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六年级春季 例题解析 7第三讲 立体几何综合本讲重难点如下：1、长方体与正方体 2、圆柱与圆锥 3、综合应用 课前练兵1. 一种长方体密封硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口） 【分析】此题没有说明硬纸板的形状，一般默认是可以拼接，直接按照总面积除以一个长方体的表面积即可。【解答】表面积：2（106+105+65）=280（平方厘米）2210=420（平方米）420平方米=4200000平方厘米4200000280=15000（个）答：可以做这样的硬纸盒15000个。2. 如图，有一块长方形的纸片，如图所示剪开，制成圆柱，求制成的圆柱的体积？16.56cm【分析】圆柱的体积公式是：V圆锥=sh,由图可知，右边长方形是展开的侧边，其中一条边4r不可能是底面周长，那么底面周长=16.56-2r，由此可以求出半径r=2,代入体积公式即可求出体积。【解答】因为2r+23.14r=16.56所以 r=16.56（2+23.14）=2（厘米）底面积：3.14r2=3.144=12.56（平方厘米）高：h=4r=42=8（厘米）体积：V圆锥=sh=12.568=100.48（立方厘米）答：制成的圆柱的体积是100.48立方厘米。概念花园填一填1. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的 27 倍，表面积扩大到原来的 9 倍。2. 一个圆柱和一个圆锥体积的比是 2:1，底面积的比是1:2，如果圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是 4.5 厘米。3. 把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成两个长方体。当两个长方体的表面积的比是1:2时，这两个长方体的体积比是 1:5 。4. 有一个长方体，长、宽、高分别是16厘米、8厘米和5厘米，一只蚂蚁从长方体的某一顶点沿棱爬行，再回到该顶点，不走重复路线，最少爬 26 厘米，最多爬 90 厘米。5. 由若干个棱长1厘米的小正方体拼成一个大长方体，表面涂成红色，长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米，那么一面被涂成红色的有 22 块，两面被涂成红色的有 24 块，三面被涂成红色的有 8 块，没有涂色的有 6 块。6. 有一棱长是5厘米的正方体平放在桌面上，水平方向任意切2刀，竖直方向任意切3刀，切成若干小长方体，所有小长方体的表面积之和是 400 平方厘米。7. 一个底面积为125平方厘米，高6厘米的长方形容器，里面有3厘米深的水，现在把一个长方体铁条插入水中，水面上升2厘米，该铁条入水的体积可能是 250 立方厘米。知识点一：长方形和正方形例题1-1一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米,这个长方体的长、宽、高都是整厘米数且都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?【分析】因为前面的面积=长高，上面的面积=长宽，所以长（高+宽）=209平方厘米，又因为209的质因数分解只有1119，11无法拆成两个质数相加，而19能且只能拆成2和17这两个质数相加，因此长=11厘米，高和宽分别为2厘米和17厘米。【解答】因为长高+长宽=长（高+宽）=209又因为长宽高都是质数，209=1119=11（2+17）因此长=11厘米、高与宽分别为2厘米和17厘米体积：11217=374（立方厘米）表面积：2（1117+112+217）=486（平方厘米）答：这个长方体的体积是374立方厘米，表面积是486平方厘米。例题1-2用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【分析】表面积=（主视图面积+右视图面积+俯视图面积）2【解答】主视图有7块，右视图有7块，俯视图有9块2（7+7+9）11=46（平方厘米）答：该图形的表面积是46平方厘米。例题1-3在边长为4厘米的正方体木块的每组对面中心挖一个边与正方体的边平行的贯穿孔。孔口是边长为1厘米的正方形，求挖孔后木块的表面积和体积。【分析】如图，被挖掉的图形是三个114的长方体重叠在一起，挖孔后木块的表面积是原正方体表面积减去6个正方形小孔的面积，还要加上孔的侧面积，即这些挖去的长方体的可见侧面积。挖孔后木块的体积是原正方体体积减去挖去部分的体积。【解答】表面积：446=96（平方厘米） 116=6（平方厘米） （4-1）14=12（平方厘米） 123=36（平方厘米） 96-6+36=126（平方厘米）体积：444=64（立方厘米） 11（4-1）=3（立方厘米） 33+111=10（立方厘米） 64-10=54（立方厘米）答：挖孔后的表面积是126平方厘米，体积是54立方厘米。课堂练习1. 把一堆不规则的小石子浸没在一个棱长6厘米的正方体容器内，原来容器内的水高3厘米，现在水高是5厘米，这些小石子的体积共多少立方厘米？【分析】小石子的体积等于水增加的体积。【解答】66（5-3）=72（立方厘米）答：这些小石子的体积共72立方厘米。3厘米3厘米5厘米3厘米2. 如图，在下面白色长方体上放置一个灰色的正方体，整个几何体的表面积增加多少平方厘米？【分析】与原表面积相比，增加了5个正方体的面，减少了一个面，共增加了4个正方体的面。【解答】334=36（立方厘米）答：整个几何体的表面积增加36平方厘米。