量子物理基础 岭师 吴旭明.ppt

学习量子力学的困难 A 发现它与我们熟悉的经典物理学中习惯或概念不一致B 量子力学中的新概念不是直观的C 处理问题时 与经典物理学在手法上截然不同 物理学研究的方法 观察实验假说理论 量子力学简介 1 1 辐射 是物质以发射电磁波的形式向外界输出能量 化学发光 光致发光 场致发光 阴极发光 热辐射 2 热辐射 组成物质的诸微观粒子在热运动时都要使物体辐射电磁波 产生辐射场 这种与温度有关的辐射现象 称为热辐射 3 热辐射的一般特点 1 物质在任何温度下都有热辐射 2 温度越高 发射的能量越大 发射的电磁波的波长越短 一 热辐射 4 平衡热辐射 以下只讨论平衡热辐射 在任一时刻 如果物体辐射的能量等于所吸收的能量 辐射过程达到热平衡 称为平衡热辐射 此时物体具有固定的温度 1 1黑体辐射 普朗克量子假说 2 二 单色辐射本领 为了定量地描述不同物体在不同的温度下物体进行热辐射的能力 而引入单色辐射本领 1 单色辐射本领M T 单位时间内从物体单位表面发出的波长在 附近单位波长间隔内的电磁波的能量M T 称单色辐射本领 单色辐出度 单色辐本领反映了在不同温度下辐射能按波长分布的情况 单色辐射本领M T 是温度T和波长 的函数 实验表明 不同的物体 不同的表面 如光滑程度 其单色发射本领是大不相同的 例如 如果我们目的是散热 则应 加大表面积 使表面粗糙 使其颜色加深 3 2 吸收比反射比基尔霍夫定律 1 吸收比反射比 吸收比 物体吸收的能量和入射总能量的比值 T 反射比 物体反射的能量和入射总能量的比值 T 2 基尔霍夫定律 基尔霍夫在1860年从理论上推得物体单色辐射本领与单色吸收比之间的关系 所有物体的单色辐射本领M T 与该物体的单色吸收比的比值为一恒量 这个恒量与物体的性质无关 而只与物体的温度和辐射能的波长有关 4 说明物体的单色吸收比大的物体 其单色辐出度也大 例如黑色物体 吸热能力强 其辐出本领也大 若物体不能发射某一波长的辐射能 那么该物体也就不能吸收这一波长的辐射能 关于物体颜色的说明 均指可见光范围 例如 红色 表示除红光外 其余都吸收 余类推 白色 表示对所有波长的光都不吸收 黑色 表示对所有波长的光都吸收 晚上在灯光下看物体的颜色和白天看的结果不一样 5 三 绝对黑体 1 绝对黑体模型 由于物体辐射的光和吸收的光相同 因此黑体能辐射各种波长的光 它的M T 最大且只和温度有关 用不透明材料制成的开一个小孔的空腔 小孔面积远小于空腔内表面积 射入的电磁波能量几乎全部被吸收 小孔能完全吸收各种波长的入射电磁波而成为黑体模型 有一类物体不论它们组成成分如何 它们在常温下 几乎对所有波长的辐射能都能吸收 黑体 能完全吸收照射到它上面的各种波长的光的物体 例如优质烟煤和黑色珐琅对太阳光的吸收能力可达99 6 1 任何物体的单色辐射本领和单色吸收比等于一个恒量 而这个恒量就是同温度下绝对黑体的单色辐射本领 2 若知道了绝对黑体的单色辐射本领 就可了解所有物体的辐射规律 因此 研究绝对黑体的辐射规律就对研究热辐射极为重要 式中MB T 叫做绝对黑体的单色辐射本领 由基尔霍夫定律 2 绝对黑体就是吸收系数等于 T 1的物体 可知 这类物体在温度相同时 发射的辐射能按波长分布的规律就完全相同 7 3 绝对 黑体的辐射定律 实验装置 T 热电偶 平行光管 绝对黑体 三棱镜 绝对 黑体单色辐出度按波长分布实验 8 4 绝对黑体单色辐射本领按波长分布曲线 M T 只和温度有关保持一定温度 用实验方法可测出单色辐射本领随波长的变化曲线 取不同的温度得到不同的实验曲线 如图 9 对待这个实验曲线 许多物理学家从不同的侧面进行了研究 并得出许多重要结论 下面是有代表意义的两条 斯忒藩 玻尔兹曼定律该定律主要是计算分布曲线下的面积 维恩位移定律 由图可看出对应于每一条单色辐射本领按波长分布的曲线都有一个极大值 与这极大值对应的波长 叫做峰值波长 m 10 四 经典物理学所遇到的困难 1 维恩公式 上述结果并没有给出单色辐射本领的具体函数式 十九世纪未 有许多物理学家 用经典理论导出的M T 公式都与实验结果不符合 其中最典型的是维恩公式和瑞利 金斯公式 维恩假设 黑体的辐射可看成是由许多具有带电的简谐振子 