轴对称问题有限元法.doc

第四章 轴对称问题有限元法在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。这种问题就称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。第一节 轴对称问题弹性力学基本方程对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（）。如果将弹性体的对称轴作为Z轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r和Z轴的函数，而与无关，即不随变化。弹性体内任意一点只有两个位移：即沿r方向的径向位移和沿Z方向的轴向位移。由于轴对称，沿方向的环向（周向）位移等于零。因此轴对称问题是二维问题。在轴对称弹性体内用相距dr的两个圆柱面和过轴线互成d角的两个铅垂面切割出一个高为dz的微元体，如图2所示。(a)(b)沿r方向作用的正应力称为径向应力沿方向作用的正应力称为环向应力沿z方向作用的正应力称为轴向应力rz面内的剪应力 =故轴对称弹性体内任意一点的应力分量对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量其中 - 沿r方向径向线应变 - 沿方向环向线应变 - 沿z方向轴向线应变- rz面内的剪应变与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变。弹性体受载时，点（）产生径向位移，使过点（）的周长增加了，因而产生相对伸长，即环向应变:轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为写成矩阵形式根据虎克定律，应力与应变的关系为 由上式得 （4-2）这里弹性矩阵D为D第二节 三角形截面环单元一、 结构离散化 离散化轴对称体时，采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与rz平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状：3节点三角形、6节点三角形、4节点四边形和8节点四边形等等。单元的节点是圆周状的铰链，各单元rz平面（子午面）内形成网格。在我们这里研究的是3节点三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz平面（子午面）正交的截面是三角形，如图3所示。 图4-3 轴对称结构注：（1）对轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划分和分析，即在rz平面（子午面）截面进行网格划分和分析。但是应注意到单元是圆环状的，所有节点载荷都应为作用在单元节点所在的圆周上；同样，位移边界条件也是如此。（2）轴对称体受非轴对称载荷时，成为三维问题。此时，采用将载荷沿方向展成富氏级数的半解析方法，把三维问题化为一组二维问题。轴对称问题离散化例1 如图所示是一承受内压和外压的无限长厚壁圆筒，可取单位长度圆筒进行分析，有限元模型：轴对称问题离散化例2取四分之一模型研究，有限元模型（网格未划，只给出位移边界条件）：二、位移模式采用三节点三角形单元，单元节点位移列阵为： （4-3）仿照平面三角形单元，取线性位移模式 （4-4）类似平面三角形单元的推导，将节点坐标和节点位移代入位移模式（4-3）中，可解得。再将这些系数代回式（4-4）中，得 （4-5） 其中形函数 （i,j,m轮换） (4-6)而 （i,j,m轮换） (4-7) 三、单元应变为了求单元应变，将式（4-5）代入轴对称问题的几何方程，得 （4-9）式中 （i,j,m轮换）式（4-9）可简写为 （4-10）其中，为变矩阵，且可写为 （i,j,m）由式（4-9）可以看出，单元应变只有环向应变是坐标的函数，其它应变都是常量。四、单元应力为求单元应力，把式（4-5）代入轴对称问题的物理方程式，得 （4-11）式中，应力矩阵的子矩阵为： （i,j,m）其中 从式（4-11）可知，只有剪应力在单元中是常量，而其它应力分量在单元中都不是常量，与坐标r和z有关。为了简化计算和消除由r=0引起的奇异，通常取单元形心点的r、z坐标值作为其近似值，即 (i,j, m)其中 单元网格确定后，各单元的就是定值。这样按轴对称三节点三角形单元所求的应变和应力，是单元形心处的应变和应力近似值，它们都是常数。当单元较小时，误差很小，特别是单元离z轴较远时,误差就更小。第三节 单元刚度矩阵运用虚功原理来推导轴对称问题的单元刚度矩阵。单元在节点力作用下处于平衡状态，节点力列阵为 假设单元e的三个节点的虚位移为 单元上任一点的虚位移为 （4-12）单元的虚应变为 （4-13）根据虚功原理，单元体所吸收的虚应变能等于单元节点力所做的虚功，即 （4-14）将式（4-11）和式（4-13）代入式（4-14），则得 由于虚位移列阵的任意性，所以有 （4-16）式中，就是单元刚度矩阵 （4-17） 写成分块形式为 （4-18）其中每个子矩阵为 （s,t=i,j,m） (4-19) 把上式中的坐标用单元形心点的坐标代替，有 （s,t=i,j,m） (4-20)求得单元刚度矩阵后，就可向平面问题一样“子块搬家，对号入座”组集整体刚度矩阵。注：实践表明，只要网格剖分不太粗，这样近似计算引起的误差是很小的。第五节 等效节点载荷计算与平面问题类似，当结构外载荷不作用在节点上时，也需要将这些作用在环形单元上的集中力、表面力、和体积力分别移置到节点上。移置的原则也是要求这些外力和等效节点载荷在任意位移上所作的虚功相等，即 其中：且单元内任意一点的位移与节点位移之间有 故 所以有： （4-27）注意的任意性，所以有 （4-28）1. 体积力（1）自重 假设单元体力分量为式中为材料重量密度。由式（4-28），节点的等效节点载荷为 和平面问题一样，用面积坐标建立如下关系 利用面积坐标积分，则得 （i，j，m轮换）单元等效节点载荷为 （2）离心力设式中为材料质量密度，为结构绕对称轴旋转的角速度。节点的等效节点载荷为 积分所以节点的等效节点载荷为 （i，j，m轮换）单元等效节点载荷为2. 表面力设轴对称问题三角形截面环形单元的ij边上作用有线性分布的r方向面力。面力在节点i处的集度