141简单线性回归模式(Simple.pdf

6 25 2009 3 50 PM 1 十四 簡單線性迴歸分析十四 簡單線性迴歸分析 2 14 1 簡單線性迴歸模式簡單線性迴歸模式 Simple linear regression model 2 14 2 最小平方法最小平方法 Least squares method 普通最小平方法 普通最小平方法 ordinary least squares method OLS 3 14 3 最大概似估計法最大概似估計法 Maximum likelihood method ML 5 14 3 判定係 判定係 Coefficient of determination 6 14 4 模式假設模式假設 Model assumptions 10 14 5 顯著性檢定顯著性檢定 Testing for significance 11 14 6 運用迴歸方程式進 估算與預估運用迴歸方程式進 估算與預估 Using the estimated regression equation for estimation and prediction 16 14 7 統計軟體迴歸運用統計軟體迴歸運用 20 14 8 殘差分析 驗證模型假設殘差分析 驗證模型假設Residual analysis Validating model assumptions 22 14 9 殘差分析 群值和其他影響高的觀測值殘差分析 群值和其他影響高的觀測值 Residual analysis Outliers and influential 26 14 10 簡單線性迴歸分析統計軟體運用簡單線性迴歸分析統計軟體運用 26 14 10 1 研究問題研究問題 26 14 10 2 簡單線性迴歸分析簡單線性迴歸分析SPSS操作方法操作方法 27 14 10 3 簡單線性迴歸分析變 轉換簡單線性迴歸分析變 轉換SPSS操作方法操作方法 32 14 10 4 對 轉換依變 對 轉換依變 消費 額消費 額 的分析結果的分析結果 32 14 10 5 開平方轉換依變 開平方轉換依變 消費 額消費 額 的分析結果的分析結果 36 6 25 2009 3 50 PM 2 十四 簡單線性迴歸分析十四 簡單線性迴歸分析 Chapter 14 Simple Linear Regression Analysis 在迴歸分析程序中 將欲預測 推估 估計的變 視為依變 依變 因變 因變 應變 應變 response variable regressand 相依變 相依變 dependent variable 欲操作 操縱的變 視為 自變 自變 獨 變 獨 變 independent variable 預測變 解釋變 預測變 解釋變 explanatory variable regressor 回歸分析的目的是期望瞭解自變 的 值或改變 對於依變 產生 影響程 的 值或改變 欲分析的變 只有一個自變 和另一個依變 時 者的關係趨近於比 關係 線性關係 直線關係 時 則歸 為簡單線性迴歸分析簡單線性迴歸分析 simple linear regression analysis 在迴歸程序中 有超過 個 含 個 的自變 時 則歸 為多元迴歸分析多元迴歸分析 multiple regression analysis 相關分析 correlation analysis 主要是敘述 變 之間的關係之方向和關係之強 程 之大小 的統計方法 個變 之間皆是屬於隨機變 迴歸分析 regression analysis 主要是欲分析一個或一個以上自變 與因變 之間的影響程 期望藉由瞭解自變 對 因變 的影響程 而達到預測依變 的目的 14 1 簡單線性迴歸模式簡單線性迴歸模式 Simple linear regression model 簡單線性迴歸模式是探討一個自變 和另一個依變 之間關係的統計法 自變 與 依變 之間的關係可以分為正向關係正向關係 負向關係負向關係和沒有沒有 無無 關係關係三種 自變 與依變 之間的關係又可以分為線性線性 linear 和非線性非線性 nonlinear 種 設自變 為 x 如餐廳的 銷費用 依變 為 y 如餐廳的營業額 者的關 係為直線關係 可表示為確定模式確定模式 deterministic model yi 0 1 xi i 1 n 代表依變 y 僅受到自變 x 的影響 受其他因素影響只要確定自變 x 值 即可獲得依變 y 值 自變 x 與依變 y 之間有一對一的對應 值 但是 實務面 營業額還是會受到其他因素的影響 如競爭對手的 銷費用 競爭對手的強弱 餐廳所 在位置 餐廳目標消費者 等因素 再考慮上述其他隨機 影響 因素後 可將確定模 式 deterministic model 修正為機 模式機 模式 probabilistic model 或迴歸模式 迴歸模型迴歸模式 迴歸模型 regression model yi 0 1 xi i i 1 n Where yi 依變 第 i 個觀測值的實際觀測值 xi 自變 第 i 個觀測值 0 迴歸模式的 parameter 截距 intercept 常 項 constant term 1 迴歸模式的 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope i 第 i 個觀測值的隨機變 屬於隨機誤差 random error 音 epsilon 此 誤差項 error term 屬於在 x 和 y 線性關係上無法解釋的依變 y 變 性 6 25 2009 3 50 PM 3 