分子 原子的振动 所发射 辐射能按频率 波长 分布的规律类似于麦克斯韦的分子速度分布律 于1896年得出绝对黑体的单色辐出度与波长 温度关系的一个半经验公式 按照这个函数绘制出的曲线 其在高频 即短波 部份与实验曲线能很好地相符 但在低频 长波 部份与实验曲线相差较远 11 2 瑞利 金斯公式 他们把分子物理中的能量按自由均分的原理运用到电磁辐射上 并认为在黑体空腔中辐射的电磁波是谐振子所发射的驻波 这样得到的公式为 12 在低频段 瑞 金线与实验曲线符合的很好 在高频段 瑞 金线与实验曲线有明显的偏离其短波极限为无限大 0 E 紫外灾难 13 五 普朗克的黑体辐射公式和能量子假说 热力学与统计物理的理论 只有分立的能级求和才能够才能出现这种数学形式 14 五 普朗克的能量子假说和黑体辐射公式 普朗克既注意到维恩公式在长波 即低频 方面的不足 又注意到了瑞利 金斯在短波 即高频 方面的不足 为了找到一个符合黑体辐射的表达式 普朗克作了如下两条假设 1 普朗克假定 1900年 1 黑体是由带电谐振子组成 这些谐振子辐射电磁波 并和周围的电磁场交换能量 2 这些谐振子的能量不能连续变化 只能取一些分立值 这些分立值是最小能量 的整数倍 即 2 3 n n为正整数 称为能量子 h称为普朗克常数h 6 6260755 10 34J s 而且假设频率为 的谐振子的最小能量为 h 15 2 普朗克公式 能量不连续的概念是经典物理学完全不容许的 当 趋于维恩公式 当 0 趋于瑞利 金斯公式 但从这个假定出发 Plank导出了与实验曲线极为符合的普朗克公式 16 3 普朗克假设的意义 当时普朗克提出的能量子的假设并没有很深刻的道理 仅仅是为了从理论上推导出一个和实验相符的公式 这件事本身对物理学的意义是极其深远的 能量子假设是对经典物理的巨大突破 它直接导致了量子力学的诞生 能量子概念在提出5年后没人理会 首先是爱因斯坦认识到 并成功地解释了 固体比热 和 光电效应 普朗克本入一开始也没能认识到这一点 13年后才接收了他自己提出的这个概念 1918年 获诺贝奖 17 一 光电效应 金属及其化合物在光波的照射下发射电子的现象称为光电效应 所发射的电子称为光电子 1 实验装置 1 2光的量子性 1 饱和光电流强度Im与入射光强成正比 不变 单位时间内从金属表面逸出的光电子数和光强成正比 ne I 2 光电效应的实验规律 当光电流达到饱和时 阴极K上逸出的光电子全部飞到了阳极A上 即Im neeu 18 截止电压 遏止电势差 光电子的最大初动能与入射光强无关 可利用此公式 用测量遏止电势差的方法来测量光电子的最大初动能 2 光电子的最大初动能随入射光的频率的增大而增大 这表明 从阴极逸出的光电子必有初动能 指光电子刚逸出金属表面时具有的动能 则对于最大初动能有 当电压U 0时 光电流并不为零 只有当两极间加了反向电压U Ua 0时 光电流才为零 此电压称为截止电压 遏止电势差 19 从金属表面逸出的最大初动能 随入射光的频率v呈线性增加 k 与金属材料无关的普适常数 U0 对同一金属是一个常量 不同金属不同 把代入上式可得 截止电压Ua与入射光频率 呈线性关系 实验表明 截止电压与光的强度无关 但与光频率成线性关系 20 4 光电效应是瞬时发生的 实验表明 只要入射光频率 0 无论光多微弱 从光照射阴极到光电子逸出 驰豫时间不超过10 9s 无滞后现象 3 只有当入射光频率 大于一定的红限频率 0时 才会产生光电效应 当入射光频率 降低到 0时 光电子的最大初动能为零 若入射光频率再降低 则无论光强多大都没有光电子产生 不发生光电效应 0称为这种金属的红限频率 截止频率 21 二 经典物理学所遇到的困难 按照经典的物理理论 金属中的自由电子是处在晶格上正电荷所产生的 势阱 之中 这就好象在井底中的动物 如果没有足够的能量是跳不上去的 按照经典的波动理论 光波的能量应与光振幅平方成正比亦即应与光强有关 因此 按经典理论 光电子的初动能应随入射光的光强的增加而增加 1 逸出功 初动能与光强 频率的关系 当光波的电场作用于电子 电子将从光波中吸取能量 克服逸出功 从低能的束缚态 跳过势垒而达到高能的自由态 并具有一定的初动能 