评国强的《四色猜想的证明》.doc

评国强的四色猜想的证明雷 明（二一二年二月四日） 国强先生在他的博客中发表了他的所谓证明四色猜测的论文四色猜想的证明一文，本人对其略谈一点看法：1、本文前部分即在抽屉原理之前部分，主要是讲把给地图的面上着色如何变成对数学中图的顶点着色的，地图最大只存在四个区域两两均相邻或平面图最大只可能存在四个顶点两两均相邻的分子图K4团以及极大图中在任一个面中增加一个顶点最大只可能与三个顶点相邻的情况。这些都是大家都明白的问题，也是图论中已经阐明了的问题，这一大部分的文字要与不要都是无关紧要的。2、关建是后一部分抽屉原理部分我认为是该文的核心，却说得不大清楚。我对此提出了要作者说明白一点时，作者进行了无理趣闹。我也只好在这理谈自已的看法了。既然在极大图中增加一个顶点最大只可能与三个顶点相邻，那么所增加的这个顶点就只能用第四种颜色，不可能用到四种以外的颜色。你造了四个抽屉A、B、C、D，你就把你所增加的“国家”即图中的顶点都放在这四个抽屉中就行了，增加的国家再多，四个抽屉也能把它放下，这不就说明问题了吗。3、你在这里又多说的几句“第6个国家与2个国家不相邻，即第6个国家可能与2个国家中的1个国家颜色相同，但是，如果这个不相邻的国家与相邻国家中的1个国家颜色相同，就会出现矛盾。”这会出现什么矛盾呢。现在的第6个国家只要和与它相邻的三个国家颜色不同就行了，与第6 个国家不相邻的国家用了什么颜色有什么关系呢。后面的“因此，第6个国家可涂成的颜色必须扣除前5个国家中因国家不相邻而出现的颜色在国家中的重复，扣除后的结果如果为0，则表明必须要用第5种颜色进行区分。”就更没名其妙了，更有其后面说的“前面已经得出，构成最复杂的相邻关系时，增加的第k个国家(k=5)与3个国家相邻，与k-4个国家不相邻，第k+1个国家则与k-3个国家不相邻，而(k -3)-(k -4)=1，由于扣除后的结果为1，因此，第k+1个国家一定有1个抽屉相对应。故，最复杂的相邻关系只需4种颜色即可。问题得证。”这是乎是在凑数，（k3）（k4）1这不就是一个恒等式吗，在这里k显然是国家数，k3、k4仍为国家数，这与扣除颜色的重复又有什么关系呢，你还是没有说明白嘛。4、你只说明了在极大图的面内增加顶点，而没有说明在极大图的边上增加顶点的这种情况。由于极大图中的任何一条边都只是两个三边形面的公共边界，在其一条边上增加一个点，最大只可能与四个顶点相邻，这个顶点能否用图中已用过的四种颜色之一，坎泊早在一百多年前已经证明是可以的，这里不再多说。极大图中在某条边上增加一个顶点根本不可能产生该顶点与5个以上顶点相邻的情况，当然也就不会产生赫渥特所谓的该顶点不能用已图中已用过的四种颜色之一的情况了（其实这种情况下，该顶点也是能着上图中已用过的四种颜色之一的）。这一点是你文章的一个缺陷，应该补上。5、关键的地方你说得不明白，而非关键的地方却又说了一大篇，这篇文章能起什么作用呢，你不就是想要读者同意你的观点吗，读者看都看不明白，你还能达到什么目的吗，你的文章又有何意义呢。我提出要你把这一部分说得明白一点，有什么不行呢，而且你也已认为你这一部分是有点不明白，那你为什么还要向我发难呢。6、我把你的原文及我与你的相互回复的帖子都附在后面，叫广大的网友们评评，谁是谁非。雷 明 二一二年二月四日于长安附件1：国强先生的原文：四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。2、 相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图： 图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图: 图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、 C、 D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。3、 完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。定理1：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家完全相邻，那么需要用N种颜色进行区分。（N1）证明：N个国家完全相邻，它们的相邻关系为： 1=2，1=3，1=4，1=N 2=3，2=4，2=5，2=N 3=4，3=5，3=6，3=N N-2=N-1，N-2=N N-1=N首先把N个国家都涂上不同的颜色，假定它们涂上的颜色名与国家名相同，就有了N种颜色，现在要证明的是，这N种颜色一种也不能少。可以假设第k种颜色可去掉(1=k=5)最多只能与3个国家相邻。证明：用数学归纳法。由于4个国家完全相邻时分割成的任何一个域其边界都只有3个国家，增加的第5个国家无论放在哪一个域中，第5个国家与边界上3个国家的情况与定理2中讨论第4个国家完全相邻时的情况相同，因此当第5个国家与边界上3个国家形成完全相邻时分割成的任何一个域其边界都仍然只有3个国家，而未分割的域其边界仍然只有3个国家，所以分割后形成的所有域中，其边界当然只有3个国家。