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求证 证 明 构 造 向 量 例 已知 求证 证 明 构 造 向 量 用数学归纳法证明不等式的技巧和对策 浙江宁波市北仑中学 吴文尧 数学归纳法是证明和自然数相关的不等 式的最有效方法 其证明的关键是如何实现 从 时原不等式成立 这个不等式不 妨称之为 假设不等式 到 时原 不等式成立 这个不等式不妨称之为 目标 不等式 的过渡 本文介绍用数学归纳法证 明不等式的若干技巧和对策 供大家参考 早期假设 合理放缩 要由 假设不等式 成立推证到 目标不 等式 成立 可先不择手段地尽早使用 假设 不等式 再利用辅助条件通过合理的放缩 逐步向 目标不等式 逼近 例 设 且 求证 对于任何 有 成立 证明 时 左边 右边 原不 等式显然成立 设 时原不等式成立 即 则 时 由 可得 即 时原不等式成立 由 可知对于任何 原不等式 成立 评注 上述过渡的第一步即不择手段 地呼唤出 是过 渡成功的一半 用尽 假设不等式 后 问题化归为求 等于 的二元函数在条件 下的 最小值问题 若注意到原不等式 成立条 件为 则容易想到上述放缩过程 先斩后奏 强行过渡 先通过 假设不等式 的等价变形得到 一个其中一边和 目标不等式 完全一样的 不等式后 对另一边的变形可先把 目标不等 式 的另一边强行写上 然后再解决遗留的 尾巴 问题 这种 先斩后奏 的方法也不失 为是实现过渡的好方法 例 设 且 求证 恒成立 证明 时 左边 右边 原不等式成立 设 的原不等式成立 即 即 时原不等式成立 由 可知对于任何 原不等式成立 评注 上述证明之所以比较流畅 其主要 原因是由 假设不等式 两边同加 后 使其左边和 目标不等式 一致后马上在 右边添加 此后问题化归为证明后面 的 尾巴 为非负即可 架桥铺路 平稳过渡 当 假设不等式 直接向 目标不等式 过渡有困难时 可以先寻求一个介于 假设不 等式 和 目标不等式 之间的 中途不等 式 通过对 中途不等式 的证明 实现由 假设不等式 到 目标不等式 的平稳过渡 而这个 中途不等式 仅起到桥梁的作用 例 设 且 求证 证明 时 成立 设 时原不等式成立 即 成立 成立 要证明 时原不等式成立 即 成立 只须证明不等式 成立 要证 明 不 等 式 成 立 只 须 证 明 又 恒 成立 成立 不等式 也成立 即 时原不 等式成立 由 可知对于任何 原不等式成立 评注 上述证明过程的关键是尽快由 假 设不等式 得到一个右边和 目标不等式 完 全一样的不等式后 由不等式的传递性寻找 到要证明的 中途不等式 合理化归 重点突破 若通过合理的化归 已经找到要证明的 中途不等式 而这个 中途不等式 又不是 很熟悉时 则可对 中途不等式 再进行分 析 找到问题的症结所在 然后进行重点突 破 例 设 求证 证明 时 左 边 右 边 原不等式成立 设 时原不等式成立 即 成立 成立 要证明 时原不等式成立 即 证明 成立 只 须 证 明 成立 只须证明 成立 下面证明 成立 不妨设 则 成立 故 时原不等式成立 由 可知 对于任何 原不等 式成立 评注 本题的证题思路基本和例 相同 当问题化归到证明不等式 时 只须对这个不等式进行重点突破 则问题就迎刃而解了 分类讨论 各个击破 当由 假设不等式 向 目标不等式 过 渡的处理方法和涉及的参变量的大小有关 时 可对这个参变量进行分类讨论 化为几个 小问题各个击破之 例 正项数列 中 对于任何 恒成立 求证 对于任 何 恒成立 证明 时由 解 得 原不等式成立 设 时原不等式成立 即 成立 由于 恒成立 时 成立 0 时 由 0 可知 时原不等式 成立 由 可知对于任何 成立 评注 当问题化归为只须证明 时 就 的值的大小进行讨论 使放 缩过程非常简捷 1 等价转化 围魏救赵 当给出的不等式不容易直接用数学归纳 法证明时 可以对命题进行等价转化 化归为 证明相对容易的不等式 例 1 已知数列 满足 且 且 求证 数列 对于任何 成立 或者对于任何 成立 分析 易见数列 为正项数列 且 故 可猜想 时 恒成立 时 恒成立 先证明 时 恒 成立 时结论显然成立 设 时结论成立 即 则 即 时结论成立 由 可知 恒成立 故 时 恒成立 同理 时 恒成立 即 时 恒成立 评注 本题若直接用数学归纳法加以证 明 则很难直达目标 上述证法先通过对原问 题的几次等价转化 降低了问题的难度 使问 题能较顺利的解决 加强命题 吃亏是福 当 假设不等式 很难过渡到 目标不等 式 时 有时可以考虑加强命题的方法 即先 证明一个比原命题要求更高的不等式 这种 方法表面上看是干了一件 吃亏 的事 但在 加强命题的同时也加强了 假设不等式 反 而使问题容易解决 真可谓是 吃亏是福 例 设 且 求证 对于任何 恒成立 分析 由于 故原不等式可加强为 证明 先证明对于任何 恒成立 时 即 成立 设 时结论成立 即 成立 则 时 成立 由 可知 对于任何 恒成立 故 恒成立 评注 本题的关键是通过分析找到加强 以后的不等式 0 弱化命题 以退求进 当一个问题不能全部解决时 可先解决 1 其中的一部分 如先证明对部分的自然数命 题成立 再把结论推广到一般情况 命题 对于全体自然数成立 例 设 求证 证明 先证明 原不等 式恒成立 时原不等式显然成立 时 此时原不等式成立 设 时即 的原不等式成 立 令 则 时 恒成立 则 时 即 时原不等 式成立 由 可知对于任何 时原不等式成立 对于任何 必存在 使 成立 令 则 成立 即 成立 由 可知对于