但实验表明 光电子的初动能与光强无关 而只与入射光的频率呈线性增加 且存在光电效应的频率红限 2 光波的能量分布在波面上 电子积累能量需要一段时间 光电效应不可能瞬时发生 22 三 爱因斯坦的光量子论及爱因斯坦方程 1 普朗克的假定是不协调的普朗克假定物体只是在发射或吸收电磁辐射时才以 量子 的方式进行 并未涉及辐射在空间的传播 相反 他认为电磁辐射在空间的传播还是波动的 2 爱因斯坦光量子假设 1905 h为普朗克常数h 6 626176 10 34J s 1 电磁辐射由以光速c运动 并局限于空间某一小范围的光量子 光子 组成 每一个光量子的能量 与辐射频率 的关系为 2 光量子具有 整体性 一个光子只能整个地被电子吸收或放出 23 一束光就是一束以光速运动的粒子流 单色光的能流密度 即等于单位时间内通过单位面积的光子数和每个光子能量之积 即 n 表示单位时间内通过单位面积的光子数 这也说明 在能量密度一定时 每个光子的能量越大 即频率越高 光子数N就越小 24 3 对光电效应的解释 光照射到金属表面时 一个光子的能量可以立即被金属中的电子吸收 但只有当入射光的频率足够高 以致每个光量子的能量足够大时 电子才有可能克服逸出功A逸出金属表面 根据能量守恒与转换律 爱因斯坦光电效应方程 因此存在红限频率 25 Im neeuI n hv ne n Im I v一定时 光强大的光束 说明包含的光子数多 其照射到金属板上被电子吸收的机会也多 因而从金属中逸出的电子数也多 这就说明了光电流随光强增加而增加 在光子流中 光的能量集中在光子上 电子与光子相遇 只hv要足够大 电子就可以立刻吸收一个光子的能量而逸出金属表面 因而不会出现滞后效应 式中Im是饱和电流 u是电子定向运动的速度 ne光电子数 I 是光强 n 是光子数 26 四 光的波粒二象性 每个光子的能量 描述光的波动性 波长 频率 描述光的粒子性 能量 动量P 按照相对论的质能关系 光子无静质量m0 0 光子的动量 引入 27 光子具有动量 显示其有粒子性 光子具有波长 又说明其有波动性 这说明 光具有波粒二象性 即在传播过程中充分显示它的波动性 如干涉 衍射等 而在光与实物粒子相作用时 又充分显示它的粒子特性 光的波 粒二重特性 充分地包含在 密立根实验确定了基本电荷e从另一种实验上测量了h值 28 康普顿效应 1 实验装置 1922 1923年康普顿研究了X射线被较轻物质 石墨 石蜡等 散射后X光的成分 发现散射谱线中除了有波长与原入射X波长相同的成分外 还有波长较长的成分 这种散射现象称为康普顿散射或康普顿效应 康普顿效应进一步证实了光的量子性 29 2 实验规律 在散射的X射线中 除有波长与入射射线相同的成分外 还有波长较长的成分 波长的偏移量为 康普顿散射的波长偏移与散射角的关系如下图所示 0 入射波波长 散射波波长 散射角 散射方向与入射方向之间的夹角 30 3 康普顿效应的特点 波长偏移 只与散射角有关 而与散射物质及入射X射线的波长 0无关 2 只有当入射波长 0与电子的康普顿波长 c可比拟时 康普顿效应才显著 因此选用X射线观察 3 原子量较小的物质 康普顿散射较强 反之 原子量大的物质康普顿散射较弱 电子的康普顿波长 31 七 康普顿效应验证了光的量子性 1 经典电磁理论的困难 2 康普顿的解释 按经典理论 入射X光是电磁波 散射光的波长是不会改变的 因为散射物质中的带电粒子是作受迫振动 其频率等于入射X光的频率 故带电粒子所发射光的频率应为入射的X光的频率 他假设 入射X射线束不是频率为 的波 而是一束能量为E h 的光子 光量子与散射物质中的电子之间的发生弹性碰撞 因康普顿位移与物质材料无关 提醒我们 散射过程与整个原子无关 经典理论中是被吸收 且在碰撞过程中满足能量与动量守恒 32 如果光子与束缚很紧的电子碰撞 则光子是与整个原子交换动量和能量 但原子的质量相对于光子可视为无穷大 按碰撞理论 这时光子不会显著地失去能量 故而散射光的频率就不会明显地改变 所以入射光中就有与入射光波长相同的散射光 轻原子中的电子一般束缚较弱 而重原子中只有外层电子束缚较弱 因此 原子量小的物质康普顿散射较强 重原子物质康普顿散射较弱 当光子与自由电子或束缚较弱的电子发生碰撞时 