空间点、线、面之间的位置关系.ppt

1 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线 公理2 过不在的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有 那么它们有且只有 2 空间中直线与直线的位置关系 1 的两条直线叫做异面直线 两个点 在这个平面内 同一条直线上 一个公共点 一条过这个点的公共直线 不同在任何一个平面内 3 公理4 平行于同一直线的两条直线 这一性质称为空间平行线的 4 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 互相平行 传递性 相等或互补 5 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 我们把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 如果两条异面直线所成的角是直角 那么我们就说 锐角 或直角 这两条直线互相垂直 1 空间不共线的四点 可以确定平面的个数是 A 0B 1C 1或4D 无法确定解析 空间不共线的四点 可以构成平面四边形或空间三棱锥 答案 C 2 以下说法正确的是 A 经过三点确定一个平面B 经过一直线和一点确定一个平面C 两直线没有公共点 则两直线异面D 如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个平面重合解析 A 不共线的三点确定一个平面 B 一直线和直线外一点确定一个平面 C 两直线没有公共点 可能平行或异面 D 两个不重合的平面相交 必交于一直线 答案 D 3 如图所示 平面 平面 l A B AB l D C C l 则平面ABC与平面 的交线是 A 直线ACB 直线ABC 直线CDD 直线BC 解析 由题意 D l l 所以D 又D AB 所以D 平面ABC 即D在平面ABC与平面 的交线上 又C 平面ABC C 所以点C在平面 与平面ABC的交线上 从而有平面ABC 平面 CD 答案 C 4 正方体ABCD A1B1C1D1中 面对角线AC与BC1所成角为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 由AC A1C1 连结A1C1与A1B BC1A1为所求角 由于 BC1A1为等边三角形 则 BC1A1 60 答案 C 1 公理的应用 1 证明共面问题 证明共面问题 一般有两种证法 一是由某些元素确定一个平面 再证明其余元素在这个平面内 二是分别由不同元素确定若干个平面 再证明这些平面重合 2 证明三点共线问题 证明空间三点共线问题 通常证明这些点都在两个面的交线上 即先确定出某两点在这两个平面的交线上 再证明第三个点是这两个平面的公共点 当然必在两个平面的交线上 3 证明三线共点问题 证明空间三线共点问题 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过这个点 把问题转化为证明点在直线上的问题 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 根据异面直线的定义 2 异面直线的判定定理 3 反证法 3 求异面直线所成角的方法求异面直线所成的角是通过平移直线 把异面问题转化为共面问题来解决的 根据等角定理及推论 异面直线所成的角的大小与顶点的位置无关 将角的顶点取在一些特殊点上 如线段端点 中点等 以便于计算 具体步骤如下 1 利用定义构造角 2 证明所作出的角为异面直线所成的角 3 解三角形求角 考点一考查平面基本性质的命题 案例1 已知四个命题 三点确定一个平面 若点P不在平面 内 A B C三点都在平面 内 则P A B C四点不在同一平面内 两两相交的三条直线在同一平面内 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3关键提示 考查平面的基本性质 解析 根据平面的基本性质进行判断 不正确 若此三点共线 则过共线的三点有无数个平面 不正确 当A B C三点共线时 P A B C四点共面 不正确 共点的三条直线可能不共面 如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面 不正确 将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形 两组对边仍然相等 但四个点不共面 连平面图形都不是 显然不是平行四边形 答案 A 即时巩固1 若平面 的公共点多于2个 则 A 可能只有3个公共点B 可能有无数个公共点 但这无数个公共点有可能不在同一直线上C 一定有无数个公共点D 除选项A B C外还有其他可能解析 由公理3可知 若 的公共点多于2个 则 和 有无数个公共点 这些公共点可能在同一条直线上 也可能不在同一条直线上 因此选项A B均是片面的 C正确 答案 C 考点二共点 共线 共面问题 案例2 如图 在四面体ABCD中 E G分别为BC AB的中点 F在CD上 H在AD上 且有DF FC DH HA 2 3 求证 EF GH BD交于一点 关键提示 先证E F H G四点共面 再证O点在直线BD上 证明 因为E G分别为BC AB的中点 所以GE AC 又因为DF FC DH HA 2 3 所以FH AC 所以FH GE 所以E F H G四点共面 所以四边形EFHG是一个梯形 设GH和EF交于一点O 因为O在平面ABD内 又在平面BCD内 所以O在这两个平面的交线上 因为这两个平面的交线是BD 且交线只有这一条 所以点O在直线BD上 这就证明了GH和EF的交点也在BD上 所以EF GH BD交于一点 即时巩固2 如图 已知 ABC的三个顶点都不在平面 内 它的三边AB BC AC的延长线分别交平面 于点P Q R 求证 P Q R在同一条直线上 证明 因为AB的延长线交平面 于点P 所以根据公理3 平面ABC与平面 必相交于一条直线 设为l 因为P 直线AB 所以P 平面ABC 又因为直线AB 平面 P 所以P 平面 所以P是平面ABC与平面 的公共点 因为平面ABC 平面 l 所以P l 同理 Q l R l 所以点P Q R在同一条直线l上 考点三两条直线平行问题 案例3 已知空间四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 关键提示 利用线段平行证明四边形EFGH为平行四边形 即时巩固3 空间四边形的对角线互相垂直且相等 顺次连结这个四边形各边的中点所组成的四边形是 A 梯形B 矩形C 平行四边形D 正方形解析 设空间四边形中 AB AD CD CB的中点依次为E F G H 如图 则EF BD HG 关键提示 1 先找出异面直线AB与MD所成角的二面角的平面角 再求解 2 因为AB 平面OCD 所以点B和点A到平面OCD的距离相等 解 1 因为CD AB 所以 MDC为异面直线AB与MD所成的角 或其补角 作AP CD于点P 连结MP 因为OA 平面ABCD 所以CD MP 2 因为AB 平面OCD 所以点B和点A到平面OCD的距离相等 连结OP 过点A作AQ OP于点Q 因为AP CD OA CD 所以CD 平面OAP 因为AQ 平面OAP 所以AQ CD 又因为AQ OP 所以AQ 平面OCD