静电场补充习题.pdf

1 A B C D B 2 A B C D E D 3 0 1 2 1P 0 2 00 2 000 22 0 00 2 2 0 00 2 2 0 00 2 4 R 0 0 0 下列说法正确的是 闭合曲面上各点电场强度都为零时 曲面内一定没有电荷 闭合曲面上各点电场强度都为零时 曲面内电荷的代数和必定为零 闭合曲面的电通量为零时 曲面上各点的电场强度必定为零 闭合曲面的电通量不为零时 曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 判断下列说法正确与否 电场强度为零的点 电势也一定为零 电场强度不为零的点 电势也一定不为零 电势为零的点 电场强度也一定为零 电势在某一区域为常量 则电场强度在该区域内必定为零 电场强度相等的区域内 电势必定处处相等 两条无限长平行带电直导线相距为 均匀带有等量异号电荷 电荷线密度为求两 导线构成的平面上任一点的电场强度 设该点到其中一线的垂直距离为 求每一根 导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷的电场力 解 设两根导线在点产生的电场分别用和表示 如图所示 其中 所以 按照场强叠加原理可得 设和分别表示正 负带电导线单位长度所受的电场力 则有 设在半径为的球体内 其电荷为球对称分布 电荷体密度为 为一常量 试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度与的关系 r x EE Ei x Ei rx P EEEi xrx r i x rx FF FEri r FEri r FF Rr Rrkr k r O P x x r E E l l pe l pe ll pepe l pe l l pe l l pe r r ll vv vvvv vvvv v vv vvvvvv vv g v v 2 由此可知 二力大小相等 方向相反 这一对导线相互吸引 解法由于电荷呈球对称分布 所以分析得出电场的分布亦呈球对称分布 选任意半径为的 同心球面为高斯面 有 在球体内 所以由高斯定理有 所以球体内的场强分布为 在球体外 所以由高斯定理有 所以球体外的场强分布为 解法 利用电场叠加法 将带电球体分割成无数多个同心带电球壳 球壳的带电量为 由上述分析 在球体内 1 r 2 4 0 4 0 2 0 4 0 0 4 2 4 0 2 4 0 4 0 2 0 4 0 0 4 2 4 2 0 4 4 0 2 2 4 0 rESdE S RrkrdrrkrdVq rr i i S q SdE kr rE r rkr ERr RrkRdrrkrdVq RR i i S q SdE kR rE r r r kR ERr drrkrdVdq Rr p ppr e e p p e ppr e e p p e pr rr rr r r rr r r 0 2 0 2 0 2 0 44 4 0 2 4 0 2 0 4 0 2 0 2 0 44 4 2 0 4 4 0 5 0 2 0 0 e s e s s ps ps pe e s e s e s e s e s rrrrvr r rrr r 电势变化曲线如图所示 一圆盘半径为 圆盘均匀带电 电荷面密度为 试求 轴线上的电势分布 根据电场强度和电势梯度的关系求电场分布 计 算离盘心处的电势和电场强度 解 如图 将带电圆盘分割成一组半径不同的同心带电细圆环 则任一带电细圆环带电 量为 其在中心轴线上一点的电势为 则整个带电圆盘在点的总电势为 由可得中心轴线上任一点的场强为 将带入 中的和的表达式中 得 两个很长的共轴圆柱面 带有等量异号电荷 两者的 电势差为 求 圆柱面单位长度上带有多少电荷 处的电场强度 解 由于电荷分布在无限长同轴圆柱面上 所以电场强度必定沿轴线对称分布 因此选 半径为 长度为 的同轴圆柱面为高斯面 根据高斯定理有 当 有 所以两圆柱面间的场强为 由此可得两圆柱面间电势差为 解得 将及带入中 得 或 答案 不带电的导体球内含有两个球形空腔 两空腔中心分别有一点电荷 导体球外 距导体球较远的 处还有一个点电荷 如图所示 试求点电荷 各受多大的电场 力 rl i S q SdE i q rlE RrRlqi r E R R rdEU R R R R U r r E r E q EV d qq EV dd EV qq EV dR qbqc qdqbqcqd O R d q 0 0 2 21 0 2 1 2 0 12 ln 2 2 1 8 1 2 120 101 2ln 2 C m 2 m05 0 0 2 7557 2 0 V m 7560 V m 0 0 4 2 00 44 0 0 2 00 44 A 2 A r e e p l pe l pe l pel l pe l pe l pe pepe pepe rr r r g 静电场中的导体和电介质 如图所示 将一个电量为的点电荷放在一个半径为的不带电的导体球附近 点电荷 距导体球心为 设无穷远处为零电势 则在导体球心点有 1 A B C D qR dO 解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律可知 空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面的 感应电荷 而它们在导体外表面的感应电荷可以近似看作均匀分布 因而可以近似看作 均匀带电球对点电荷施加作用力 所以 点电荷与导体外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零 点电荷 处于球形 空腔的中心 空腔内表面感应电荷均匀分布 所以点电荷 受到的作用力均为零 在一半径为的金属球外面套有一个同心的金属球壳已知球壳的内 外半 径分别为 设球带有总电荷0 1 0 8C 球壳 B带有总电荷 2 0 1 0 8 C 1 求球壳内 外表面上所带的电荷以及球和球壳的电势 2 将球 壳接地 然后断开 再把金属球接地 求金属球和球壳内 外表面上所带的电荷 以及球和球壳的电势 解 1 根据静电感应和静电平衡时 导体表面电荷分布规律可知 电荷0 1 0 8C均 匀分布在球的表面 球壳内表面感应出 0 1 0 8C 外表面带电荷 0 1 0 8C 电荷在导体表面均匀分布 