第四版 概率论与数理统计答案.pdf

关键词 随机过程 随机变量族 样本函数族 分布函数族 数字特征 均值函数 自相关函数 自协方差函数 独立增量过程 第十二章 随机过程及其统计描述 1 随机过程的概念 给定一随机试验E 其样本空间S e 将样本空间中的 每一元素作如下对应 便得到一系列结果 eX e Y e 12 n eX e XeXe eX e eX e tt X一维即 随机变量 X Y即 二维随机变量 12 n XXXn 维即 随机变量 X t t 即 随机过程 随机过程随机过程被认为是概率论的 动力学 部分 它的研究对象是随时间演变的随机现象 它是从多维随机变量向一族 无限多个 随机变量的推广 3 固定时就成为随机变量 联系 随机过程在 固定时就成为随机变量 联系 随机过程在 试验结果 是数的集合变量是在固定时间上的 函数的集合 上的试验结果 是时间 不同 过程是 试验结果 是数的集合变量是在固定时间上的 函数的集合 上的试验结果 是时间 不同 过程是 异同 随机过程与随机变量的 异同 随机过程与随机变量的 t Tt 2 1 TttX 随机过程的表示 随机过程的表示 随机过程 随机过程 依赖于参数t T的一族 无限多个 随机变量 记为 X t t T 其中 对每一个t T X t 是一随机变量 参数集 参数集 T 状态 状态 常把t看作为时间 称X t 为时刻t时过程的状态 状态空间 状态空间 对于一切t T X t 所有可能取的一切值的全体 样本函数样本函数或样本曲线 样本曲线 对随机过程 X t t T 进行一次试验 其 结果是t的函数 记为x t t T 随机过程与样本函数的关系就像总体和样本的关系 4 电子元件或器件由于内部微观粒子 如电子 的随机热骚动所引 起的端电压 它在任一确定时刻t是一随机变量 记为V t 随机变量族随机变量族 不同时刻对应不同的随机变量 当时间在某区间变化 热噪声 电压表现为一族随机变量 记为 V t t 0 样本函数族样本函数族 在相同条件下每次测量都将产生不同的电压 时间函数 不断地 独立的重复试验 便可得到一族电压 时间函数 v1 t v2 t vk t 可以是有限多个样本函数 5 t v1 t t v2 t t vk t tj 例 热噪声电压例 热噪声电压 例1 抛掷一枚硬币试验 样本空间是S H T 现借此定义 6 tt1t2O x t x t x cos t 1 2 cos tH X ttP HP T tT X t t 当出现 其中 当出现 则是一随机过程 t X tcos tt 对任意固定的是随机变量 取值为和 1 2 P X tcos tP X tt cos t t 此随机过程的样本函数只有两个 状态空间为 2 0 2 X tcostt 例 考虑式中 和 是 正常数 是在上服从均匀分布的随机变量 这是一个随机过程 t O x t x1 t 1 0 x2 t 2 3 2 t X tcost 对每一固定的时刻是随机变量 的函数 从而也是随机变量 它的状态空间是 0 2 i ii x tcost 在内随机取一数相应的就得到一个样本函数 i 这族样本函数的差异在于它们相位 的不同 故这一过程称随机相位为正弦波 0 1 0 1 i ii X tVcos tt VX t tX tVcos tV cos tv x tvcos t 例2x 设其中 是常数 在上服从均匀分布 则是一个随机过程 对每一固定的 是随机变量 乘以常 数 故也是随机变量 对上随机变量取一 值 就得到相应的一个样本函数 例例3 在测量运动目标的距离时存在随机误差 若以 t 表 示在时刻t的测量误差 则它是一个随机变量 当目标随 时间t按一定规律运动时 测量误差 t 也随时间t而变化 换句话说 t 是依赖于时间t的一族随机变量 亦即 t t 0 是一随机过程 且它们的状态空间是 9 4120 0 0 0 X tt tX t X t t 例 设某城市的急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫 以表示时间间隔内接到的呼叫次数 它是一个随机变量 且对于不同的 是不同 的随机变量 于是是一随机过程 且它的 状态空间是 1 t 2 t 3 t 4 t 1 t 2 t 4 t 3 t 1 4 2 3 1 x t 2 x t x t t 0 1 2 例5 考虑抛掷一颗骰子的试验 1 6 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 1 n nn n Xnnn XP Xii Xn 设是第 次抛掷的点数 对于的不同值 是随机变量 服从相同的分布 因而构成一随机过程 称为伯努利过程或伯努利随机序列 