假定k -1个国家(k=5)构成最复杂相邻关系时分割成的任何一个域其边界都只有3个国家，增加的第k个国家无论放在哪一个域中,第k个国家与边界上3个国家的情况与定理2中讨论第4个国家完全相邻时的情况相同，因此当第k个国家与边界上3个国家形成完全相邻时分割成的任何一个域其边界都只有3个国家。而未分割的域其边界仍然只有3个国家，所以分割后形成的所有域中，其边界当然只有3个国家。故结论成立。由此引理可知，在构成最复杂的相邻关系时，增加的第k个国家(k=5)与前k -1个国家中的k-4个国家不相邻，与其中的3个国家相邻。此引理也可得出，由于增加的每个国家都与这个国家所在域边界上任何一个国家相邻，因此与增加的国家不相邻的国家一定与增加的国家在不同的域内。还可以进一步得出，任何两个不相邻的国家都不可能在同一个域内。由此可知，由于只有不相邻的国家才可能出现颜色相同，因此增加的国家不可能与相同颜色的任意两个国家同时相邻，这显然是因为增加的国家不可能同时存在于两个域内。也就是说，可以把增加的国家与相同颜色国家相邻的情况看成增加的国家只与相同颜色中的一个国家相邻或不相邻。由于4个国家完全相邻需要4种颜色进行区分，因此我们设有A、B、C、D四个抽屉，代表四种颜色，然后把具有对应颜色的国家放进抽屉，开始的4个国家颜色可以任意给定，假设开始的4个国家对应的颜色为A、B、C、D，即为：A B C D1 2 3 4由引理可知，增加的第5个国家与前4个国家中的1个国家不相邻，这里设第5个国家与国家4不相邻，而不相邻可用相同颜色涂色，故第5个国家放在抽屉D里，为：A B C D1 2 3 4 5这种情况的相邻图可表示为： 把增加的第6个国家放在任一域中，假设第6个国家与1、2、5相邻，即第6个国家在1、2、5形成的域内，此时第6个国家与3、4不相邻，可以得出第6个国家与1、2、5的颜色不同，与3、4的颜色可能相同，也可能不同。当第6个国家的颜色与3、4中的国家4的颜色相同时，出现矛盾，因此第6个国家只能与国家3的颜色相同，为A B C D1 2 3 4 6 5第6个国家与2个国家不相邻，即第6个国家可能与2个国家中的1个国家颜色相同，但是，如果这个不相邻的国家与相邻国家中的1个国家颜色相同，就会出现矛盾。因此，第6个国家可涂成的颜色必须扣除前5个国家中因国家不相邻而出现的颜色在国家中的重复，扣除后的结果如果为0，则表明必须要用第5种颜色进行区分。前面已经得出，构成最复杂的相邻关系时，增加的第k个国家(k=5)与3个国家相邻，与k-4个国家不相邻，第k+1个国家则与k-3个国家不相邻，而(k -3)-(k -4)=1，由于扣除后的结果为1，因此，第k+1个国家一定有1个抽屉相对应。故，最复杂的相邻关系只需4种颜色即可。问题得证。附件2：我与国强先生的来往帖子：我元月十日的评论帖子：国强先生：你的“抽屉”原理，看来有一定的道理，但你从加入第6个“国家”后，文字有点纹理不清，一会儿是“扣除后的结果如果为0，则表明必须要用第5种颜色进行区分”；，一会儿又是“而(k-3)-(k-4)=1，由于扣除后的结果为1，因此，第k+1个国家一定有1个抽屉相对应”。你还能把它说得明白一点吗。雷明元月十六日国强回复：这里的叙述确实是多少有些问题的，很早我就发现了，只是没有改动，以前曾与我以前的同学林叶彬说起过，这里要说明白还需要用到归纳法，而且可能与一般的归纳法有所不同，这是有中间结果的归纳法，可以算是一种复合归纳法。我元月十六日又回复：不管你叫什么归纳法，但总要能叫人看明白。连你自已也认为不好弄明白，那怎么让别人能看明白呢。我建议你还是尽快地改一下。雷明元月十八日国强回复：你说的话不是让我弄明白，你说的话简直是叫我越来越糊涂，所以我认为简单的东西不需要修改。元月十八日我又回复：国强先生，一个人所写的文章首先是要别人能看明白，而在关键的地方连自已也认为是“这里的叙述确实是多少有些问题的，很早我就发现了，只是没有改动”，知道有问题又不改动就不合适了，而不是你所说的“我认为简单的东西不需要修改”。你改动不改动权利在你，我只是一个建议。但你不要忘记，你写文章的目的是要叫别人看的，是要通过它去影响别人的，是要别人认为你说得是对的，是有道理的。但连你自已也认为也有说得不明白的地方，还坚持不修改，把它说得更明白一点，那你还叫它怎么去影响别人呢。你的文章光你能看明白为什么用呢，你说了的话不是白说了吗，你又何必发在网上呢。我认为我给你所发的贴是很明白的，我把我们两人的几次对话也一起转抄在下面，你可以好好的再看一下。雷明，2012，元月18日1、元月10日我发贴：国强先生：你的“抽屉”原理，看来有一定的道理，但你从加入第6个“国家”后，文字有点纹理不清，一会儿是“扣除后的结果如果为0，则表明必须要用第5种颜色进行区分”；，一会儿又是“而(k-3)-(k-4)=1，由于扣除后的结果为1，因此，第k+1个国家一定有1个抽屉相对应”。你还能把它说得明白一点吗。雷明2、元月16日你回复：这里的叙述确实是多少有些问题的，很早我就发现了，只是没有改动，以前曾与我以前的同学林叶彬说起过，这里要说明白还需要用到归纳法，而且可能与一般的归纳法有所不同，这是有中间结果的归纳法，可以算是一种复合归纳法。3、元月16日我回复你：不管你叫什么归纳法，但总要能叫人看明白。边你自已也认为不好弄明白，那怎么让别人能看明白呢。我建议你还是尽快地改一下。雷明4、元月18