由电势叠加原理可得 球的电势为 球壳的电势为 2 导体接地 表明导体与大地等电势 而大地电势通常取为零 球壳接地后 其外表面的电荷与大地中和 球壳内表面带电 断开球壳的接地后 球接地 意味着此时球与大地等电势 电势为零 电势的变化必将引起电荷的重新分布 重新达到新的静电平衡 设此时球带电 则由静电平衡特性可知球壳 B 内表面感应电荷 外表面带电荷 因此有 A 2 0 4 A 3 1 6 0cm 2 8 0cm3 10 0cm 3 3 3 5 3 302010 106 5 444 V 3 30 105 4 4 V qd r qq qF cb dd qdqbqc qbqc RBB RRAQAQB BAB BAAB AB QA ABQAQBQA A R QQ R Q R Q V BAAA A B R QQ V BA B BQAB AA AqA qAqAQA pe pepepe pe 0 444 302010 8 313221 21 1012 2C 2 30 1092 7 4 V 8 1012 2C 8 1088 0C 4 R 3 26mmd 0 50m 22 00 ln 11 2 00 121052 5 lnln 00 F 5 0 10m 1 0 10m1 5cm 15cm25cm1 5cm15cm25cm3 R Qq R q R q V AAAA A A RRRRRR QRR q A A B R qQ V AA B B A q B AA Qq x R xd Rx P xdx EEE R Rd dx xdx EdxU Rd R Rd R R d R RdU C RQ r dr DErV RR d O x x P pepepe pe l pe l pe l pe l pe l pepel e s ll 解得球的带电量为 球壳的电势为 球壳内表面带电为 球壳外表面带电为 两输电线 其导线半径为 两线中心间距为 导线位于地面上空很高 处 因而大地影响可以忽略 求输电线单位长度的电容 解 设两根输电线单位长度的电量为 将原点选在左边 导线的轴线上 轴通过两输电线轴线并与之垂直 则在两 轴线组成的平面上 区域内 距原点为处的 点的场强为 由此可得两输电线间的电势差为 因此 输电线单位长度的电容为 如图所示 半径的导体球带有电荷0 1 0 8C 导体外有两层均匀介质 一 层介质的 5 厚度 另一层介质为空气 充满其余空间 求 离球心 处的和 离球心 处的 极化电荷面密度 解 带电导体球上的自由电荷均匀分布在导体球的表面 电介质的极化电荷也均匀分布在介 质的球形界面上 因而介质内的电场是球对称分布的 因此取半径为的同心球面为高斯面 则由高斯定理可得 时 该点在导体球内 则 时 该点在介质层内 5 则 时 该点在介质层内 5 则 时 该点在空气层内 则 取无穷远为电势零点 选过场点的一条电场线为积分路径 则由电势定义可得 处的电势为 处的电势为 处的电势为 r rR rD ED R rR dQrD r Q E r Q D r rR dQrD r Q E r Q D r rr ED r r r Q E r Q D r r r r r Q E r Q D r rr r r Q E r Q D rr r r Q dr r Q ldEV rr r dR Q dR Q r Q l d E l d EV rr dR dR r r dR Q dR Q R Q l d E l d EV rr dR dR R 04 2 1 0 0 11 2 3 4 2 0 3 2 3 4 4 1 5cm 0 0 11 2 15cm V m100 8 4 C m105 3 4 2 2 0 2 28 2 2 2 2 15cm V m100 8 4 C m105 3 4 2 2 0 2 28 2 2 2 3 25cm 0 V m104 1 4 C m103 1 4 3 2 0 3 28 2 2 3 2 3 25cm V360 44 0 2 0 33 33 2 15cm V480 4 44 0020 322 2 1 5cm V540 4 44 000 321 p p epep p pep e epep e epep ee pep pepe peepeepe peepeepe rr rrrr rrrr 3 0 2 0 4 1 1 28 2 C m106 1 4 1 2 0 4 1 1 28 2 C m104 6 4 1 6 1 0 10cm2 1 0cm 12 V m100 3 6 1 00 2 25 0max mC1066 2 2 0max 2 2 21 0 1 0 max 0 2 2 2 1 0 2 0 2 1 2 1 J m1076 5ln2 2 1 2 4 1 2 22 10 2 2 2 1 0 2 1 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上 因空气的电容率 其极化电荷可忽略 故在介质的外表面有 在介质内表面有 介质球壳内 外表面的极化电荷面密度虽然不同 但是两表面极化电荷的总量还是等量异号 的 有一半径为的长直导线 外面套有内半径为的共轴导体圆筒 导线 与圆筒间为空气 略去边缘效应 求 导线表面最大电荷面密度 沿轴线单位长度 的最大电场能量 提示 空气的击穿电场强度为 解 由于只有当空气中的电场强度 空气才不会被击穿 并且在导线表面附近 电场强度最大 由此即可以求出的极限值 设长直导线上单位长度的电荷为 则导线表面附近的电场强度为 所以 导线表面最大电荷面密度为 由上述分析可得 此时导线与圆筒间各点的电场强度为 其他 所以有 沿轴线单位长度的最大电场能量为 ee pe e ee pe e s pe e ee pe e s s l e s pe l es pel pe l ee pepep dR Q EP r r nrn dR Q P r r n R Q EP r r nrn R Q P r r n RR b E b EE R E b E b RE RrRE r R r E bm E bme E r R Ew R R ERrdrE r R rdrwdVwW b R R b V e V ee 7 212 1 00 2 0 2 2 0 22 1 2 2 0 2 2 2 0 2 2 一平行板空气电容器 极板面积为 极板间距为 充电至带电量为后与电源断开 然后用力缓缓地把两极板间距拉开到 求 电容器能量的