EM04恒定电流场.pdf

1 电磁场与电磁波 第四章 恒定电流场 电磁场与电磁波 第四章 恒定电流场 武 汉 科 技 大 学信 息 科 学 与 工 程 学 院武 汉 科 技 大 学信 息 科 学 与 工 程 学 院 2 本章要点本章要点 电流密度电流密度 恒定电流场方程恒定电流场方程 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 3 电流密度电流密度 恒定电流场恒定电流场 导体中的电子维持连续不断的定 向移动 并具有恒定的电场强度 导体中的电子维持连续不断的定 向移动 并具有恒定的电场强度 恒定电流场中的电场强度由外加电压产生 可以存在于导体中 恒定电流场中的电场强度由外加电压产生 可以存在于导体中 静电场中的电场强度由静止电荷产生 不可以 存在于导体中 静电场中的电场强度由静止电荷产生 不可以 存在于导体中 4 电流密度电流密度 电流的分类 电流的分类 传导电流传导电流 导体中的自由电子或电解液中的离 子运动形成的电流 在运动中 与原子晶格碰 撞而消耗能量 导体中的自由电子或电解液中的离 子运动形成的电流 在运动中 与原子晶格碰 撞而消耗能量 运流电流运流电流 电子 离子或其它带电粒子在真空 或空气中运动而形成的电流 电子 离子或其它带电粒子在真空 或空气中运动而形成的电流 以下若无特别说明 主要讨论传导电流 以下若无特别说明 主要讨论传导电流 5 电流密度电流密度 电流电流 任取一个面积 任取一个面积S 在 在 t时间内穿过时间内穿过S的 电量为 的 电量为 q dt dq t q i t 0 lim 因为电流在截面的各点上不一定分布均匀 所 以引入电流密度来体现电流在不同面积微元上 的大小和方向分布 因为电流在截面的各点上不一定分布均匀 所 以引入电流密度来体现电流在不同面积微元上 的大小和方向分布 6 电流密度 体分布的 电流密度 体分布的电流密度电流密度 方向为正电荷的运动方 向 大小为单位时间内 垂直穿过单位面积的 电荷量 方向为正电荷的运动方 向 大小为单位时间内 垂直穿过单位面积的 电荷量 lim lim 0 0 0 0 S I e St q eJ t S n t S n 体分布电流与体分布电流密度的关系 体分布电流与体分布电流密度的关系 S SdJI 电流密度与电流的关系是一个矢量场与它的通 量的关系 电流密度与电流的关系是一个矢量场与它的通 量的关系 7 电流密度电流密度 如果电流只分布于导体表面 可以用如果电流只分布于导体表面 可以用面电流密 度 面电流密 度来描述 在垂直于电荷流动的方向上取一线 元 来描述 在垂直于电荷流动的方向上取一线 元 l 流过此线元的电流为 流过此线元的电流为 I 方向为正电荷的运动方向 方向为正电荷的运动方向 n l S e l I J 0 limdleJI l nS 8 电流密度电流密度 根据前人的试验结果 电流密度与电场强度的 关系可以表示为 根据前人的试验结果 电流密度与电场强度的 关系可以表示为 sigma 代表 sigma 代表电导率电导率 体现了媒质的导电性能 不同的媒质 导电性能一般不同 相同的媒质 在不同的外界条件下 电导率也有区别 体现了媒质的导电性能 不同的媒质 导电性能一般不同 相同的媒质 在不同的外界条件下 电导率也有区别 EJ 9 电流密度电流密度 如果 为无限大 这种导体就叫做如果 为无限大 这种导体就叫做理想导体理想导体 静电场中达到静电平衡时 所有的导体内的电 场强度都为0 而在恒定电流场中 只有在理想 导体之中 电场强度才可能为0 静电场中达到静电平衡时 所有的导体内的电 场强度都为0 而在恒定电流场中 只有在理想 导体之中 电场强度才可能为0 有些金属具有很大的 数值 导电性很好 被 称为 有些金属具有很大的 数值 导电性很好 被 称为良导体良导体 在很多情况下良导体中的电场强 度非常小 可以近似被看作是理想导体 在很多情况下良导体中的电场强 度非常小 可以近似被看作是理想导体 某些绝缘体的 数值非常小 它们的导电性能非 常差 有时候可以近似被看作是理想介质 某些绝缘体的 数值非常小 它们的导电性能非 常差 有时候可以近似被看作是理想介质 10 电流密度电流密度 例4 1 一个同轴电缆 内外半径为例4 1 一个同轴电缆 内外半径为a b 中间 有绝缘介质 外加电压 中间 有绝缘介质 外加电压U0 试求因绝缘性能不 完善而产生的漏电流密度和漏电阻 试求因绝缘性能不 完善而产生的漏电流密度和漏电阻 U0 a b 11 电流密度电流密度 解 解 根据场分布的圆柱对称特性 绝缘介质内的电 场强度与电流密度均沿径向 根据场分布的圆柱对称特性 绝缘介质内的电 场强度与电流密度均沿径向 在绝缘介质区域中 取半径为 在绝缘介质区域中 取半径为r 长度为 长度为 L的同轴圆柱面 