物理原理在数学解题中的应用.pdf

中学数学研究2 0 0 3 年第8 期 物理原理在数学解题中的应用 南京师大数学系9 9 级教育硕士 2 1 0 0 9 7 高云霞 数学和物理有着不解之缘 复数的加减法 的几何意义与力的合成与分饵同出一辙 解析 r 茁 茁 以 几何中直线的参数方程 t 为参数 L 2 l 钟 具有鲜明的物理意义 正弦曲线与弹簧振子的 位移图象 二次函数的图象叫抛物线来源于物 理中抛射体的运动 物理中的钟摆又叫数学摆 重心 导数与速度 加速度的性质 既然物 理与数学有着如此深的渊源 那么用数学方法 解决物理问题也就是理所当然的 但反过来 用 物理方法 原理解数学题却往往不太受重视 其 实 大数学家庞加莱曾说过 物理学不仅给数学 工作者一个解题机会 而且也帮助我们发现解 题的方法 因此 在中学阶段应注意学科知识的 横向联系及相互渗透 这将有助于提高人的综 合素质与解决问题的能力 本文试举例说明物 理原理在中学数学中的妙用 以期抛砖引玉 一 利用力学原理巧证三角等式 例1 求证 c o s 5 0 e o s 7 P e o s l 4 9 c o s 2 2 1 0 c o s 2 9 3 0 2 2 1 分析 按常规和差化 积 繁 仔细剖析角的数量 特征 发现相邻角都相差 7 第 联想到正五边形 如图 1 根据力的合成与分解法 则 显然五个力向量面 图1 蔚 面 赢 赢 o 且各力向量在菇轴上 分力之和为0 嘲于4 c 蔺甲 c o d 4 9 c o s 2 2 1 0 e o s 2 9 3 0 注 利用对称共点力可证下面三角等式 2 7 r4 r2 m r 1 懈磊五 嘲五鬲 0 0 8 2 n 1 一l n 2 a 4 r L2 胍 z 锄芝i j l s m 2 g V i 眦 2 n l 2 一l 1 1 N 二 利用几何光学原理解最值应用题 例2 由河边城市A 运货到另一地点B 占 距河岸的垂直距离B C 3 0 千米 A C 4 0 千 米 如果水路单位运费是公路单位运费的一半 问怎样由B 向河岸修一条公路 才能使A 到B 的运费最低 此题是一道综合应用题 若用常规方法列 式求最值 不易 但用光学性质来解却很简洁 解 因为光线按最短路 线传播 那么把单位运费 设为口 类比为媒质对光 的折射率 把运输线路 设 某段路程为S 比拟为光 线 a s 类比光程 所求运费 图2 最低的问题就可转化为光线从曰射向河岸再 折向A 的问题 折射角为号 如图2 依条件得 t 3 点评 将高次函数降次是解决高次函数问 题常见的思路 这里通过因式分解实现 这比令 厂 茗 菇3 k 2 d 菇一2 菇一a 茹一卢 通过计算来得出口 p 与6 d 之间的关系要简 单 由上不难发现 用导数为工具来研究高次 函数 使得对一些较为复杂的高次函数的研究 及应用更为简捷 明晰 同时 对研究其它类型 的函数问题也有参考意义 口 3 9 万方数据 2 0 0 3 年第8 期中学数学研究 里 卷 占 口 詈 从而A D A C I J 一 一 一一 u 一 一J s i n 要口公路2 o B C t a n o l 4 0 3 0 等一2 3 千米 三 利用直线参数方程的物理意义解应用 题 直线参数方程 茹2 祝 a t 1 为参数 的物 L 2Y l 钟 理意义是 1 I 表示从位置 茗1 1 运动到位 置 茹 所需时间 2 a 6 分别表示菇 Y 轴方 向的分速度 3 坐标 茗一视 与 一 1 分别 表示菇轴与Y 轴方向的位移 例3 据气象台预报 在A 市正东方3 0 0 千米的B 处有一台风中心 它以每小时4 0 千 米的速度向西北方向移动 距台风中心2 5 0 千 米以内的地方都要受其影响 问从现在起大约 经过多长时间台风将影响A 市 持续多长时 间 精确到0 1 秒 解 如图3 建立坐标 系 设经过t 小时台风中心 移至B 则由直线参数方程 的物理意义得 3 0 0 4 0 t e o s l 3 5 0 4 0 t s i n l 3 5 0 即 3 0 0 2 0 应f 2 0 压 由 图3 l A 8 l 2 5 0 得1 6 t 2 