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第三节 曲面及其方程教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。学生应学会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。介绍几个常见的二次曲面及描绘二次曲面的截痕法。教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程教学难点：旋转曲面， 截痕法教学内容：一、曲面方程的概念1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。2. 曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程有下述关系：（1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。3几种常见的曲面（1）球面例1：建立球心在、半径为R的球面的方程。 解：设是球面上的任一点，那么即：或：特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）（2）线段的垂直平分面（平面方程）例2：设有点和，求线段的垂直平分面的方程。 解：由题意知道，所求平面为与和等距离的点的轨迹，设是所求平面上的任一点，由于，那么化简得所求方程研究空间曲面有两个基本问题：1) 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。2) 已知坐标间的关系式，研究曲面形状。i.(3) 旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。二、旋转曲面设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f（y，z）0把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设为曲线C上的任一点，那么有f（y1，z1）0当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点，这时zz1保持不变，且点M到z轴的距离将z1z，代入式，就有旋转曲面的方程为旋转曲线绕哪个轴旋转，该轴对应变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式，即得旋转曲面方程常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（00）双曲抛物面（鞍形曲面）方程为（p与q同号）当p 0， q 0时，其形状如图所示。3双曲面单叶双曲面方程为双叶双曲面方程为各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱
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