通 过不同半径大小的 圆柱面的电流强度I 均相同 但电流密 度不相同 的同轴圆柱面 通 过不同半径大小的 圆柱面的电流强度I 均相同 但电流密 度不相同 U0 r J r 12 电流密度电流密度 Lr I rJ 2 漏电流密度的大小为 电场强度的大小为 漏电流密度的大小为 电场强度的大小为 Lr I rE 2 已知内外导体之间的电压 积分得 已知内外导体之间的电压 积分得 ln 22 0 a b L I dr Lr I drrEU b a b a 得到设定参数为 得到设定参数为 ln 2 0 a b LU I U 0 r J r 13 电流密度电流密度 得到漏电流密度的表达式 得到漏电流密度的表达式 e a b r U rJ ln 0 得到漏电阻的表达式 得到漏电阻的表达式 L a b I U R 2 ln 0 注 漏电阻的大小与圆柱体的长度有关 注 漏电阻的大小与圆柱体的长度有关 14 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 研究恒定电流场中 电流密度的散度与旋度 研究恒定电流场中 电流密度的散度与旋度 0 l ldrE 0 l ld J 斯托克斯定理斯托克斯定理 0 J 为常数 为常数 0 J 均匀导体中 恒 定电流场无旋 均匀导体中 恒 定电流场无旋 15 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 t q SdJ S 电荷守恒定律电荷守恒定律 通过任一闭合面的电流密度的 通量等于闭合面中包含电荷的时间减少率 通过任一闭合面的电流密度的 通量等于闭合面中包含电荷的时间减少率 恒定电流场中 电荷分布不随时间变化 得恒定电流场中 电荷分布不随时间变化 得电 流连续性原理 电 流连续性原理 0 S SdJ 含义 在恒定电流场中 电流密度通过任一闭 合面的通量为0 含义 在恒定电流场中 电流密度通过任一闭 合面的通量为0 16 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 均匀导体中的均匀导体中的恒定电流场方程恒定电流场方程 积 分 形 式 积 分 形 式 积 分 形 式 积 分 形 式 微 分 形 式 微 分 形 式 微 分 形 式 微 分 形 式 0 l ldJ 0 J 0 S SdJ 0 J 电流连续性原理电流连续性原理 守恒定理守恒定理 17 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 AAA EEEJ 0 EE 如果导电媒质不均匀 则电导率的分布具有梯 度 导体中的电场强度具有散度 如果导电媒质不均匀 则电导率的分布具有梯 度 导体中的电场强度具有散度 18 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 EE 在恒定电流场中 电荷的空间分布是不随时间 变化的 这样的电荷被称为 在恒定电流场中 电荷的空间分布是不随时间 变化的 这样的电荷被称为驻立电荷驻立电荷 E 驻立电荷的体密度为 驻立电荷的体密度为 E 分布规律 在均匀导体中 的梯度为0 所以 体驻立电荷不存在 驻立电荷只存在于导体的 表面上 分布规律 在均匀导体中 的梯度为0 所以 体驻立电荷不存在 驻立电荷只存在于导体的 表面上 19 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 均匀导体通电后 有驻立电荷从电源充入导体 中 但是同性的驻立电荷相互排斥 向导线表 面扩散 需要经过一个短暂的时间 驻立电荷 才能完全从导线内部消失 这段时间称为 均匀导体通电后 有驻立电荷从电源充入导体 中 但是同性的驻立电荷相互排斥 向导线表 面扩散 需要经过一个短暂的时间 驻立电荷 才能完全从导线内部消失 这段时间称为驰豫 时间 驰豫 时间 1 tE 1 t 0 t 0 t e 20 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 在导线通电的短暂过程中 驻立电荷的体密 度以上述指数规律衰减 其中弛豫时间为 其越小 驻立电荷在导线内衰减 就越快 在导线通电的短暂过程中 驻立电荷的体密 度以上述指数规律衰减 其中弛豫时间为 其越小 驻立电荷在导线内衰减 就越快 思考 介质的电导率是多大 导体的介电常数是多 思考 介质的电导率是多大 导体的介电常数是多 大 大 思考 介质的电导率是多大 导体的介电常数是多 思考 介质的电导率是多大 导体的介电常数是多 大 大 21 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 例4 2 在一块厚度为例4 2 在一块厚度为d的导电板上 由两个半径 