入射光子把一部分能量传给了电子 同时光子则沿一定方向被弹开 成为散射光 由于光子的能量E0 h 0已有一部分传给了电子 因而被散射的光子的能量E h 就较之入射光子的能为低 E h 0 33 3 定量计算 利用能量与动量守恒定律有 解出的波长偏移 光量子能量 电子的束缚能 电子可视为 自由 的 34 4 康普顿散射实验的意义 1 有力地支持了 光量子 概念 也证实了普朗克假设 h 2 首次实验证实了爱因斯坦提出的 光量子具有动量 的假设 3 证实了在微观的单个碰撞事件中 动量和能量守恒定律仍然是成立的 光电效应与康普顿效应的区别 光电效应是处于原子内部束缚态的电子与光子的作用 这时束缚态的电子吸收了光子的全部能量而逸出金属表面 康普顿效应则是光子与准自由电子的弹性碰撞 光子只是将一部分能量传给电子 被散射光子的能量 因而频率 低于入射光子的能量 35 一 玻尔的氢原子理论 1 原子的核式模型与经典电磁理论的困难 1912年卢瑟夫以其著名的 粒子散射实验最终地建立起了经典的原子核式模型 原子中央有一个带正电的核 它集中了原子的全部正电荷和几乎全部的质量 核半径比电子轨道半径小很多 相差4个数量级 统计力学表明原子线度约10 10m 核半径10 14 10 15m 整个原子中正负电荷之和为零 36 经典电磁理论的困难 1 按经典的电磁理论 原子应是不稳定系统 原子光谱应是连续的 变化的磁场产生电场 变化的电场产生磁场 所以经典理论电子的运动辐射电磁波 辐射能量 降低动能 最终停止则原子坍塌 电子的特征长度 电子的静止能量等于电子的静电能 37 特征长度 波尔的量纲分析普朗克常数h 作用量子 是这个问题的关键 能量 2 时间 2 能量 长度 2 时间 2 能量 长度 38 二 原子光谱的实验规律 1 光谱的分类 1 线状光谱 光谱成线状 是分立的 离散的 谱线分明且清楚 这是原子光谱 2 带状光谱 谱线分段密集的 每段中很多有波长相近的谱线 这是分子光谱 3 连续光谱 光谱是连续变化 谱线密接成一片 这是一般物体的热辐射光谱 如白炽灯的光谱 在十九世纪 化学 电磁学的发展 都把原子结构作为自己的研究对象 而原子发光是反映原子内部结构或能态变化的重要现象 因此 对光谱的研究 是了解原子结构的重要方法 光谱是电磁辐射的波长成份和强度分布的一种记录 按光谱的形状 其可分为三类 39 2 氢原子光谱的规律性 下图是氢原子可见光谱图 它是分立的线状光谱 各谱线的波长是经光谱学测定的 波长越短 谱线的间隔越小 1 巴尔麦公式 式中n 3 4 5 等为正整数 B 3645 7 为一恒量 1885年 瑞士物理学家巴尔麦总结出氢原子中可见光的波长满足 40 称为里德伯常数 n 3 4 5 1890年 瑞士的里德伯改作波长的倒数 即波数 表示 2 广义巴尔麦公式 41 推广的巴尔麦公式 K可取1 2 3 4 5 对应于每一个K值就给出一个线系 在每个线系中 n从 K 1 开始取值 3 里兹并合原理 如果把推广的巴尔麦公式前后两项写成 即原子光谱的任何一条谱线的波数都可以表示为两个光谱项之差 42 实际上 是里兹等人先总结出并合原理 而后才有帕邢系 赖曼系的发现 故此上述并合原理称为里兹并合原理 4 原子光谱的实验规律 到了二十世纪初 关于原子光谱的实验规律已总结出 1 谱线的波数由两个谱项差值决定 2 如果前项整数参量保持不变 后项整数参量取不同值 则给出同一谱线系中的各谱线的波数 3 改变前项整数参量值 则给出不同的谱系 这些实验规律实际上已深刻地反映了原子内部的某种规律 但用当时的经典理论去研究 仍然是茫头绪 43 爱因斯坦的光子说已经指出 原子发光是以光子的形式发射的 光子的能量正比于它的频率 从能量守恒的角度来看 原子发射一个光子 能量就减少了 即从发射前的初态Ek 减少到未态能量En 即光的频率 将此式与里兹的并合原理相比较 并将其用波数表示为 44 2 量子化跃迁频率假设 1 稳定态轨道假设 原子能够 而且只能够稳定地存在与分立的能量 E1 E2 E3 相应的一系列的状态中 这些状态称为定态 原子在两个定态跃迁时 其辐射或吸收的单色光的频率为 三 玻尔理论的基本假设 45 3 对应原理 大量子数极限下 量子体系的行为将趋于与经典体系相同 