變動性 n 觀測值 在簡單線性迴歸方程式中 假設假設誤差項 的平均值或期望值為 0 因此 在迴歸模 式中依變 y 的期望值 E yi 0 1 xi 故依變 y 的期望值與自變 x 屬於線性關係 敘述依變 y 的期望值與自變 x 關係的方程式 稱為迴歸方程式迴歸方程式 regression equation 預測方程式預測方程式 prediction equation 簡單線性迴歸方程式簡單線性迴歸方程式 E yi 0 1 xi 上述迴歸方程式中 0和 1值已知時 則可 用已知的自變 xi計算獲得依 變 yi 但是 實際上 0和 1值未知 必須 用樣本資 進 估算 假設 用樣 本統計值 b0和 b1 有時使用 0 和 1 符號 作為迴歸 0和 1值的估計值 則可獲得估 計迴歸方程式 estimated regression equation 估計簡單線性迴歸方程式估計簡單線性迴歸方程式 樣本迴歸方程式樣本迴歸方程式 i y b0 b1 xi Where i y 在自變 為 xi時依變 yi的估計值 依變 第 i 個觀測值的估計值 i y xi 自變 第i個觀測值 b0 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 0的估計值 截距 intercept 常 項 constant term b1 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 1的估計值 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope 樣本統計值b0和b1 估計值 估算法可分為最小平方法和最大概似估計法 maximum likelihood method ML 14 2 最小平方法最小平方法 Least squares method 普通最小平方法 普通最小平方法 ordinary least squares method OLS 用樣本資 中的自變 xi和依變 yi 實際觀測值 的對應 值 並使用自變 xi b0和b1推算依變 yi的估計值 i y 使得依變 yi和其估計值 i y 的差 距 之平方和 sum square error SSE 為最小 值 最小平方法 學法則 Min SSE yi i y 2 yi b0 b1 xi 2 Where yi 依變 第i個觀測值的實際觀測值 i y 在自變 為xi時依變 yi的估計值 依變 第i個觀測值的估計值 6 25 2009 3 50 PM 4 xi 自變 第i個觀測值 b0 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 0的估計值 截距 intercept 常 項 constant term b1 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 1的估計值 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope 用微分方式獲得估計迴歸方程式的斜 斜 slope b1和截距截距 intercept b0 斜 b1 n x x n yx yx i i ii ii 2 2 22 ii iiii xxn yxyxn 2 xx yyxx i ii 1 1 2 n xx n yyxx i ii 2 x xy S S 截距b0 y b1 x 22 2 ii iiiii xxn yxxxy Where yi 依變 第i個觀測值的實際觀測值 y 依變 的平均值 xi 自變 第i個觀測值 x 自變 的平均值 b0 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 0的估計值 截距 intercept 常 項 constant term b1 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 1的估計值 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope n 觀測值 Sxy 自變 x和依變 y的樣本共變 2 Sx 自變 x的樣本變 用最小平方法最小平方法估算依變 第i個觀測值之估計值 i y 的特徵 A 估計簡單線性迴歸方程式 樣本迴歸方程式 i y b0 b1 xi直線會通過自變 和依 變 平均值點 x y B 樣本殘差 ei 和為0 yi i y yi b0 b1xi ei 0 C 樣本殘差ei與自變 xi的共變 為0 樣本殘差和自變 x無線性關係 xi ei 0和Cov xi ei 0 D 樣本殘差ei與依變 預估值 i y 的共變 為0 樣本殘差ei與依變 預估值 i y 無線 性關係 i y ei 0和Cov i y ei 0 Sample 14 1 KK 鎖餐廳有 個營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均 每日販售套餐 依序 於下表 欲運用 銷費用預測套餐販售 而建 6 25 2009 3 50 PM 5 迴歸方程式 請 用最小平方法計算出估計簡單線性迴歸方程式的 值 斜 與截距 Solution 營業點i 銷費用xi套餐 yi xi yi 2 i x xi xyi y xi x 2 xi x yi y 1 150156 2340022500 33 41 2 1089 1359 6 2 160180 2880025600 23 17 2 529 