为 的导电板上 由两个半径 为r1与与r2的圆弧和夹角为 的两半径划出一块扇形 体 设导电板的电导率为 求 1 沿厚度方向的电阻 2 沿两圆弧面之间的电阻 3 沿角度增大方向的电阻 的圆弧和夹角为 的两半径划出一块扇形 体 设导电板的电导率为 求 1 沿厚度方向的电阻 2 沿两圆弧面之间的电阻 3 沿角度增大方向的电阻 d r1 r2 22 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 解 解 1 设外加电压1 设外加电压U1 通过电 流为I 通过电 流为I1 如图所示 如图所示 I I1 U1 电场强度与电流密度可表示为 电场强度与电流密度可表示为 dUE 11 dUJ 11 电流强度沿厚度方向分布均匀 可表示为 电流强度沿厚度方向分布均匀 可表示为 2 2 1 2 2 1 111 rr d U SJI 23 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 故沿厚度方向的电阻为 故沿厚度方向的电阻为 2 2 1 2 21 1 1 rr d I U R 注注 电压之间的截面面积相同 间距也相同 电压之间的截面面积相同 间距也相同 2 设外加电压2 设外加电压U2 通过电 流恒定为I 通过电 流恒定为I2 如图所示 如图所示 I I2 U2 r 24 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 电流密度与电场强度可表示为 电流密度与电场强度可表示为 22 rdIrE 2222 rdISIrJ 两端电压可表示为 两端电压可表示为 1 222 22 ln 2 1 2 1r r d I dr rd I drrEU r r r r 故两圆弧面之间的电阻为 故两圆弧面之间的电阻为 1 2 2 2 2 ln 1 r r dI U R 注注 电压之间的截面面积不同 间距相同 电压之间的截面面积不同 间距相同 I I 2 U 2 r 25 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 3 设外加电压3 设外加电压U3 通过电 流恒定为I 通过电 流恒定为I3 如图所示 如图所示 I I3 U3 r 0 33 rdrEU 在半径为在半径为r的圆弧段上 各 点的电场强度大小相同 有 的圆弧段上 各 点的电场强度大小相同 有 得电场强度和电流密度为 得电场强度和电流密度为 e r U rE 3 3 e r U rJ 3 3 26 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 电流强度可表示为 电流强度可表示为 1 233 33 ln 2 1 3 r rdU dr r dU dSerJI r r S 沿角度增加方向的电阻为 沿角度增加方向的电阻为 ln 1 2 3 3 3 r r d I U R 注注 电压之间的截面面积相同 间距不同 电压之间的截面面积相同 间距不同 I I3 U 3 r 27 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 当导体电压之间的截面积总相同 间距不同 时 解题思路为 当导体电压之间的截面积总相同 间距不同 时 解题思路为 U E J I R 当导体电压之间的截面积不同 间距总相同 时 解题思路为 当导体电压之间的截面积不同 间距总相同 时 解题思路为 I J E U R 总结 总结 当导体电压之间的截面积总相同 间距总相同 时 解题思路为上面两个的任意一个 当导体电压之间的截面积总相同 间距总相同 时 解题思路为上面两个的任意一个 28 电流I的划分电流I的划分 横向的叠加 I I横向的叠加 I I1 1 I I2 2 恒定电流场的方程恒定电流场的方程 电压U的划分电压U的划分 纵向的叠加 U U纵向的叠加 U U1 1 U U2 2 U1U2 U 1 2 I1 I2 I 29 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 采用和第二章类似的方法 在分界面上构造一 个圆柱体 高为很小的值 面积为 S 写出针 对这个圆柱体的电流连续性原理方程 采用和第二章类似的方法 在分界面上构造一 个圆柱体 高为很小的值 面积为 S 写出针 对这个圆柱体的电流连续性原理方程 S nn SJSJSdJ0 21 在两种导电媒质的分界面上 因为两侧媒质的电 导率不同 电流密度或者电场强度有可能出现不 连续的分布 在两种导电媒质的分界面上 因为两侧媒质的电 导率不同 电流密度或者电场强度有可能出现不 连续的分布 30 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 