经典情况下的中心力场的能量和周期 46 47 48 49 经典近似 50 51 52 3 由对应原理得到角动量量子化假设 主量子数 n 1 2 3 原子中电子绕核作圆周运动的轨道角动量L 动量矩L 只有取h 2 的整数倍的定态轨道是可能存在的 即 53 3 氢原子轨道半径和能量计算 1 轨道半径 同时又假定库仑定律 牛顿定律在他的原子中仍然成立 即有 联立求得 稳定的轨道半径r正比于主量子数n的平方 即轨道是不连续的 玻尔假定电子绕核运动的轨道角动量满足量子化条件 54 当n 1时 得r1 5 29177 10 11m 0 53A0通常称此数为第一玻尔半径 2 原子能级的概念 按照经典理论 电子在轨道上运动时 具有电势能和动能 因此电子在某一轨道运动时 其总能量为 故此轨道总能量为 55 这说明原子系统的能量是不连续的 量子化的 这种量子化的能量值称为原子的能级 或者由 由上面两式 得 56 3 能级跃迁图与氢原子谱线系 57 一 德布罗意波 1 实物粒子具有波粒二象性 1 4粒子的波动性 自然界在许多方面都是明显对称的 既然光具有波粒二象性 那么实物粒子 如电子 是否也应具有波粒二象性 1924年法国青年物理学家 在光的波粒二象性的启发下提出了此问题 他认为 19 世纪物理学家对光的研究只重视了光的波动性而忽视了光的微粒性 而在实物粒子 即中子 质子 电子 原子 分子等 的研究上可能发生了相反的情况 即过分重视了实物粒子的微粒性 而没有考虑实物粒子的波动性 因此他提出实物粒子也具有波动特性 58 实物粒子的能量E和动量P与它相应的波的频率 和波长 的关系和光子一样 这种和实物粒子相联系的波通常称为德布罗意波 或叫物质波 59 2德布罗意deBroglie波 因为自由粒子的能量E和动量p都是常量 所以由deBroglie关系可知 与自由粒子联系的波的频率 和波矢k 或波长 都不变 即是一个单色平面波 由力学可知 频率为 波长为 沿单位矢量n方向传播的平面波可表为 写成复数形式 这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波 或称为描写自由粒子的平面波 这种写成复数形式的波称为deBroglie波 deBroglie关系 E h 2 2 E h E h p k 1 2 p 60 3驻波条件 为了克服Bohr理论带有人为性质的缺陷 deBroglie把原子定态与驻波联系起来 即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长 或频率 的分立性联系起来 例如 氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图 要求圆周长是波长的整数倍 于是角动量 deBroglie关系 61 二 德布罗意波的实验验证 1 戴维孙 革末的电子衍射实验 德布罗意波是1924年提出的 1927年便得到了验证 戴维孙 革末看到电子的德布罗意波波长与X射线的波长相近 因此想到可用与X射线衍射相同的方法验证 实验装置和现象 62 电流出现了周期性变化 M 实验结果 63 实验结果的解释 戴维孙和革末在实验中 保持d和 不变 则波长 满足布拉格公式时 如果电子束确有波动 则入射到晶体上的电子 当其满足布拉格公式时 按德布罗意假设 电子加速后的波长满足 当U逐渐变化时 即波长逐渐变化时 其平方根值等于一个常数C的整数倍时 接收器测到的电子数量应出现峰值 结果理论和实验符合很好 应在反射方向上观察到最强电流 64 例如 对d 0 91 的镍片 使 600 当加速电压U 54V时 电流有第一级极大 布拉格公式 算得 2 电子多晶薄膜的衍射实验 德布罗意公式 算得 65 在此之后 人们陆续用实验证实了原子 分子 中子 质子也具有波动性 实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜 其分辨本领比普通光学仪器要高几千倍 如我国制造的电子显微镜 其放大率高达 万倍 其分解本领达1 44 可分辨到单个原子的尺度 为研究分子结构提供了有力武器 66 3 对波粒二象性的理解 1 粒子性 原子性 或 整体性 