线性代数第一章n阶行列式【哈工大版】.ppt

线性代数 教材 郑宝东主编 线性代数与空间解析几何 高等教育出版社 北京 2013 参考书 1 同济大学数学教研室编 线性代数 第六版 高等教育出版社 2014年 2 赵连偶 刘晓东 线性代数与几何 面向21世纪课程教材 高等教育出版社 3 居余马等 线性代数 清华大学出版社 第一章n阶行列式 第二节行列式的性质 第四节克莱姆法则 第三节行列式按行 列 展开 第一节行列式的概念 本章的基本要求与重难点 深刻理解n阶行列式的定义 熟记行列式的性质 熟练掌握行列式的计算 重点 行列式的计算 难点 n阶行列式的计算 第一节行列式的概念 行列式起源于解方程组 引例方程组 系数行列式 二阶行列式 determinant 其中元素aij的第一个下标i为行标 第二个下标j为列标 即aij位于行列式的第i行第j列 为方便记 主对角线 副对角线 例如 通过消元法 有 考虑线性方程组 于是 当 有唯一解 写成行列式形式有 说明 1 行列式是一个数 2 计算规则 对角线法则 3 每一项都是不同行不同列的两个数相乘 前面的正负号不同 共有4 一行一列称为1阶行列式 记为5 二行二列称为2阶行列式三行三列称为3阶行列式 n行n列称为n阶行列式 2三阶行列式 如果 那么对于三元一次方程组 其中 利用消元法也有相同的结果 三阶行列式 可用下面的对角线法则记忆 例1 解 按对角线法则 有 例2证明 证明 中 6项的行下标全为123 而列下标分别为 在三阶行列式 共有 每一项都是不同行不同列的三个数相乘 前面的正负号不同 123 231 312此三项均为正号132 213 321此三项均为负号 为了给出n阶行列式的定义 下面给出全排列及其逆序数的概念及性质 全排列及其逆序数 定义由1 2 n组成的有序数组称为一个n级全排列 简称排列 记为j1j2 jn 例如32541是一个5级全排列83251467是一个8级全排列 3级全排列的全体共有6种 分别为123 231 312 132 213 321 n级全排列的种数为 定义在一个排列中 若某个较大的数排在一个较小的数前面 即 则称这两个数组成此排列的一个逆序 例如排列32514中 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为自然排序 标准次序 如 123 n是自然排序 排列的逆序数 32514 定义一个排列j1j2 jn中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 记为 j1j2 jn 例如排列32514中 32514 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为 32541 3 1 0 1 0 5 说明 1234 n 0 定义 p2 排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和 即算出每个元素的逆序数 方法2前看法 方法1后看法 2计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和 即算出每个元素的逆序数 所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数 所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数 42531 于是排列42531的逆序数为7为奇数 称为奇排列 5的前面没有比5大的数 其逆序数为0 3的前面比1大的数有3个 故逆序数为2 1的前面比1大的数有4个 故逆序数为4 例1 1 求排列42531的逆序数 解 在排列42531中 4排在首位 逆序数为0 2的前面比2大的数只有一个4 故逆序数为1 解 当时为偶排列 当时为奇排列 例求排列 的逆序数 个 逆序数的性质 于是此排列的逆序数为 4的前面比4大的数n 2 其逆序数为n 2 6的前面比6大的数有n 3个 故逆序数为n 3 2n的前面比2n大的数有0个 故逆序数为0 解 共n个数共n个数 2的前面比2大的数只有一个n 1 故逆序数为n 1 讨论奇偶性 当时为偶排列 当时为奇排列 定义 在排列中 将任意两个数对调 其余数不动 这种对排列的变换叫做对换 将相邻两个数对调 叫做相邻对换 例如 32514 31524 231321 定理1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 证明 设排列为 除外 其它元素的逆序数不改变 当时 经对换后的逆序数不变 的逆序数减少1 因此对换相邻两个元素 排列改变奇偶性 设排列为一般情形 当时 现来对换与 所以一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论时 n个元素的所有排列中 奇排列和偶排列的个数相等 各为 推论任何一个n级排列与自然顺序 排列都可通过一系列对换互变 并且 所做对换的次数与这个排列有相同的 奇偶性 n阶行列式的定义 三阶行列式 说明 1 三阶行列式共有6项 即项 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 3 在行标按顺序排列后 下列标排列的逆序数决定每项的 号 偶 奇 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 4 3阶行列式的一般项为 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和 说明 定义4 p3 二 n阶行列式 规定一阶行列式 其中 为行标排列的逆序数 阶行列式也可定义为 事实上 按行列式定义有 记 对于D中任意一项 总有且仅有中的某一项 与之对应并相等 反之 对于中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等 于是D与 中的项可以一一对应并相等 从而 其中是两个级排列 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和 