采用和第二章类似的方法 在分界面上取一段 矩形的闭合路径 长为 l 高为很小的值 沿 着这个闭合路径 对电场强度进行线积分 采用和第二章类似的方法 在分界面上取一段 矩形的闭合路径 长为 l 高为很小的值 沿 着这个闭合路径 对电场强度进行线积分 0 2 2 1 1 21 l J l J lElEl dE tt tt l 得 得 电场强度的切向分量连续电场强度的切向分量连续 2 2 1 1 tt JJ 得 在两种导电媒质的边界两侧 得 在两种导电媒质的边界两侧 电 流密度的法向分量连续 电 流密度的法向分量连续 nn JJ 21 31 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 总结 相邻导电媒质的总结 相邻导电媒质的恒定电流场边界条件恒定电流场边界条件 电流密度电流密度 电流密度电流密度 电场强度电场强度 电场强度电场强度 2 2 1 1 tt JJ nn JJ 21 nn EE 2211 tt EE 21 32 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 区域2中不存在电流 区域2中不存在电流 J2t 0 J2n 0 理想导体 理想导体 1 理想介质 理想介质 2 0 由边界条件得 由边界条件得 J1n J2n 0 EJ 的特殊情况 的特殊情况 区域1中仅存在切向的电流 区域1中仅存在切向的电流 J1t 0 33 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 因为因为J1t 1E1t 且 且 1很大 所以很大 所以E1t很小很小 由边界条件得由边界条件得E2t E1t很小 而很小 而E2n 0 所以在 区域 所以在 区域2中 电场强度基本上是垂直于分界面的 中 电场强度基本上是垂直于分界面的 1 2 E2n J1t 电流集中在导体表面 电流集中在导体表面 其它 分量 近似 为0 其它 分量 近似 为0 很小的电场就能够驱动较大的电流 很小的电场就能够驱动较大的电流 34 恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗 在传导电流中 移动的电子与原子晶格发生碰 撞 产生热能 形成能量的损耗 在传导电流中 移动的电子与原子晶格发生碰 撞 产生热能 形成能量的损耗 当导体两端电压为当导体两端电压为U U 流过的电流为 流过的电流为I I时 在单 位时间内电场力对电荷所作的功 即功率是 时 在单 位时间内电场力对电荷所作的功 即功率是 UIP 考虑微观的情况 在导体中 沿电流线方向取一 长度为 考虑微观的情况 在导体中 沿电流线方向取一 长度为 l l 截面为 截面为 S S的体积元 该体积元内消 耗的功率为 的体积元 该体积元内消 耗的功率为 VEJSlEJIlEIUP 35 恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗 当 V 0 取 P V的极限 得出导体内任一 点的 当 V 0 取 P V的极限 得出导体内任一 点的功率损耗密度功率损耗密度 表示为 表示为 2 0 limEEJ V P p V EJp 上式就是焦耳定律的微分形式 上式就是焦耳定律的微分形式 思考 为什么焦耳定律不适用于运流电流 思考 为什么焦耳定律不适用于运流电流 对于运流电流而言 电场力对电荷所作的功转变 为电荷的动能 而不是电荷与晶格碰撞的热能 对于运流电流而言 电场力对电荷所作的功转变 为电荷的动能 而不是电荷与晶格碰撞的热能 36 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 将恒定电流场方程和无源区的静电场方程进行 比较 可以发现这两组方程非常相似 其中恒 定电流场中的电流密度 对应于静电场中的电 位移矢量 恒定电流场中的电导率 对应于静 电场中的介电常数 相同条件下的这两种场 形式上具有一定的相似性 可以进行相互的比 拟 如果互换对应的物理量 可以由一种场中 的结果 得到另一种场中的结果 将恒定电流场方程和无源区的静电场方程进行 比较 可以发现这两组方程非常相似 其中恒 定电流场中的电流密度 对应于静电场中的电 位移矢量 恒定电流场中的电导率 对应于静 电场中的介电常数 相同条件下的这两种场 形式上具有一定的相似性 可以进行相互的比 拟 如果互换对应的物理量 可以由一种场中 的结果 得到另一种场中的结果 37 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 38 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 实际的工作中 