具有能量和动量 不是经典的粒子 2 波动性 可叠加性 干涉 衍射 偏振 具有频率和波矢 不是经典的波 抛弃了 轨道 的概念 不代表实在的物质的波动 67 第二章波函数和Schrodinger方程 1波函数的统计解释 2态叠加原理 3力学量的平均值和算符的引进 4Schrodinger方程 5粒子流密度和粒子数守恒定律 6定态Schrodinger方程 68 1波函数的统计解释 一 波函数 二 波函数的解释 三 波函数的性质 69 3个问题 描写自由粒子的平面波 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动 他的动量和能量不再是常量 或不同时为常量 粒子的状态就不能用平面波描写 而必须用较复杂的波描写 一般记为 描写粒子状态的波函数 它通常是一个复函数 称为deBroglie波 此式称为自由粒子的波函数 1 是怎样描述粒子的状态呢 2 如何体现波粒二象性的 3 描写的是什么样的波呢 一 波函数 返回 1 70 2德布罗意deBroglie波 因为自由粒子的能量E和动量p都是常量 所以由deBroglie关系可知 与自由粒子联系的波的频率 和波矢k 或波长 都不变 即是一个单色平面波 由力学可知 频率为 波长为 沿单位矢量n方向传播的平面波可表为 写成复数形式 这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波 或称为描写自由粒子的平面波 这种写成复数形式的波称为deBroglie波 deBroglie关系 E h 2 2 E h E h p k 1 2 p 71 1 两种错误的看法 1 波由粒子组成 如水波 声波 由分子密度疏密变化而形成的一种分布 这种看法是与实验矛盾的 它不能解释长时间单个电子衍射实验 电子一个一个的通过小孔 但只要时间足够长 底片上增加呈现出衍射花纹 这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象 单个电子就具有波动性 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面 而抹杀了粒子的波动性的一面 具有片面性 O 事实上 正是由于单个电子具有波动性 才能理解氢原子 只含一个电子 中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象 72 2 粒子由波组成 电子是波包 把电子波看成是电子的某种实际结构 是三维空间中连续分布的某种物质波包 因此呈现出干涉和衍射等波动现象 波包的大小即电子的大小 波包的群速度即电子的运动速度 什么是波包 波包是各种波数 长 平面波的迭加 平面波描写自由粒子 其特点是充满整个空间 这是因为平面波振幅与位置无关 如果粒子由波组成 那么自由粒子将充满整个空间 这是没有意义的 与实验事实相矛盾 实验上观测到的电子 总是处于一个小区域内 例如在一个原子内 其广延不会超过原子大小 1 电子究竟是什么东西呢 是粒子 还是波 电子既不是粒子也不是波 既不是经典的粒子也不是经典的波 但是我们也可以说 电子既是粒子也是波 它是粒子和波动二重性矛盾的统一 这个波不再是经典概念的波 粒子也不是经典概念中的粒子 73 相速度与群速度 对于单色波 其速度指振动即位相传播的速度 称为相速度 而非单色波 由于色散 不同波长成分具有不同的相速度 非单色波 合成形成波包 波包表现了非单色波的群体特征 群速度 74 75 1 入射电子流强度小 开始显示电子的微粒性 长时间亦显示衍射图样 我们再看一下电子的衍射实验 2 入射电子流强度大 很快显示衍射图样 76 a 每次接收到的是一个电子 即电子确是以一个整体出现 b 电子数的强度P1 P2 但P1 P2 P12 77 c 电子枪发射稀疏到 任何时刻空间至多一个电子 但足够长的时间后 也有同样结果 因此 我们可得到下面的结论 a 不能认为 波是电子将自己以一定的密度分布于空间形成的 因接收到的是一个个电子 也不是大量电子分布形成的 稀疏时 也有同样的现象 78 b 不能想像 电子通过1 2时 能像经典电子 有轨道 那样来描述 因P1 P2 P12 79 c 