数系的扩充复数.doc

第四章 数系的扩充复数知识网络范题精讲【例1】 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(52i)m+615i是实数；虚数；纯虚数；对应的点在第三象限；对应的点在直线x+y+4=0上；共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a、bR)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解:z=(1+i)m2+(52i)m+615i=(m2+5m+6)+(m22m15)i.mR,z的实部为m2+5m+6,虚部为m22m15.要使z为实数，必有m=5或m=3.要使z为虚数，必有m22m150,m5且m3.要使z为纯虚数，必有即m=2.要使z对应的点在第三象限，必有3m2.要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m2+5m+6,m22m15)满足方程x+y+4=0，(m2+5m+6)+(m22m15)+4=0.解得m=或m=1.要使z的共轭复数的虚部为12，则(m22m15)=12,m=1或m=3.评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a、bR)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.【例2】已知复数z1满足(z12)i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.解:由(z12)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(i)+2=3i.z2的虚部为2，可设z2=a+2i(aR),z1z2=(3i)(a+2i)=(3a+2)+(6a)i为实数，6a=0,即a=6.因此z2=6+2i.评注: 掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.【例3】复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线l,设l上的点对应的复数为z,求所对应的点的轨迹.分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(bR),然后再求所对应的点的集合.解:如下图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(bR).因此.设=x+yi(x、yR),于是x+yi=i.根据复数相等的条件,有消去b,有x2+y2=x.所以x2+y2=x(x0),即(x)2+y2=(x0).所以所对应的点的集合是以(,0)为圆心,为半径的圆,但不包括原点O(0,0).评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.试题详解高中同步测控优化训练(九)第四章 数系的扩充复数(A卷)说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下面四个命题中正确的命题个数是0比i大 两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 x+yi=1+i的充要条件为x=y=1 如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应A.0 B.1 C.2 D.3分析:本题考查复数的基本概念.解:复数集内不全是实数的数不能比较大小;2+3=5R,但2，3不是共轭复数;只有当x、yR时，才有x=y=1;若a=0,则0i=0不再是纯虚数.答案: A2.已知z1=2i,z2=1+3i，则复数的虚部为A.1B.1C.iD.i分析:本题考查复数代数式的除法运算.只需把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后求解.同时注意复数的虚部是i的系数.解：=i.答案: C3.(1i)2i等于A.22iB.2+2iC.2D.2分析:本题考查复数代数形式的基本运算.可利用完全平方公式及复数代数形式的乘法运算解决此类问题,但要注意把i2换成1.解:(1i)2i=(12i+i2)i=(12i1)i=2ii=(2)(1)=2.答案:D4.复数z1=3+i,z2=1i，则z=z1z2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:本题考查复数代数形式的乘法运算以及复数与复平面内点的一一对应关系.解:z1z2=(3+i)(1i)=42i.答案: D5.(ii1)3的虚部为A.8iB.8iC.8D.8分析:本题考查i的幂的运算性质.解:(ii1)3=(i)3=(i+i)3=(2i)3=8i3=8i,则虚部为8.答案: D6.已知复数z与(z+2)28i均是纯虚数,则z等于A.2i B.2iC.iD.i分析:本题考查虚数的基本知识及运算能力.此类问题通常利用两复数相等的充要条件转化为实数问题去解决.解:设z=bi(bR且b0),则(z+2)28i=(bi+2)28i=b2i2+4bi+48i=(4b2)+(4b8)i.b=2.z=2i.答案:B7.i是虚数单位,等于A.1+iB.1iC.1+3iD.13i分析:本题考查复数代数形式的基本运算.可利用多项式乘以多项式的方法解决此类问题,但应特别注意运算过程中的符号问题.解:=13i.答案:D8.已知复数z=3+4i且z(ti)是实数,则实数t等于A.B.C.D.分析:本题考查复数的基本概念.解题的关键是先根据复数的乘法把复数整理成a+bi的形式,再由虚部为零列t的方程求值.解:z(ti)=(3+4i)(ti)=3t+4+(4t3)i.3t+4+(4t3)i是实数,4t3=0.t=.答案:A9.过原点和i对应点的直线的倾斜角是A.B.C.D.分析:本题考查复数与复平面内点的对应关系及倾斜角和斜率的关系.解:i的对应点是(,1)，tan= (0).=.答案: D10.设=+i,A=x|x=k+k,kZ,则集合A中的元素有A.1个B.2个C.3个D.4个分析:本题考查的周期性及整数的划分.解:设=+i,则3k=1,3k+1=,3k+2=(kZ),当k=3n,nZ时，x=1+1=2;当k=3n+1,nZ时，x=+=+2=+=1;当k=3n+2,nZ时，x=2+=2+=1.答案: B第卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.的值等于_.分析:本题考查复数的除法运算.解: =2+3i.答案: 2+3i12.设z=1+()2003,则z=_.分析:本题考查i的周期性及常见复数的化简.如(1i)2=2i, =i等.解:z=1+()2003=1+i2003=1+i4500+3=1+i3=1i.答案: 1i13.8+6i的平方根是_.分析:本题考查复数的平方运算及复数相等的概念.解法一: 设8+6i的平方根是x+yi(x、yR)，则(x+yi)2=8+6i，即x2y2+2xyi=8+6i.由复数相等，得 或解法二: 8+6i=9+6i+i2=(3+i)2，8+6i的平方根是(3+i).答案: (3+i)14.复平面内，已知复数z=xi所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是_.分析:本题可根据复数的几何意义，构造不等式，求未知数的范围.解:z对应的点z(x,)都在单位圆内，|Oz|1,即1.x2+1.x20,aR),复数=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数.分析:本题考查复数的除法运算及复数的有关概念.可先把复数化成a+bi的形式再运算,也可直接代入运算.解:把z=代入,得=(+i)=()=(1+ai).4分于是a，即a2=4. 8分a0,a=2,=+3i. 10分17.(本小题10分)若zC,且(3+z)i=1(i为虚数单位),试求复数z.分析:本题考查复数相等的概念及复数的有关运算.此题可设复数z=a+bi(a、bR),把求复数z转化为列方程组求实数a、b值的问题;也可把复数z视为一个整体分离出来,求复数z.解法一:设z=a+bi(a、bR),则原方程可化为(3+a+bi)i=1.整理得b+(3+a)i=1. 5分由复数相等的定义,得方程组解得9分所以复数z=3i. 10分解法二:(3+z)i=1,(3+z)i2=i.3+z=i.z=3i.18.(本小题12分)已知z=1+i.(1)设=z2+3(1i)4,求;(2)如果=1i,求实数a、b的值.分析:本题考查复数的运算、复数相等等基础知识及运算能力.解:(1)由z=1+i,有=z2+3(1i)4=(1+i)2+3(1i)4=2i+33i4=1i. 4分(2)方法一: 由z=1+i,有=(a+2)(a+b)i. 9分由题设条件知(a+2)(a+b)i=1i.根据复数相等的定义，得11分解得12分方法二: 若进行除法计算较麻烦，可将已知等式变形为z2+az+b=(1i)(z2z+1),这样就避免了除法运算，相对来说要简单些.(z2z+1)(1i)=(1+i)2(1+i)+1(1i)=i(1i)=1+i，又z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,由题设及复数相等的定义，得19.(本小题12分)已知关于x的方程x2+(1