知识点二：圆珠与圆锥例题2-1如图，求直角梯形ABCD绕直线l旋转一周后形成几何体的体积。10厘米8厘米6厘米ABCD【分析】若把直角梯形补全成一个长为10厘米宽为6厘米的长方形，旋转形成一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆柱，补的部分旋转形成的几何体是一个底面直径为12厘米，高为2厘米的圆锥。直角梯形ABCD旋转形成的几何体体积等于该圆柱的体积减去该圆锥的体积。【解答】圆柱体积：3.146210=1130.4（立方厘米）圆锥体积：133.1462（10-8）=75.36（立方厘米）1130.4-75.36=1055.04（立方厘米）答：直角梯形ABCD绕直线l 旋转一周后形成几何体的体积是1055.04立方厘米。例题2-2如图，有一顶帽子，帽顶部分是圆柱形，用花布做；帽沿部分是一个圆环，用红布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是10厘米，那么哪种布用得多？【分析】 花布面积等于圆柱侧面积加上一个底面积，红布面积是圆环的面积。【解答】花布面积：3.14102+23.141010=942（平方厘米）红布面积：3.14202-3.14102=942（平方厘米）942平方厘米=942平方厘米答：两种布用得一样多。乙10cm4cmZz甲10cm6cm例题2-3如图，有甲、乙两个容器，先将甲容器中装满水，然后将水倒入乙容器中。求乙容器中水的深度。【分析】先求出水的体积，用该体积除以圆柱的底面积即可。【解答】圆锥体积：13 3.146210=376.8（立方厘米）圆柱底面积：3.1442=50.24（平方厘米） 376.850.24=7.5(厘米)答：乙容器中水的深度是7.5厘米。课堂练习1. 一个粮仓，上部分是圆锥，下部分是圆柱，圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米。求这个粮仓的体积是多少立方米？【分析】圆柱的体积加上圆锥的体积。【解答】圆柱体积：因为23.14r=9.42 所以r=9.4223.14=1.5（厘米） 3.141.522=14.13（立方米）圆锥体积： 3.141.520.63=1.413（立方米）14.13+1.413=15.543（立方米）答：这个粮仓的体积是15.543立方米。20cm2. 如图，厚度为5厘米的空心蛋糕，高是8厘米，求该蛋糕的体积。如果要在该空心蛋糕各面上都涂一层薄薄的奶油，需要涂多少平方厘米？【分析】体积是大圆柱体积减去小圆柱体积。表面积是大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+大圆柱底面积-小圆柱底面积。【解答】体积：202=10（厘米） 10-5=5（厘米）3.14（102-52）8=1884（立方厘米） 表面积：23.14108+23.1458+2（3.14102-3.1452）=1224.6（平方厘米）答：该蛋糕的体积是1884立方厘米，奶油需要涂1224.6平方厘米。知识点三：综合应用例题3-1把一个长和宽都是4分米，高是6.28分米的长方体油箱盛满油。如果把里面的油倒进一个底面半径是2分米的圆柱形的空桶内，油深多少分米？【分析】先求出长方体的体积，用长方形的体积除以圆柱的底面积。【解答】长方体体积：446.28=100.48（立方分米）圆柱底面积：3.1422=12.56（平方分米）100.4812.56=8（分米）答：油深8分米。例题3-2一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体先削成一个最大的圆柱，再削成一个最大的圆锥，每次要削去百分之几的体积？（想一想，怎样削最大？）（除不尽的，百分号前保留一位小数）【分析】将长方体削成圆柱，按高为10厘米、8厘米、6厘米分类讨论，最大的圆柱是以6厘米为高，8为底面半径的圆柱。将这个圆柱可以削成的最大的圆锥是高为6厘米，底面半径为8的圆锥。【解答】长方体体积：1086=480（立方厘米）圆柱体积：3.14(82)26=301.44（立方厘米）圆柱体积：133.14(82)26=100.48（立方厘米）（480-301.44）480100%=37.2%（301.44-100.48）301.44100%=66.7%答：第一次削去37.2%的体积，第二次削去66.7%的体积。例题3-3有一个水箱长、宽、高分别是4米，3米，1米，装满水要运往外地，用时需要一个半小时，运输30分钟后底部不小心被撞出一个直径为2厘米的小孔，每秒流出水柱5分米长。如果继续前行，抵达目的地后水箱里还有水么？如果有，还剩多少？【分析】先求每秒水柱的体积，乘上时间，得到流出水的体积，与原体积做对比即可。【解答】431=12（立方米）12立方米=12000立方分米1小时=3600秒 5分米=50厘米3.14(22)2503600=565200（立方厘米）565200立方厘米=565.2立方分米12000-565.2=11434.8（立方分米）答：抵达目的地后水箱里还有水，还剩11434.8立方分米。 课堂练习 1. 一个长方体木块，它的所有棱长之和为108厘米，它的长、宽、高之比为4:3:2。现在要将这个长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？【分析】棱长之和等于四长四宽四高，1084=27（厘米），根据比例可以知道长宽高分别是12厘米、9厘米、6厘米，分类讨论可知，以6为高，9为底面半径时，圆柱体积最大。【解答】1084=27（厘米）27（4+3+2）=3（厘米）长：34=12（厘米） 宽：33=9（厘米） 高：32=6（厘米）最大的圆柱高时6厘米，底面直径