395 6 3 180190 3420032400 3 7 2 9 21 6 4 160170 2720025600 23 27 2 529 625 6 5 190198 376203610070 8 49 5 6 6 210250 52500441002752 8 729 1425 6 7 180189 3402032400 3 8 2 9 24 6 8 160168 2688025600 23 29 2 529 671 6 9 180191 3438032400 3 6 2 9 18 6 10 260280 72800676007782 8 5929 6375 6 合計 18301972 371800 34430000 0 9410 10924 平均值 183197 2 371803443000 0 941 1092 4 斜 b1 n x x n yx yx i i ii ii 2 2 10 1830 344300 10 19721830 371800 2 334890344300 360876371800 9410 10924 1 1609 第一種公式計算方法 斜 b1 2 xx yyxx i ii 9410 10924 1 1609 第二種公式計算方法 截距b0 y b1 x 197 2 1 1609 183 197 2 212 4433 15 2433 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi 4T1A20090603上課進 14 3 最大概似估計法最大概似估計法 Maximum likelihood method ML 最大概似估計法假設假設依變 依變 yi屬於常態分布常態分布 依變 yi的平均值為b0 b1 xi 依變 yi的變 2 可表示為yi N b0 b1 xi 2 概似函 L 2 n i xbby ii e 1 2 2 2 10 2 1 2 2 10 2 2 1 ii xbby n e 用微分方式獲得估計迴歸方程式的斜 slope b1 截距 intercept b0和變 估計 值 2 6 25 2009 3 50 PM 6 斜 b1 n x x n yx yx i i ii ii 2 2 22 ii iiii xxn yxyxn 2 xx yyxx i ii 1 1 2 n xx n yyxx i ii 2 x xy S S 截距b0 22 2 ii iiiii xxn yxxxy 變 估計值 2 n xbby ii 2 10 Where yi 依變 第i個觀測值的實際觀測值 y 依變 的平均值 xi 自變 第i個觀測值 x 自變 的平均值 b0 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 0的估計值 截距 intercept 常 項 constant term b1 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 1的估計值 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope n 觀測值 Sxy 自變 x和依變 y的樣本共變 2 x S 自變 x的樣本變 依變 依變 yi和隨機誤差隨機誤差 屬於常態分布常態分布時 估計迴歸方程式的斜 slope b1和截距 intercept b0與最小平方法的方程式完全相同 Sample 14 2 KK 鎖餐廳有 個營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均 每日販售套餐 依序 於下表 欲運用 銷費用預測套餐販售 而建 迴歸方程式 請 用最大概似估計法最大概似估計法計算出估計簡單線性迴歸方程式的 值 斜 與截距 14 3 判定係 判定係 Coefficient of determination 估計迴歸方程式之適合 goodness of fit 的測 值 在依變 y的總變 中 可以 由自變 x之變 解釋的部分 透過樣本資 估算獲得估計迴歸方程式的斜 slope b1和截距 intercept b0 在第i 個樣本資 中 依變 的觀測值觀測值yi和估計值估計值 i y 之間的差距差距 稱為第i項殘差殘差 residual 代表預估值與實際值之間的誤差 在最小平方法中期望獲得殘差值之平方和是最小 6 25 2009 3 50 PM 7 值者 此 值屬於誤差造成的平方和誤差造成的平方和 誤差項平方和誤差項平方和 sum of squares due to error SSE 可解釋的變 隨機變 可解釋的變 隨機變 SSE yi i y 2 假設在未知研究族群 母體 總 N時 估計依變 yi 沒有任何其他資 時 使 用依變 yi的樣本平均值y作為第i項 任何 依變 yi的估計值 則yi y的差距 即是 使用樣本平均值y作為第i項 任何 依變 yi的估計值 所產生的差距 其對應的平方 和稱為總平方和總平方和 總變 總變 sum of squares total SST SST yi y 2 為評 迴歸所產生依變 估計值 i y 和樣本平均值y之間的差距 i y y 其對應的平 方和稱為迴歸造成的平方和迴歸造成的平方和 迴歸項平方和迴歸項平方和 sum of squares due to regression SSR 可解 釋的變 可解 釋的變 SSR i y y 2 依變 依變 yi的總差 的總差 yi y i y y yi i y 總差 迴歸差 可解釋的差 誤差差 誤差差 可解釋的差 依變 