它的状态空间为 2 1 nn YnY n 设是前 次抛掷中出现的最大点数 也是 一随机过程 它的状态空间是 下面分别给出它们的一条样本函数 n 8765 4321 n x 3 2 1 6 5 4 n x 1 2 n 8765 4321 n y 3 2 1 6 5 4 n y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 随机过程的分类 随机过程的分类 随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分类 任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种 连续型随机过程 例2 例3 离散型随机过程 例1 例4 例5 连续型随机过程 例2 例3 离散型随机过程 例1 例4 例5 参数集T可分为离散集和连续集两种情况 连续参数随机过程 主要研究对象 离散参数随机过程 连续参数随机过程 主要研究对象 离散参数随机过程或随机序列 例5 随机序列 例5 12 2 nn Tttn tX t XXXXX n t 对于随机相位正弦波 若只在时间集上观察 就得到 例子 随机序列是连续型随 如下 机变量 1 连续参数连续型的随机过程 如例2 例3 2 连续参数离散型的随机过程 如例1 例4 3 离散参数离散型的随机过程 如例5 4 离散参数连续型的随机过程 2 随机过程的统计描述 分布函数 两种描述 数字特征 一随机过程的分布函数族 1212 12 1 11 12 22 2 21 2 3 1 2 Xnn n ni Xnn nn i Fx xxt ttP X tx X txX t n nt ttT nX tX tX txR in X t tT Fx xx t tttTX t t n x nT 一般地 对任意个不同的时刻 维随机变量的分布函数 称为随机变 量的 称为的 维分布函数 维分布函数族 1212 1 2 Xnni Fx xx t ttntT X t tT n 一般地 称为随机过程的 当 充分大时 它完全确定了随机 有限维分 过程的 布函数族 统计特性 X X X t Fx tP X tx tTtT X t tT Ft x T R x t 设随机过程对每一固定的 称为随机过程的 称为 一维分布函数 一维分布函数族 22 22 2 X X XXX XX X t tT tE X t tE Xt tDtEX tt tt 均值函数 均方值函数 方差函数 标准差函数 给定随机过程 各数字特征之间的关系如下 二二 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 12 1212 1212 1122 XX XX XX t tT Rt tE X t X t Ct tCov X tX t EX ttX tt 又设任 自 相关函数 自 协方差函数 意 2 XX tRt t 121212 XXXX Ct tRt ttt 22 XXXX tCt tRt tt 2 X t tTtT E Xt X t 随机过程 如果对每一都存在 则称是 二阶矩过程的均值函数和相关 二阶 函数 定 总 义 是 程 矩过 存在的 12 12 1 n n X t tT nt ttT X tX tX tn X t tT 是一随机过程 若它的每一个有限维分布 都是正态分布 即对任意整数及任意 服从 维正态分布 则称是 正态过程的全 定义 部统计特性完全由它的均值函数 和自协方差函数 或自相关函数 正态过程 所确定 X t Y ttT tT X t Y t X t Y ttT 设是依赖于同一参数的随机过程 对于不同的 是不同的二维随机变量 二维 称为随机过程 三三 二维随机过程的分布函数和数字特征二维随机过程的分布函数和数字特征 1211 1212 12121212 nm nm nnmm X t Y ttT t tt t ttT nmX tX tX tY tY tY t F x xx t tty yyt n tt m 给定二维随机过程 是 中任意两组实数 则维随机变量的 分布函数 称维 为二维随机联合 过程的分布函数 1211 1212 nm nm X t Y ttT n mt ttT t ttT nX tX tX tmY tY tY t X tY t 给定二维随机过程 对任意的正整数 任意的数组 维随机变量与 维随机变量 相互独立 称随相机过程和是互独立的 X t Y t关于数字特征 除了各自的均值函数和自相关函数 还有如下两个数字特征 12 12 0 XY X t Y tt tT Ct tX tY t 如果二维随机过程对任意的 恒有称和是不相关的 121212 