分类计数原理、分步计数原理.doc

学科：数学教学内容：分类计数原理、分步计数原理【学习目标】掌握分类计数原理及分步计数原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题【高考试题剖析】1如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A12对B24对C36对D48对【解析】根据六棱锥和异面直线的意义，异面直线对数有24【答案】B2某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有（）A5种B6种C7种D8种【解析】500360270180，设用剩余的180元选购单片软件x片，盒装磁盘y盒，则60x70y180元（x，yN）当x0时，y0、1、2；当x1时，y0、1；当x2时，y0；当x3时，y0不等式共7组解，选购方法有7种【答案】C3十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线（）A24B16C12D10【解析】起点为种可能性，终点为种可能性，因此，行车路线共有12【答案】C2的正约数（包括1和72）有_个【解析】722332 2m3n（0m3，0n2，m，nN）都是72的正约数共43=12个【答案】125用五种不同的颜色给图101中四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有_种图101【解析】先涂区域1有种，再涂区域2有种，再涂区域3有种，最后涂区域4有种，根据分步计数原理【答案】240【典型例题精讲】例1甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种?【解】分两类：一类是甲厂生产的有34种，一类是乙厂生产的有45种，根据加法原理共有344532种【评述】应用这两个原理时，一定要区分事件是分类还是分步完成，对某些复杂的问题常先分类后分步，并做到层次清楚，不重不漏【答案】32例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）?【解】要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，因0不能为首位，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，有5种选法；第三步确定个位上的数字也有5种选法，根据分步计数原理，得到可以组成三位数的个数为N455100【评述】这类问题首先要明确：完成一件事指什么?如何完成这件事?即分步还是分类?应用分类计数原理还是分步计数原理【答案】100例3赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种选法？【解法一】依只会划左舷的人入选与否分类：675；【解法二】依只会划右舷的人入选与否分类：【答案】675例4甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有多少种承包方式【解】根据分步计数原理有：1680种【答案】1680种例5在直角坐标平面上的点P（a，b）满足：ab，a，b1，2，3，4，5，点P到原点O的距离为|OP|5求这样的点P的个数【分析】将符合要求的点P以横坐标a（或纵坐标b）作为分类标准分为六类，还可以先求|OP|5的点的个数【解法一】若a1，则b5或6，有2个点若a2，则b5或6，有2个点若a3，则b4或5或6，有3个点若a4，则b3或5或6，有3个点若a5，则b1或2或3或4或6，有5个点若a6，则b1或2或3或4或5，有5个点所以，符合条件的点有20个【解法二】由分步计数原理，符合ab的点有65共30个，其中|OP|5的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）共10个所以符合题意的点P有301020个【达标训练】1已知Aa1，a2，a3，Bb1，b2，b3，b4，b5，a1必须与b1对应，则A到B可建立映射的个数为（）A53B35C52D34【解析】根据映射定义，a2的象可以是b1、b5，a3的象可以是b1、b5，从而A到B可以建立5552个映射【答案】C2设椭圆1的焦点在y轴上，a1，2，3，4，5，b1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆个数共有（）A35个B25个C21个D20个【解析】一种首先确定ab的a、b值的方法对应一个椭圆，故椭圆个数为确定a、b值的方法数【答案】D个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报且报一所院校，则有_种不同报名法【解析】35243【答案】2434从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有_种【解析】当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5525【答案】255从1到100这一百个自然数中，每次取两个数使它们的和大于100，共有多少种取法？【解】100可与其前面99个数之一相加，99可与其前面97个数之一相加直到51仅与一个数50相加，故【答案】25006设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?【分析】五个球分别投放入五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置【解】先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有种；剩下的三个球，不失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号球方法数，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理：20种【评述】本题投放球有两种，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成【答案】207球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？【解】设击入黄球x个，红球y个符合要求，则有（x，yN）得1x4相应每组解（x，y），击球方法数分别为共有不同击球方法数为【解题指导】1分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合的理论基础这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理2元素能重复的问题往往用计数原理【拓展练习】备选题1关于正整数2160，求（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【解】（1）N2160243352160的正因数为P235，其中0，1，2，3，4，0，1，2，3，0，1所以2160的正因数共有54240个（2）式子（2021222324）（30313233）（5051）的展开式就是40个正因数所以正因数之和为3140674402五名学生报名，参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军