依變 yi的總變 的總變 yi y 2 i y y 2 yi i y 2 總平方和 總變 迴歸造成的平方和 迴歸項平方和 可解釋的變 誤差造成的平 方和 誤差項平方和 可解釋的變 隨機變 SST SSR SSE 判定係 判定係 coefficient of determination 即是迴歸造成的平方和迴歸造成的平方和 迴歸項平方和 可解釋 的變 佔總平方和總平方和 總變 的比 常使用R2或r2符號代表 R2 值範圍0 1 愈靠 近1迴歸方程式的適配 愈高 R2 SST SSR 2 2 yy yy i i 1 SST SSE 1 2 2 yy yy i ii 判定係 可以評 迴歸方程式的適配 適配 亦可評 迴歸方程式的解釋能 解釋能 SST和SSR計算公式 SST 2 i y n yi 2 SSR n x x n yx yx i i ii ii 2 2 2 6 25 2009 3 50 PM 8 Sample 14 3 KK 鎖餐廳有10營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均每 日販售套餐 於下表 請計算出估計簡單線性迴歸方程式的判定係 coefficient of determination Solution A 依據判定係 定義的計算方式 營業點i 銷費用xi 套餐 yi i y yi i y yi i y 2yi y yi y 2 1 150 156 158 89 2 89 8 36 41 20 1697 44 2 160 180 170 50 9 50 90 24 17 20 295 84 3 180 190 193 72 3 72 13 83 7 20 51 84 4 160 170 170 50 0 50 0 25 27 20 739 84 5 190 198 205 33 7 33 53 70 0 80 0 64 6 210 250 228 55 21 45 460 29 52 80 2787 84 7 180 189 193 72 4 72 22 27 8 20 67 24 8 160 168 170 50 2 50 6 25 29 20 852 64 9 180 191 193 72 2 72 7 39 6 20 38 44 10 260 280 286 59 6 59 43 44 82 80 6855 84 合計 1830 1972 1972 01 0 01 706 01 0 00 13387 60 平均值 183 197 2 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi SSE 706 01 SST 13387 60 SSR SST SSE 13387 60 706 01 12681 59 R2 SST SSR 60 13387 59 12681 0 9473 B 依據SST和SSR公式的計算方式 營業點i 銷費用xi套餐 yi 2 i y xi yi 2 i x 123400 22500 2 16018032400 28800 25600 334200 32400 4 16017028900 27200 25600 5 19019839204 37620 36100 6 21025062500 52500 44100 734020 32400 8 16016828224 26880 25600 934380 32400 10 26028078400 72800 67600 合計 18301972 402266 371800 344300 平均值 183197 2 SST 2 i y n yi 2 402266 10 19722 402266 388878 4 13387 6 SSR n x x n yx yx i i ii ii 2 2 2 10 1830 344300 10 19721830 371800 2 2 334890344300 360876371800 2 6 25 2009 3 50 PM 9 9410 109242 9410 119333776 12681 59 R2 SST SSR 60 13387 59 12681 0 9473 相關係 相關係 correlation coefficient 當 個隨機變 的關係屬於 獨 有相互關係 時 並呈現線性相關線性相關 表達正負向 關係和關係強弱者 即為相關係 樣本相關係 樣本相關係 Sample correlation coefficient Rxy或rxy Rxy b1的正負符號 判定係 b1的正負符號 2 R Where b1 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 1的估計值 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope R2 判定係 coefficient of determination Sample 14 4 KK 鎖餐廳有10營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均每 日販售套餐 於下表 請計算出估計簡單線性迴歸方程式的相關係 correlation coefficient Solution 依據判定係 定義的計算方式 營業點i 銷費用xi 套餐 yi i y yi i y yi i y 2yi y yi y 2 1 150 156 158 89 2 89 8 36 41 20 1697 44 2 160 180 170 