注 n阶行列式的一般项为 更一般的我们有 定理 p7定理2 说明 1 阶行列式是项的代数和 2 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 3 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 4 的符号为 思考题 1 若n阶行列式D有一行 列 元素全为零 则D 例 试判断是否都是六阶行列式中的项 解 故是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项 几种行列式 上三角行列式特点 主对角线以下的元素全为零 证明 上三角行列式 解 展开式中一般项是 所以不为零的项只有 例2 2 下三角行列式特点 对角线以上元素都是0 3 对角行列式特点 主对角线以外的元素都是0 即行列式中不为零的项为逆序数 故 例3计算行列式 注 4 反对角行列式 解 行列式中不为零的项为逆序数 故 练习 用定义计算行列式 例5 设 证明 证 由行列式定义有 由于 所以 故 第二节行列式的性质 一 行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等说明 转置即行列互换行列位置相等 行列式称为行列式的转置行列式 记 证明 按定义 又因为行列式D可表示为 故 证毕 例 练习 写出以下两个行列式的转置行列式 并证明D DT 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 证明 设行列式 是由行列式变换两行得到的 于是 即当时 当时 D 推论如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 有 互换第一 第二行 得 练习验证性质2 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 注 当k 1时 例如 所以 第二列提取 5倍 性质 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 第1行 第2行成比例 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 例如 性质 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例如 例计算 让第1列加到第3列 得 让第2行乘以5加到第1行 得 分析 利用性质把D化为上 下 三角行列式 二 应用举例 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 例 计算行列式分析 第二列有一个0 先互换第二列第一列记为c 1 2 行row 简记r 列column简记c 行row 简记r 列column简记c解 例2 解 综上可知 化三角形行列式的一般步骤如下 将a11的下方化为0的过程中 若 1 则可通过换行 列 使 2 的下方化为0时 其它元素出现分数 则可通过性质 不漂亮 即 变化a11 以尽量避免出现分数 a22 a33 的下方化为0的过程依此类推 例3计算n阶行列式 解 将第都加到第一列得 例4 证明 证明 例5 解 第三节行列式按行 列 展开 例如 一 余子式与代数余子式 叫做元素的代数余子式 例如 引理一个阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 例如 再证一般情形 得 得 中的余子式 故得 于是有 定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 证 二 行列式按行 列 展开法则 拉普拉斯展开定理 例1计算行列式 解 按第1行展开 得 方法2 按第2行展开 例2计算分析 第一行有2个零 按第一行展开 例3计算解 例4 总结 计算行列式最常用的两种方法1 化上 下 三角形法根据行列式的性质2 按某行某列展开 降阶法先利用行列式的性质把原行列式的某行 列 的元素尽可能多地变为零 使该行 列 不为零的元素只有一个或两个 然后再按该行 列 展开降阶后进行计算 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 同理 关于代数余子式的重要性质 可简记为 例5计算行列式 解 例6设求第一行各元素的代数余子式之和解 例7 范得蒙行列式 例如 例计算解 是3阶范得蒙行列式 第四节克莱姆法则 课前复习 余子式与代数余子式 关于代数余子式的重要性质 非齐次与齐次线性方程组的概念 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组 使得方程组成立的一组数称为此方 程组的解 是非齐次线性方程组 是齐次线性方程组 显然 是齐次线性方程组的一个解 简称零解 一 引例用消元法解二元线性方程组 原方程组即 记 则上述方程组可写为 D称为原方程组的系数行列式 方程组的解为 二 克莱姆法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零 即 其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式 即 那么线性方程组有解 并且解是唯一的 解可以表为 证明 再把个方程依次相加 得 由代数余子式的性质可知 于是 当时 方程组有唯一的一个解 也是方程组的解 克拉默法则的局限性 只解决 方程组 而且要求系数行列式若D 0 则无法求解 三 重要定理 定理1如果线性方程组的系数行列式则一定有解 且解是唯一的 定理2如果线性方程组无解或有无穷多个解 则它的系数行列式必为零 注 线性方程组可以是齐次或非齐次 事实上 方程组 齐次线性方程组的相关定理 定理3如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组有唯一解 只有零解 注 没有非零解 有非零解 系数行列式 今有牛五羊二 直金十两 牛二羊五 直金八两 问牛羊各直几金 例1 例2用克莱姆法则解