电流比电荷更容易控制 对电流 场的实现和分析测量 比在静电场中容易一些 所以常常借助恒定电流场 来研究类似的环境 下 静电场的特性 这种方法称为 实际的工作中 电流比电荷更容易控制 对电流 场的实现和分析测量 比在静电场中容易一些 所以常常借助恒定电流场 来研究类似的环境 下 静电场的特性 这种方法称为静电模拟静电模拟 SS SdESdJI l ldEU lS l dESdEUIG SS SdESdDq lS l dESdEUqC l ldEU 39 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 CG 在已知G后 用 替换 就可以求得对应的电 容C 采用相反的步骤 也可以由已知的C求得G 在已知G后 用 替换 就可以求得对应的电 容C 采用相反的步骤 也可以由已知的C求得G qI DJ 其它比拟关系 其它比拟关系 40 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 例4 3 在实验室中 为了使电子设备可靠的接 地 一般敷设一根共用的深埋地线 其与大地 之间的电阻称为接地电阻 接地电阻越大 电 子设备通过地线耦合的干扰就越大 因此应尽 量减少其接地电阻 例4 3 在实验室中 为了使电子设备可靠的接 地 一般敷设一根共用的深埋地线 其与大地 之间的电阻称为接地电阻 接地电阻越大 电 子设备通过地线耦合的干扰就越大 因此应尽 量减少其接地电阻 a 41 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 解 解 图示的接地电阻可近似看成导体球放在无限大 的均匀导电媒质中的情况 设导体球带电量为 图示的接地电阻可近似看成导体球放在无限大 的均匀导电媒质中的情况 设导体球带电量为 q 介电常数为 介电常数为 导体球的电位为 导体球的电位为 a q 4 导体球的电容为 导体球的电容为 a q C 4 a 42 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 aG R 4 11 根据恒定电流场与静电场的比拟 接地电阻的 电导与导体球的电容相对应 得电阻的大小为 根据恒定电流场与静电场的比拟 接地电阻的 电导与导体球的电容相对应 得电阻的大小为 43 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 44 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 电源演示电源演示 45 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 46 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 47 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 48 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 电力工程中 通常需要获悉电气设备周围的电 场分布 若在运行中进行现场测量是很不安全 的 此时可将设备放入电流场中 只要保证电 流场的形状及其边界条件与电气设备所在的电 场形状及边界条件相同 那么通过测量该电流 场的分布 即可获知原先电场的分布 这种方 法称为位场模拟 对于高压套管 电缆头及绝 缘子等即可采用这种位场模拟方法获得其周围 的电场分布特性 高压变电站地面上跨步电压 的预测也可利用这种方法 电力工程中 通常需要获悉电气设备周围的电 场分布 若在运行中进行现场测量是很不安全 的 此时可将设备放入电流场中 只要保证电 流场的形状及其边界条件与电气设备所在的电 场形状及边界条件相同 那么通过测量该电流 场的分布 即可获知原先电场的分布 这种方 法称为位场模拟 对于高压套管 电缆头及绝 缘子等即可采用这种位场模拟方法获得其周围 的电场分布特性 高压变电站地面上跨步电压 的预测也可利用这种方法 位场模拟的应用位场模拟的应用 49 恒定电流场的应用恒定电流场的应用 当地层中含有水分 矿物或油气时 土壤的电导 率 或称说电阻率 将有所不同 如果将两个电极 垂直或水平放人地中 通过测量两个电极之间的 电流及电位分布 即可判断电流通过区域中的地 层状况 这就是电法勘探的基本原理 当地层中含有水分 矿物或油气时 土壤的电导 率 或称说电阻率 将有所不同 如果将两个电极 垂直或水平放人地中 通过测量两个电极之间的 电流及电位分布 即可判断电流通过区域中的地 层状况 这就是电法勘探的基本原理 经验表明 地震前夕地壳的电阻率通常也要发生 变化 因此上述方法也可用于地震预报 经验表明