50 9 50 90 24 17 20 295 84 3 180 190 193 72 3 72 13 83 7 20 51 84 4 160 170 170 50 0 50 0 25 27 20 739 84 5 190 198 205 33 7 33 53 70 0 80 0 64 6 210 250 228 55 21 45 460 29 52 80 2787 84 7 180 189 193 72 4 72 22 27 8 20 67 24 8 160 168 170 50 2 50 6 25 29 20 852 64 9 180 191 193 72 2 72 7 39 6 20 38 44 10 260 280 286 59 6 59 43 44 82 80 6855 84 合計 1830 1972 1972 01 0 01 706 01 0 00 13387 60 平均值 183 197 2 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi SSE 706 01 SST 13387 60 SSR SST SSE 13387 60 706 01 12681 59 R2 SST SSR 60 13387 59 12681 0 9473 迴歸方程式中b1屬於正值故在相關係 中為 Rxy b1的正負符號 2 R 9473 0 0 9733 6 25 2009 3 50 PM 10 判定係 coefficient of determination 的 值範圍0 1 相關係 correlation coefficient 的 值範圍 1 1 相關係 相關係 correlation coefficient Rxy運用上僅限定於 個 變 之間屬於線性關係者 判定係 判定係 coefficient of determination R2可以使用於線性關 係 非線性關係或 個以上自 獨 變 的關係 故 判定係 運用範圍比較大 4T1A20090608上課進 14 4 模式假設模式假設 Model assumptions 簡單線性迴歸分析的機 模式機 模式 probabilistic model 或迴歸模式 迴歸模型迴歸模式 迴歸模型 regression model yi 0 1 xi i i 1 n Where yi 依變 第i個觀測值的實際觀測值 xi 自變 第i個觀測值 0 迴歸模式的 parameter 截距 intercept 常 項 constant term 1 迴歸模式的 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope i 第i個觀測值的隨機變 屬於隨機誤差 random error 音epsilon 此 誤差項 error term 屬於在x和y線性關係上無法解釋的依變 y變動性 n 觀測值 估計簡單線性迴歸方程式估計簡單線性迴歸方程式 樣本迴歸方程式樣本迴歸方程式 i y b0 b1 xi Where i y 在自變 為xi時依變 yi的估計值 依變 第i個觀測值的估計值 xi 自變 第i個觀測值 b0 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 0的估計值 截距 intercept 常 項 constant term b1 迴歸模式E yi 0 1 xi parameter 1的估計值 迴歸係 regression coefficient 或斜 slope 用判定係 coefficient of determination R2 估計迴歸方程式之適合 goodness of fit 其必須先經過顯著性檢定 當未達顯著性水準時 判定係 R2 值高低 具任何 意義 達到顯著性水準時 判定係 R2 值高低才具有代表性意義 迴歸分析之顯著性檢定必須依據下 誤差項誤差項 殘差項殘差項 i的假設條件假設條件 A 各觀測點之誤差項 i的平均值或期望值為0 i E i 0 B 各觀測點之誤差項 i之間相互獨 Cov i j 0 at i j i j 1 n 任何 個 誤差項 相關 C 各觀測點之誤差項 i之變 2皆相等 V i 2 殘差項之變 具有均一性 齊 一性 D 各觀測點之誤差項 i屬於常態分布 i N 6 25 2009 3 50 PM 11 14 5 顯著性檢定顯著性檢定 Testing for significance 簡單線性迴歸方程式簡單線性迴歸方程式E yi 0 1 xi中 斜 1等於0時 則依變 E yi 和自 變 xi之間沒有關係存在 當斜 1 等於0時 代表依變 E yi 和自變 xi之間有 相關性存在 故在檢定依變 E yi 和自變 xi之間的迴歸關係時 必須進 斜 1是 否等於0的假設檢定 進 斜 1是否等於0的假設檢定時 可以 用t值檢定和F值檢定 再進 斜 1是否等於0的假設檢定前 需要先估計迴歸模式中誤差項 殘差項 i的變 2 誤差項誤差項 i的變 的變 2估算估算 在自變 xi與依變 yi的迴歸模式yi 0 1 xi i中顯示 誤差項 i的變 2 亦即是依變 yi在迴歸模式中的變 誤差均方 誤差平均平方和誤差均方 誤差平均平方和 mean square error MSE 則為誤差項 i之變 2的估計值 可表示為S2 可由殘差平方和 sum square error SSE 除以其自由 degree of freedom df 獲得 在計算殘差平方和 sum square error SSE 時 需先估算迴歸模式的 個 0和 1 