第一节Duhamel原理.pdf

第四章 双曲型方程 第四章 双曲型方程 1 Duhamel 原理原理 知识点提示 Duhamel 原理 齐次化原理 重 难点提示 如何利用 Duhamel 原理和齐次化原理将非齐次方程的求解化为齐次方程的 求解 教学目的 本节主要理解 Duhamel 原理和齐次化原理 使学生能应用 Duhamel 原理和 齐次化原理将非齐次方程的定解问题的求解转化为齐次方程的定解问题的求解 教学内容 第一节 Duhamel 原理 1 1 Cauchy 问题 1 2 混合问题 1 1 Cauchy 问题问题 在上半空间 0 n R上考虑n维波动方程的初值问题 2 2 12 2 1212 1212 0 0 n n n nn n tnn u uauf x xx t t u x xxx xx u x xxx xx R R R 0 I 其中 1 12 2n n x xx xx uuuu x II n 由于定解问题 I 是线性的 因此我们可以考虑如下两个 定解问题 1 11212 11212 0 0 0 nn tn u u x xxx xx ux xxx xx 和 III 0 0 212 212 212 0 0 n n tn uf x xx t ux xx ux xx 由线性叠加原理 易见 Cauchy 问题 I 的解可表为 u 12 uuu 1 1 其中和分别是 Cauchy 问题 II 和 III 的解 1 u 2 u 另一方面 定解问题 II 又可分成如下两个定解问题 1 II 2 II n 1 1 1 11212 1 112 0 0 0 0 nn tn u ux xxx xx ux xx 2 1 2 112 2 11212 0 0 0 0 n tn u ux xx ux xxx xx 显然 1 2 111 uuu 2 1 2 因此求解问题 I 可转化为求解问题 1 II II 和 III 下面我们将说明定解问题是基 本的 其它两个定解问题的解都可以通过它的解表出 2 II 定理定理4 1 设是定解问题的解 这里 2 112 n uUx xx t 2 II U 表示以 为初值 的定解问题的解 则定解问题 2 II 1 II III 的解u 1 12 u 可分别表示为 1 11212 n ux xx tUx xx t t n 1 3 21212 0 t nfn ux xx tUx xx td 1 4 其中 12 n ff x xx 证证 先证 1 3 事实上根据函数 12 n Ux xx t 的定义 我们有 12 1212 0 0 0 0 n nn U Ux xx Ux xxx xx t 因此 1 1 0 U uU tt 1 1121212 0 0 nn ux xxUx xxx xx t n 2 1 2 1121212 2 0 0 0 nn ux xxUx xxaUx xx tt 0 n 从而 1 1 u t U 是定解问题的解 下面证明 1 4 为此 我们先给出下面的齐次化原 理 齐次化原 理 1 II 引理引理 4 1 齐次化原理齐次化原理 若函数 12 n w x xx t 是定解问题 12 0 0 tt t tn wwt w w f x xx t 1 5 的解 则函数 21212 0 t n ux xx tw x xx td n 1 6 就是 III 的解 证证 由 1 6 容易看出 212 0 n ux xx 0 122 12 0 12 0 t n nt t n w x xx tu w x xx td tt w x xx t d t 因此 2 12 0 n u x xx t 0 另一方面 22 12122 22 0 2 1212 0 2 1212 0 2 122 t nn t t nn t nn n w x xx tw x xx tu d ttt f x xx taw x xx td f x xx taw x xx td f x xx tau 从而引理获证 为了应用的解表达 1 5 的解 作变换tt 2 II 则 1 5 变为 2 0012 0 0 t t tttn wawt wwf x xx 1 7 设 1 7 的解为 12 n w x xx t 则由上面的记号 1 7 的解可表为 1212 nfn w x xx tUx xx t 容易证明 1 5 和 1 7 的解之间有如下关系 1212 nn w x xx tw x xx t 于是 1 5 的解可写成如下形式 1212 nfn w x xx tUx xx t ii 1 8 由 1 6 1 8 及引理 4 1 立知 1 4 成立 定理 4 1 证毕 根据定积分的定义 表达式 1 4 可以表成积分和的极限 1 21212 0 0 lim ti n nfn i ux xx tUx xx ttt 其中 011121 0max niiii tttttttttt 这种把非齐次方程的 齐次初值问题 III 的解表为一系列具有非齐次初速度的齐次方程的定解问题 1 5 的解的叠 加 称为 Duhamel 原理原理 1 2 混合问题混合问题 为了简单起见 我们考虑一维的情形 在 0 0 l 上考虑一维波动方程的混合问题 A 2 12 00 0 0 0 0 0 ttxx t ua uf x txl t u xx u xxxl utt u l ttt 为了应用 Duhamel 原理 我们首先将边界条件齐次化 为此 构造一个辅助函数 121 x U x tttt l 1 9 然后作变换 v x tu x tU x t 1 10 则函数满足如下定解问题 v x t 2 1 0101 0 00 0 000 ttxx ttt xx l va vf x txl t vx vxxl vvt B 其中 1121 1121 1121 0 0 0 0 0 0 x f x tf x tttt l x xx l x xx l 1 11 按照线性方程的叠加原理 定解问题 B的求解可化成如下两个定解问题求解 C 0 D 2 11 00 0 0 0 0 0 00 ttxx t va vxl t v xx v xxxl vtv l tt 2 1 00 0 0 0 00 0 0 00 ttxx t va vf x txl t v xv xxl vtv l tt 不难证明 若分别是定解问题 12 v x t v x t CD 的解 则 是定解问题 1 v x tv x t 2 v x t B的解 从而定解问题 A的解为 12 v x tU x t u x tv x t 在定解问题 CD 中 问题是基本的 问题的解可以通过它的解表出 C D 定理定理 4 2 若函数 w x t 是混合问题 2 1 0 00 0 0 00 ttxx ttt xx l wa wxl t wwf xxl wwt E 的解 则函数 2 0 t v x tw x td 就是混合问题 的解 D 证证 与定理 4 1 的证明完全类似 从略 注注 上面对第一边值问题的求解方法 同样适用于第二边值问题及其它类型的混合问题 比如半无界弦的振动问题等 为了简洁 我们仅考虑如下第二边值问题 2 12 00 0 0 0 0 0 ttxx t xx ua uxl t u xx u xxxl utt u l ttt 0 1 12 求解 1 12 的关键 是将非齐次边界条件化为齐次边界条件 为此 构造辅助函数 2 121 2 x U x txttt l 1 13 然后作变换 v x tu x tU x t 1 14 则函数满足如下齐次边值问题 v x t 22 2 21121 2 121 2 121 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 ttxx t xx xa v