辅助函数法的构造及应用.doc

浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用.3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证，则可通过倒推，分析了原函数的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点，使得 关于及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的换成；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数.例3.1 设函数在上二阶可导，且，,，证明：至少存在一点，使得.分析：令，则 .证明：令，依条件，在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，即. 由于,，故. 如下的命题也可以用这一方法来证明：如果函数在上可导，且，则至少存在一点，使得. 3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量,从而构造出相应的辅助函数的方法.命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(或)换成；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设是在上连续增加函数，证明：证明：把上式中的换成，移项，然后作辅助函数 .由于.又均为连续增加函数，因此，为减少函数.即.所以.如下的命题也可以用这一方法来证明：如果是在上连续函数，且，则.3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数； 第二步：将在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理). 例3.3设函数在上具有连续的二阶导数，证明在内存在一点，使得+)证明：令，则有，在处的二阶泰勒公式为+）+其中在与之间. 分别将，代入上式，并相减，则得， 其中，分别在与，与之间. 不妨设，则，考虑到的连续性及介值定理，可知在，之间至少存在一个使.故 +).3.4常数值法 在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作；第二步：恒等变形,使等式一端为的代数式，另一端为的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点改成，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数值法.例3.4 设在上存在，证明：至少存在一点，使得.分析：令.，这是关于端点的轮换对称式，令(可以令或)，于是.证明：令,则在上满足罗尔定理，于是分别存在使得，又. 由罗尔中值定理，至少存在，使得，即. 从而. 命题得证.3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的换成；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数在上可导，且满足关系 . 证明：至少存在一点，使得 .分析：令，积分得. (令). 令.证明：由条件知在上连续，在可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点，使得 .可见.对，由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，即.也就是.总之，构造辅助函数有许多方法(见1,2,3,4,5,6). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:1 同济大学. 高等数学(第五版) M . 北京: 高等教育出版社, 2002.2 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义M. 北京: 高等教育出版社, 1997.3 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释M . 西安:西安交通大学出版社, 2000.4 陈文灯. 考研数复习指南M . 北京: 世界图书出版公司,2009.5 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法 J . 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.6 郭乔. 如何作辅助函数解题J . 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048)Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications