常微分方程定性理论3.ppt

三 不定号 变号 情形 G 0有有限实根 k k 1 2 N m n N 2m 2 系统 4 3 的极坐标形式是 这里 取 0 rk充分小 作扇形区域 因为在区域 的各个小扇形中G 定号 所以没有轨线进入奇点 设G k 0 H k Hk 0 G k C k j o k j 整数j 1 所以 定理3 设为j奇数 CHk 0 则在方向 k上存在一个第一类典型域 所以有无数条轨线沿 k进入奇点O 设j奇数 CHk 0则在方向 k上存在一个第二类典型域 所以有一条或无数条轨线沿 k进入奇点O 设j为偶数 则在方向 k上存在一个第三类典型域 所以有无数条轨线沿 k进入奇点O或没有轨线进入O 证明 可取 0 rk充分小 使得扇形区域 中除O外无其它的奇点 G 0无其它实根 H o 1 0 这样 k是这个扇形区域内唯一特征方向 这个扇形区域是典型域 在上 同号 在上 反号 在上 同号 在上 反号 在上 同号 5奇点的三类判别问题 1 第一判定问题 某特征方向上存在第二类正常区域时 在该区域内是有唯一一条还是有无穷多条轨线趋于奇点 2 第二判定问题 某特征方向上存在第三类正常区域时 在该区域内是有无穷多条还是没有轨线趋于奇点 3 中心焦点判定问题 定号情形 一 第一判定问题引理1对于若存在连续D r 0 满足则沿任何方向 k至多有一条轨线进入奇点 证明设有两条轨线 1 r 2 r 沿 k进入奇点O 可设 1 r 2 r 0 r r1 但当r 时 注如果关于 满足Lipschitz条件 那么引理的条件 1 2 成立 由于条件 2 不能保证 r 关于 r 连续 所以引理不保证解的存在性 定理1设 k是G 0的j重根 j是奇数 G j k H k 0 满足无穷小系数的Lipschitz件 1 C r o 1 并且 当j 1时 j 1时 那么系统有唯一轨线沿 k进入奇点O 证明见张芷芬书P80 82 推论1设nm Xn中不含因子y 附加项满足条件 1 2 则沿 0 各有唯一轨线进入O 二 第二判定问题引理2考虑方程其中j是偶数R 0 S 0 如果那么存在 当SS0时 4 没有积分曲线沿 k进入O 定理2 R Lohn 设 k是G 0的j重根 j是偶数 G j k H k 0 令 设在扇形区域中 当 rk足够小时则在中有系统的无数条轨线沿 k进入奇点O 设则在中无轨线沿 k进入奇点 其中 三 中心焦点判定问题m n时的定号情形 当系统为解析时 不存在中心焦点 张芷芬书P236 237定理2 1的推论 常用方法有 1 极坐标法 2 Poincar Birkhoff标准形法 Poincar 形式级数法 3 Lyapunov常数法 4 后继函数法 5 平均法 6 内在调和平衡法 7 Lyapunov Schmidt方法 方法 一 极坐标法G 定号 设G 0 0 2 记则I0时为不稳定焦点 均为粗焦点 I 0时 引理3设h x 为以T为周期的连续函数 则其中证法 一 将展开为一致收敛的Fourier级数再积分 证法 二 证是以T为周期的函数 考虑或 在r2 x2 y2 r12内解析 对于方程 1 无实根虚根所以 1 标准化后成为 对于方程 1 G 0 H 考虑 0 0的方程组 1 在极坐标下 1 成为R o r Q o 1 R Q Ri均为2 的周期函数 对于方程 2 经极坐标变换化为当G Xm sin Ym cos 0时 m为奇数 上述方程组等价于 G qm 1 0 H pm 1 作变换则所以 闭轨闭轨 方程 2 化为这里 方程 2 的形式与方程 3 一样 因此方程 1 和 2 均可在r r2 r2 r1足够小 内化为因为方程 3 满足初值条件r 0 0的解为r 由解对初值的连续依赖性 存在0 c1 r2 当c c1时 满足初值条件r 0 c c的解r r c 在 4 4 有定义 且在其上是c的解析函数 所以可在 4 4 上展为c的收敛的幂级数 r r c r1 c r2 c2 4 4 代入 3 得其中F2 r12R2 F3 2r1r2R2 r13R3 Fn是R2 Rn r1 rn 1整系数多项式 而Rk是只依赖于 1 中右侧次数 k的项 由初值r 0 c c 知r1 0 1 ri 0 0 i 2 比较 5 式两边c的同次幂系数得关于ri 的 微分方程 再结合初值条件得根据引理3 如果g2 0 则r2以2 为周期 所以R3 2R2r2以2 为周期 再利用引理3如此继续下去 若对一切k 2 都有gk 0 则rk全是周期函数 所以对任意c 0 c1 r c 都是周期解 因此O是中心 若存在gm 0 而gk 0 2 k m 1 下证O是焦点 作变换代入 3 其中 rm gm 并注意到 5 6 得 是R2 Rm Rm 1 r1 rm 1 m的多项式 由于 1 r1 当足够小时 G 1 1 r1 所以 的符号由gm确定 如果O不是焦点 则 1中必有闭轨 在闭轨上存在点使得这与上述论断矛盾 所以 O只能是焦点 并且当gm0 时稳定 不稳定 综上 得 1 0时 O为粗焦点 为零阶焦点判定量 2 0时 如果初值 0 c 的解r r c r1 c r2 c2 ri 都是以2 周期的周期函数 那么O为中心 3 0时 如果ri i 1 2 k 1是以2 周期的周期函数 而rk 不是以2 为周期 此时那么O为m阶细焦点 称r 2 c r 0 c rk 2 c rk 0 c ck 2 g2m 1ck 为映射产生的后继函数 方法 二 Poincar 形式级数法方法 一 需进行积分运算 当含线性项时 用方法 二 只需进行代数运算 考虑取形式级数 引理 设在点 的某邻域内收敛于F x y 则当c足够小时 F x y c表示围绕点 的互不相交的单闭曲线 证在极坐标下设在r r0中收敛 则 所以存在足够小的r1 使得0 r r1 r0时 有即f r 随r单调增大 又f 所以由f r 在射线 0上对的连续单调性知 使得f r 0 c 这表明c 0足够小时 从 出发的任一射线在圆r r2内部存在与f r c的唯一交点 从而f r c是闭曲线 比较两边同次幂的项 得 An只依赖于F3 Fn 1 所以可考虑逐个求出An 1 当n为奇数时 可确定不恒为零的Fn 2 当n 2m为偶数时 如果无法确定Fn 此时 考虑必可求出F2m及 且 0 这时 可求出时 则 中的 0 3 如果可以求出一切F2m 则可证明F x y 收敛 所以F x y 是首次积分 从而O是中心 定理1O为系统 1 的中心在O的邻域内存在与t无关的解析的首次积分 正则积分 定理2如果系统的奇点O构成中心焦点判定 且 1 X x y X x y Y x y Y x y 关于x轴对称 或 2 X x y X x y Y x y Y x y 关于y轴对称 则O为中心 两种判别法判定量间的联系 第一种判别法中第一个不等于0的gn与第二种判别法中第一个不能求的F2m 2间有2m 2 n 1 m是细焦点的阶数 关于二次系统 三次系统的焦点量 1 二次系统的焦点量是 其中那么 当且仅当W1 W2 W3 0时 原点O是中心 W1 0时 原点O是一阶细焦点 W10 稳定 不稳定 W1 0 W2 0时 原点O是二阶细焦点 W20 稳定 不稳定 W1 W2 0 W3 0时 原点O是三阶细焦点 W30 稳定 不稳定 2 三次系统的焦点量 1 缺二次项的三次系统 其焦点量可以有而且最多有5阶 2 对于一般的三次系统一阶焦点判定量是G3 3a30 a12 b21 3b03 a20a11 a11a02 2a02b02 2a20b20 b11b02 b11b20而它的二阶判定量G5足有170多项 关于Li nard方程的中心焦点判定 以及与焦点量类似的鞍点量的定义和计算等见有关参考文献 定理1O为系统 1 的中心在O的邻域内存在与t无关的解析的首次积分 正则积分 证明判定方法二即得 要证 如果系统存在解析的首次积分F x y c 则F x y 必有形式其中p为