因此殘差平方和的自由 為n 2 MSE S2 2 SSE n 2 2 n yy ii 2 2 10 n xbby ii 誤差項 i之標準偏差 的估計值S稱為估計值的標準偏差估計值的標準偏差 standard error of the estimate S 2 S 2 SSE n 2 2 n yy ii 2 2 10 n xbby ii Sample 14 5 KK 鎖餐廳有10營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均每 日販售套餐 於下表 請計算出估計簡單線性迴歸方程式誤差項 i之變 2和標準偏差 的估計值 Solution 營業點i 銷費用xi套餐 yi i y yi i y yi i y 2 1 150156 158 89 2 89 8 36 2 160180 170 50 9 50 90 24 3 180190 193 72 3 72 13 83 4 160170 170 50 0 50 0 25 5 190198 205 33 7 33 53 70 6 210250 228 55 21 45 460 29 7 180189 193 72 4 72 22 27 8 160168 170 50 2 50 6 25 9 180191 193 72 2 72 7 39 10 260280 286 59 6 59 43 44 合計 18301972 1972 01 0 01 706 01 平均值 183197 2 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi SSE 706 01 MSE S2 2 SSE n 210 01 706 88 2513 6 25 2009 3 50 PM 12 S 2 S 2 SSE n 2513 88 9 3942 t值檢定值檢定 用樣本資 檢定迴歸方程式中斜 1是否等於0 設 假設 A 虛無假設 null hypothesis H0 1 0 B 對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 經過統計驗證的結果顯示 接受虛無假設H0 1 0時 則顯示依變 E yi 和自 變 xi之間沒有足夠的證據證明 者關係存在 接受對 假設 alternative hypothesis H1 1 0時 代表依變 E yi 和自變 xi之間有統計上的相關性存在 在進 統計驗證時 將依據迴歸方程式斜 1之估計值b1之抽樣分布資 迴歸方程式斜 迴歸方程式斜 1之估計值之估計值b1之抽樣分布之抽樣分布 b1期望值E b1 1 b1標準偏差 1 b n x x i i 2 2 分布方式屬於常態分布 誤差項 i之標準偏差 未知時 可以 用誤差項 i之標準偏差 的估計值S取代 標準偏差 以獲得b1標準偏差 1 b 的估計值 1 b S b1標準偏差 1 b 的估計值 1 b S n x x S i i 2 2 t檢定統計值 t 1 1 b S b 雙尾檢定雙尾檢定 a two tailed test 2 t t 2 t 接受虛無假設 null hypothesis H0 1 0 t 2 t 拒絕虛無假設 null hypothesis H0 1 0 接受對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 2 t為顯著水準 自由 n 2的t分布 值 Sample 14 6 KK 鎖餐廳有10營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均每 日販售套餐 於下表 請 用t值法檢定迴歸方程式中斜 1是否等於 0 Solution 營業點i 銷費用xi 套餐 yi i y yi i y yi i y 22 i x 1 150 156 158 89 2 89 8 36 22500 6 25 2009 3 50 PM 13 營業點i 銷費用xi 套餐 yi i y yi i y yi i y 22 i x 2 160 180 170 50 9 50 90 24 25600 3 180 190 193 72 3 72 13 83 32400 4 160 170 170 50 0 50 0 25 25600 5 190 198 205 33 7 33 53 70 36100 6 210 250 228 55 21 45 460 29 44100 7 180 189 193 72 4 72 22 27 32400 8 160 168 170 50 2 50 6 25 25600 9 180 191 193 72 2 72 7 39 32400 10 260 280 286 59 6 59 43 44 67600 合計 1830 1972 1972 01 0 01 706 01 344300 平均值 183 197 2 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi 設定顯著水準 0 01 A 虛無假設 null hypothesis H0 1 0 B 對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 C 計算統計檢定值 t值 SSE 706 01 MSE S2 2 SSE n 210 01 706 88 2513 S 2 S 2 SSE n 2513 88 9 3942 1 b S n x x S i i 2 2 10 1830 344300 3942 9 