椭圆上的点，F1，F2是焦点，设k=|PF1|PF2|，则k的最大值与最小值之差为（ ）A. 1 B.2 C. 3 D. 43.直线y=k（x+2）与圆相交于A，B两点（O为坐标原点），三角形ABO的面积的最大值为 。4.AB为抛物线的一条弦，且|AB|=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为 。【课外作业】1.已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1m4）,当三角形ABC的面积最大时,m的值为( )A. 3 B. C. D. 2.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,当时, 的面积最大,则有( )A. m=12，n=3 B.m=24，n=6 C.m=6，n= D.m=12，n