1 2 0 2 t 2 7 5 0 解得 笪掣 墅掣 即2 0 8 6t t r r 一 剐厶 石 故大约经过2 小时台风开始影响A 市 持续时 间6 6 小时 四 利用重心原理巧求 巧证 例4 在Z X A B C 中 D E 三等分B C F 为 A C 的中点 B F 分别交A D A E 于肘 求 A M N 与A A B C 面积之比 解 设在4 曰 C 三点 分别配置质量m 2 m m 则 质点B 2 m 和C m 的重 心在D 处 质量为3 m 质 点A m 和C m 的重心在 点F 处 质量为2 m 因为 4 0 BDEc 图4 B F 与A D 应有公共重心M 所以A M M D 3 m m 3 1 从而A M A D 3 4 同理设在A B C 三点配置质量分别为2 m m 2 m 则可得 A N A E 3 5 S Z X A M T V S 删 A M A N 加 A E 9 2 0 易得s 胱 吉s 删 故 S 脚 S 胱2 3 2 0 注 用此法易证 三角形三条中线交于一点 邑这点到顶点的距离等于到对边中点距离的二 倍 例5 若口 b c R 且口 6 c 1 则 吉 i 1 9 证明 构造物理重心模 型 作函数 昙的图象 茹 O 并在其上取三点A 0 i 1 曰 6 i I c c 得三点的重心G 坐标 图5 f 菇 2 吾 口 6 c 知 号 吉 丢 i 1 再由曲线的凹性可知 G 点在曲线的上侧 所以 有殉 未 即专 丢 丢 赢 整理得丢 i 1 i 1 再i 3 2 再 又口 6 c 1 得吉 i 1 c 1 9 注 对此证法可以从四个方面引申推广 1 项数增多 当啦 0 i E N 则n 个质 点A t 口 去 A z 乞z 去 A 专 的重 心c 仍在曲线 一 的上侧 同理可得 1 1 1 1 2 瓦 瓦 i 而i i 五 2 分子一般化 如果在A f 点处挂上质量 m 则可得不等式 m j 旦 娩 口la 2口 万方数据 中学数学研究2 0 0 3 年第8 期 分离参数法解题例说 湖南师大附属中学 4 1 0 0 0 6 罗培基 含参数的数学问题 历来是数学高考和竞 赛的热点 也是中学数学的难点 本文将结合实 例 谈谈勰决含参问题的常用技巧 分离参数 法 例1 已知不等式 1 一m 鼻2 m 一1 菇一 m 3 0 在l 菇I 2 时恒成立 求m 的范围 解 原不等式等价于 菇2 一戈 1 l 菇2 一茹 3 I t 要 三弓 1 南 g 菇 可一 2 彳 L 菇 菇 一石 l菇 一菇 l 一2 舅 2 丢 茹2 一茹 1 7 了9 g 茹 等 m g 菇 在I 菇I 2 时恒成立甘 m g 菇 幽 m 号 解题策略 分离参数 若g 菇 存在最 小值 则 T g 舅 恒成立铮m 0 口 一 5 分 等 5 g g 戈 是R 上的增函数 g 算 的定义域 为 一 1 a g 菇 车令口 g 1 旦 啊翌 口的值集为 与n 解题策略 分离参数 著g 戈 在R 上 为增函数 g 菇 的定义域为 一 m 则 g x a c z a g m 例3 设函数尺菇 菇2 1 一舛 求a 的 范围 使函数以菇 在区问 o 上为单调函 数 解 在区间 0 上任取菇l 0 菇1 一 菇2 菇t 一菇z i 7 i 芋 淼一口 令了彳兰 朵 g 石l 茹2 要使 叫厢 俺i 吖 1 此7 一队 八石 在 o 为单调函数 必须对区间 o 上的任意茹1 菇2 都有以菇1 一八茗2 不改 f 型 一翌2 翌里 m l a l m 2 a 2 m n a n 3 方幂的变化 如果取y P 0 或P 1 其图象仍是凹的 同理可得 暴 虽 玎l m 1 m 2 玎h P 1 孑 m l a l m 2 a 2 r e n a n 4 凹凸的变化 当0 P 1 时 曲线Y 菇P 是凸的 这时重心应在曲线的下方 故只需 把上面不等式的不等号反向即可 综上可见 用物理方法解数学题 思路新 颖 具有独创性 优化了思维品质 提高了教学 效果 当然 用物理原理解数学题决不仅限于以 上几个方面 如 数学万花筒 中有名的 三村办 学 问题就可用位能最小原理迅