2 334890344300 3942 9 0052 97 3942 9 0 0968 t 1 1 b S b 0968 0 1609 1 11 9875 v n 2 10 2 8 0 01 t0 005 8 3 3554 D t 11 9875 t0 005 8 3 3554 接受對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 因 此迴歸方程式中斜 1 等於0 自變 與依變 之間的迴歸關係達到顯著性相 關 迴歸方程式具有解釋 預測 能 F值檢定值檢定 用F機 分布檢定樣本資 檢定迴歸方程式中斜 1是否等於0 使用於驗證迴 歸關係的顯著性 只有一個自變 xi 簡單線性迴歸分析 時 用t值檢定和F值檢 定的結果相同 當有 個 含 以上自變 xi時 僅可以使用F值檢定法 以驗證全部自 變 xi與依變 yi之間關係的顯著性 欲檢定迴歸方程式中斜 1是否等於特定 值 C 或進 左右尾檢定時 皆必須使用t值檢定法 無法使用F值檢定法 6 25 2009 3 50 PM 14 迴歸造成的均方迴歸造成的均方 mean square due to regression 迴歸均方 迴歸平均平方和迴歸均方 迴歸平均平方和 mean square regression MSR 是迴歸項平方和 sum of squares due to regression SSR 除以迴歸 自由 regression degrees of freedom df 獲得 迴歸自由 regression degrees of freedom df 等於自變 之個 MSR df SSR 用F值檢定的程序 A 虛無假設 null hypothesis H0 1 0 B 對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 C 計算統計檢定值 F值 F MSE MSR D F F 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 F 系分子自由 1 分母自由 n 2的F分布 值 n為樣本 Sample 14 7 KK 鎖餐廳有10營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均每 日販售套餐 於下表 請 用F值法檢定迴歸方程式中斜 1是否等於 0 Solution 營業點i 銷費用xi 套餐 yi i y yi i y yi i y 2 yi y yi y 2 1 150 156 158 89 2 89 8 36 41 20 1697 44 2 160 180 170 50 9 50 90 24 17 20 295 84 3 180 190 193 72 3 72 13 83 7 20 51 84 4 160 170 170 50 0 50 0 25 27 20 739 84 5 190 198 205 33 7 33 53 70 0 80 0 64 6 210 250 228 55 21 45 460 29 52 80 2787 84 7 180 189 193 72 4 72 22 27 8 20 67 24 8 160 168 170 50 2 50 6 25 29 20 852 64 9 180 191 193 72 2 72 7 39 6 20 38 44 10 260 280 286 59 6 59 43 44 82 80 6855 84 合計 1830 1972 1972 01 0 01 706 01 0 00 13387 60 平均值 183 197 2 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi SSE 706 01 SST 13387 60 SSR SST SSE 13387 60 706 01 12681 59 MSE s2 2 SSE n 210 01 706 88 2513 MSR df SSR 1 12681 59 12681 59 A 虛無假設 null hypothesis H0 1 0 B 對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 C 計算F值 6 25 2009 3 50 PM 15 F MSE MSR 88 2513 12681 59 143 6986 F0 01 1 8 11 2586 D 則F 143 6986 F0 01 1 8 11 2586 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 因此迴歸方程式中斜 1 等於0 自變 與依變 之間的迴歸關係達到顯著性 相關 迴歸方程式具有解釋 預測 能 簡單線性迴歸變 分析 anova 表 變 源 source of variation 平方和 sum of square 自由 degrees of freedom 均方 mean square F 迴歸項 regression SSR i y y 2 1 MSR 1 SSR F MSE MSR 誤差項 隨機項 error SSE yi i y 2 n 2 MSE 2 SSE n 總變 total SST yi y 2 n 1 Sample 14 8 KK 鎖餐廳有10營業點 每個營業點個別的平均每日 銷費用和平均每 日販售套餐 於下表 請 用F值法中製作anova表檢定迴歸方程式中 斜 1是否等於0 Solution 營業點i 銷費用xi 套餐 