量子力学复习题部分解答.doc

s5如果算符、满足条件，求证：，证 利用条件，以左乘之得则有 最后得 。再以左乘上式得， 即则有 最后得 7（10分）求角动量z分量 的本征值和本征函数。解：波函数单值条件，要求当 转过 2角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得 Lz的本征函数910在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 将式中的代换，得 利用，得 比较、式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程、可相互进行空间反演 而得其对方，由经反演，可得， 由再经反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 乘 ，得 可见， 当时，具有偶宇称， 当时，具有奇宇称， 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S方程 在各区域的具体形式为 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得 其解为 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为 12设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 # 13 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 动量几率分布函数为 (2) 14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 动量的几率分布函数为 先把归一化，由归一化条件， 151516氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值；解：(1) 17 限高势阱中的粒子质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（）求系统能量本征值和归一化波函数； 解：（1）定态薛定谔方程：分离变量：，；，基态：，基态波函数：18氢原子处于态中，问 （1）是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； （2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？19求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢： 能量： 对角元： 当时， #2021设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 能量的二级修正值为 22一维无限深势阱(0x 0时的粒子波函数；A. , ， （2分） , （2分） B. （4分） （4分）28.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。解（1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有令 ，显然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是无微扰时，线性谐振子的零级波函数是当体系处于第态时，考虑微扰的影响，则能量变为其中 其中利用递推公式故 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元而 最后得能量的二级修正为故在准确到二级修正的情况下，总能量为（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。其中 定态薛定谔方程是而 令 ，则得故 这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。28若是电子的自旋算符，求a. =?b. a. 或 5分 b. 29307.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个