不能认为衍射可能是通过缝后 电子相互作用所导致 稀疏时 也有同样现象 总之 电子 量子粒子 不能看作经典粒子也不能用经典波来描述 经典波是物理量在空间的分布 80 结论 衍射实验所揭示的电子的波动性是 许多电子在同一个实验中的统计结果 或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的 在此基础上 Born提出了波函数意义的统计解释 r点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目 正比于该点附近出现的电子数目 正比于电子出现在r点附近的几率 在电子衍射实验中 照相底片上 81 据此 描写粒子的波可以认为是几率波 反映微观客体运动的一种统计规律性 波函数 r 有时也称为几率幅 这就是首先由Born提出的波函数的几率解释 它是量子力学的基本原理 假设衍射波波幅用 r 描述 与光学相似 衍射花纹的强度则用 r 2描述 但意义与经典波不同 r 2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小 确切的说 r 2 x y z表示在r点处 体积元 x y z中找到粒子的几率 波函数在空间某点的强度 振幅绝对值的平方 和在这点找到粒子的几率成比例 82 三 波函数的性质 在t时刻 r点 d dxdydz体积内 找到由波函数 r t 描写的粒子的几率是 dW r t C r t 2d 其中 C是比例系数 根据波函数的几率解释 波函数有如下重要性质 1 几率和几率密度 在t时刻r点 单位体积内找到粒子的几率是 r t dW r t d C r t 2称为几率密度 在体积V内 t时刻找到粒子的几率为 W t VdW V r t d C V r t 2d 83 2 平方可积 由于粒子在空间总要出现 不讨论粒子产生和湮灭情况 所以在全空间找到粒子的几率应为一 即 C r t 2d 1 从而得常数C之值为 C 1 r t 2d 这即是要求描写粒子量子状态的波函数 必须是绝对值平方可积的函数 若 r t 2d 则C 0 这是没有意义的 84 3 归一化波函数 这与经典波不同 经典波波幅增大一倍 原来的2倍 则相应的波动能量将为原来的4倍 因而代表完全不同的波动状态 经典波无归一化问题 r t 和C r t 所描写状态的相对几率是相同的 这里的C是常数 因为在t时刻 空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是 由于粒子在全空间出现的几率等于一 所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例 而不取决于强度的绝对大小 因而 将波函数乘上一个常数后 所描写的粒子状态不变 即 r t 和C r t 描述同一状态 可见 r t 和C r t 描述的是同一几率波 所以波函数有一常数因子不定性 85 归一化常数 若 r t 没有归一化 r t 2d A A是大于零的常数 则有 A 1 2 r t 2d 1 也就是说 A 1 2 r t 是归一化的波函数 与 r t 描写同一几率波 A 1 2称为归一化因子 注意 对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性 若 r t 是归一化波函数 那末 exp i r t 也是归一化波函数 其中 是实数 与前者描述同一几率波 86 4 平面波归一化 IDirac 函数 定义 或等价的表示为 对在x x0邻域连续的任何函数f x 有 函数亦可写成Fourier积分形式 令k px dk dpx 则 性质 87 II平面波归一化 写成分量形式 t 0时的平面波 考虑一维积分 若取A122 1 则A1 2 1 2 于是 88 三维情况 其中 注意 这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度 依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同 89 体系的波函数给出了体系所有信息 可能范围内的 它给出体系一个完全的描述 例如 测量粒子的能量时 