yi i y yi i y yi i y 2 yi y yi y 2 1 150 156 158 89 2 89 8 36 41 20 1697 44 2 160 180 170 50 9 50 90 24 17 20 295 84 3 180 190 193 72 3 72 13 83 7 20 51 84 4 160 170 170 50 0 50 0 25 27 20 739 84 5 190 198 205 33 7 33 53 700 80 0 64 6 210 250 228 55 21 45 460 29 52 80 2787 84 7 180 189 193 72 4 72 22 27 8 20 67 24 8 160 168 170 50 2 50 6 25 29 20 852 64 9 180 191 193 72 2 72 7 39 6 20 38 44 10 260 280 286 59 6 59 43 44 82 80 6855 84 合計 1830 1972 1972 01 0 01 706 01 0 00 13387 60 平均值 183 197 2 銷費用對銷售套餐 的迴歸方程式 i y b0 b1 xi 15 2433 1 1609 xi SSE 706 01 SST 13387 60 SSR SST SSE 13387 60 706 01 12681 59 MSE s2 2 SSE n 210 01 706 88 2513 MSR df SSR 1 12681 59 12681 59 A 虛無假設 null hypothesis H0 1 0 B 對 假設 alternative hypothesis H1 1 0 6 25 2009 3 50 PM 16 C 計算F值 F MSE MSR 88 2513 12681 59 143 6986 F0 01 1 8 11 2586 D 則F 143 6986 F0 01 1 8 11 2586 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 因此迴歸方程式中斜 1 等於0 自變 與依變 之間的迴歸關係達到顯著性 相關 迴歸方程式具有解釋 預測 能 變 源 source of variation 平方和 sum of square 自由 degrees of freedom 均方 mean squre F 迴歸項 regression 12681 59 1 12681 59 143 6986 誤差項 隨機項 error 706 01 8 88 25 總變 total 13387 60 9 檢定迴歸方程式中斜 1是顯著性的 等於0 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 而判定係 coefficient of determination R2 值高時 則解釋迴歸方 程式時 會有疑慮 判定係 R2 值高時 1是顯著性的等於0 接受虛無假設H0 1 0 或 1是顯著性的 等於0 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 而判 定係 R2 值低時 在解釋和運用迴歸方程式應特別謹慎 一般 要運用自變 對因變 進 預測時 會比較看重判定係 判定係 高時自 變 對因變 的預測才會準確 此外 欲探 自變 對因變 是否有影響或影響程 則著重於檢定迴歸方程式中斜 1是否等於0 檢定迴歸方程式中斜 1是顯著性的 等於0 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 獲得自變 xi與依變 yi存在顯著關係的推 能單因此統計檢 定的證據就斷然判定自變 xi與依變 yi存在因果關係 還是需要具有相關的 基礎 為佐證 才能較客觀的判定自變 xi與依變 yi存在因果關係 檢定迴歸方程式中斜 1是顯著性的 等於0 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假設H1 1 0 獲得自變 xi與依變 yi存在顯著關係的推 但是 能據此推 自變 xi與依變 yi存在線性關係 僅能夠推 自變 xi與依變 yi存在顯著關係 欲 驗證自變 xi與依變 yi存在線性關係時 可以 用樣本相關係 rxy進 檢定 研究 族群相關係 xy 音rho 假設 A 虛無假設 null hypothesis H0 xy 0 B 對 假設 alternative hypothesis H1 xy 0 拒絕虛無假設 null hypothesis H0 xy 0 接受對 假設 alternative hypothesis H1 xy 0 則可以驗證自變 xi與依變 yi存在線性關係 14 6 運用迴歸方程式進 估算與預估運用迴歸方程式進 估算與預估 Using the estimated regression equation for estimation and prediction 6 25 2009 3 50 PM 17 在簡單線性迴歸模式中 用樣本資 以最小平方法 獲得估計線性迴歸方程式 檢定迴歸方程式中斜 1是顯著性的 等於0 拒絕虛無假設H0 1 0 接受對 假 設H1 1 0 而判定係 coefficient of determination R2 值高 顯示其適合 亦高 則此迴歸方程式可以應用於預測依變 yi 點估計點估計 point estimation KK 鎖餐廳有10營業點 依據每個營業點個別的平均每日 銷費用x