121212 XY YX Rt tE X t Y tt tT Rt tE Y t X tt tT 互相关函数 121122 121212 12121212 XYXY XYXY YXYXYX Ct tEX ttY tt Rt tttt tT Ct tRt tttt tT 互协方差函数 独立 不相关的关系独立 不相关的关系 1 3 0 1 0 2 A B X tAtB tT A BANBU X t 例 设是两个随机变量 试求随机过程 的均值函数和自相关函数 如果相互独立 且 问的均值函数和自相关函数又是怎样的 X tE X t 解 3 tE AE B 1212 X Rt tE X t X t 22 1 21212 3 9 t t E AttE ABE Bt tT 0 1 0 2ANBU 当时 224 0 1 1 3 E AE AE BE B A B又因为独立 0E ABE A E B 故 121 212 12 X Rt tt tt tT 3 X t 0 2 X tacostt 例2 求随机相位正弦波 在上均匀分布 的均值函数 方差函数和自相关函数 解 由假设 的概率密度为 1212 X Rt tE X t X t 1 02 2 0 f 其他 X tE X t 于是 E acost 2 0 1 0 2 acostd 2 12 E a costcost 2 21 2 a costt 2 2 12 0 1 2 acostcostd 212 2 tt a cos 22 XXX tRt tt 2 2 X a Rt t 例例3 设X t Acos t Bsin t t T 其中A B是相 互独立 且都服从正态分布N 0 2 的随机变量 是实常数 试证明X t 是正态过程 并求它的均值函数和自相关函数 20 解 设A B是相互独立的正态变量 所以 A B 是二维正态变 量 对任意一组实数t1 t2 tn T X ti Acos ti Bsin ti i 1 2 n 都是A B的线性组合 而正态变量的任何线性组合仍然是 正态变量 因此X t1 X t2 X tn 是n维正态变量 因为n ti 是任意的 因此X t 是正态过程 21 另因E A E B E AB 0 E A2 E B2 2 由此可算得X t 的均值函数和自协方差函数 自相关函数 分别 为 X t E Acos t Bsin t 0 CX t1 t2 RX t1 t2 E Acos t1 Bsin t1 Acos t2 Bsin t2 2 cos t1cos t2 sin t1sin t2 2cos t2 t1 121212 12121212 XYZXYZ XYYZZXWW W tX t Y t Z t tttRt tR t tRt t Rt tRt tRt ttRt t 例4 随机过程是三个随机过程之和 已知 求 W tX tY tZ t 解 WXYZ tttt 12121212 WXYZ Rt tRt tR t tRt t 121212 XYYXXZ Rt tRt tRt t 121212 ZXYZZY Rt tRt tRt t 12121212 WXYZ Rt tRt tR t tR t t 则 0 XYZ ttt 若特 别的 X t Y t Z t 两两不相关 1212 0 XYXY Rt ttt 即 1212 0 0 XZYZ Rt tRt t 作业 3 6 8 3 泊松过程及维纳过程 01 10211 0 0 0 0 n nn X t ts tst X tX s nttt nX tX tX tX tX tX t X t s t t 给定二阶矩过程 对 上的增量 独立的增量过 若 称随机变量为随机过程在区间 对任意选定的正整数 和任意选定的 个增量相互独立 称为 它具有 在互不重叠的区间上 状态的增量是相互独立 的 程 这 直观地说 一特征 0 0 0 X tX h sX tsX shth X thX shX tX s tsstts 若对任意的实数和 与具有相同的分布 称 这时 增量的分布函数与的分布函数相同 即只依赖于时间差而不依赖于 和 本身 当增量具有平稳性时 称相应的独立增量过 增量 程是 具有平稳性 齐次的 独立增量过程的性质 0 0 0 X t tX 若是独立增量过程 且则 0 1 X tX tX sst 的有限维分布函数族可以由增量的 分布所确定 1212 12 12111 1 12 1211 0 0 0 nn n n ii i n nn nt ttttt X tX tX t X tXX tX tX tXX tX t X tX tX t X tXX tX tX tX t 事实上 对任意的 及任意的 不妨设 则 即的分布函数可由 的分布函数确定 2 XXX