可给出预言可能测得那些能量值和测得该能量值的概率 等等 正因为如此 我们可以说波函数描述了体系所处的量子状态 或称状态 以描述体系 就称体系处于态 或称为体系的态函数 90 一 态叠加原理 微观粒子具有波动性 会产生衍射图样 而干涉和衍射的本质在于波的叠加性 即可相加性 两个相加波的干涉的结果产生衍射 因此 同光学中波的叠加原理一样 量子力学中也存在波叠加原理 因为量子力学中的波 即波函数决定体系的状态 称波函数为状态波函数 所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理 91 考虑电子双缝衍射 C1 1 C2 2也是电子的可能状态 空间找到电子的几率则是 2 C1 1 C2 2 2 C1 1 C2 2 C1 1 C2 2 C1 1 2 C2 2 2 C1 C2 1 2 C1C2 1 2 电子穿过狭缝 出现在 点的几率密度 电子穿过狭缝 出现在 点的几率密度 相干项正是由于相干项的出现 才产生了衍射花纹 一个电子有 1和 2两种可能的状态 是这两种状态的叠加 92 其中C1和C2是复常数 这就是量子力学的态叠加原理 态叠加原理一般表述 若 1 2 n 是体系的一系列可能的状态 则这些态的线性叠加 C1 1 C2 2 Cn n 其中C1 C2 Cn 为复常数 也是体系的一个可能状态 处于 态的体系 部分的处于 1态 部分的处于 2态 部分的处于 n 一般情况下 如果 1和 2是体系的可能状态 那末它们的线性叠加 C1 1 C2 2也是该体系的一个可能状态 93 例 电子在晶体表面反射后 电子可能以各种不同的动量p运动 具有确定动量的运动状态用deBroglie平面波表示 根据叠加原理 在晶体表面反射后 电子的状态 可表示成p取各种可能值的平面波的线性叠加 即 而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果 p 94 二 动量空间 表象 的波函数 r t 是以坐标r为自变量的波函数 坐标空间波函数 坐标表象波函数 C p t 是以动量p为自变量的波函数 动量空间波函数 动量表象波函数 二者描写同一量子状态 波函数 r t 可用各种不同动量的平面波表示 下面我们给出简单证明 展开系数 令 则 可按 p展开 95 若 r t 已归一化 则C p t 也是归一化的 96 97 2 1 4不确定关系由于粒子应由态函数 r t 来描述 因此 r p就不能像经典那样以每时刻 来描述 事实上由前一节也看出 自由粒子的动量并不一定取一个值 但是否仍能像经典那样在r0处发现粒子具有动量p0呢 应该注意 不确定关系 是实验的结果 也是波粒两象性的结果 当然也是波函数概率解释和态叠加原理的结果 xi pj ijh 2 海森堡测不准关系 98 3力学量的平均值和算符的引进 一 力学量平均值 1 坐标平均值 2 动量平均值 二 力学量算符 1 动量算符 2 动能算符 3 角动量算符 4 Hamilton算符 99 一 力学量平均值 在统计物理中知道 当可能值为离散值时 一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和 当可能值为连续取值时 一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分 基于波函数的几率含义 我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值 先考虑一维情况 然后再推广至三维 100 1 坐标平均值 为简单计 剩去时间 变量 或者说 先不考虑随时间的变化 设 x 是归一化波函数 x 2是粒子出现在x点的几率密度 则 对三维情况 设 r 是归一化波函数 r 2是粒子出现在r点的几率密度 则x的平均值为 2 动量平均值 一维情况 令 x 是归一化波函数 相应动量表象波函数为 101 二 力学量算符 简言之 由于量子力学和经典力学完全不同 它是用波函数描写状态 所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式 称为第一次量子化 1 动量算符 既然 x 是归一化波函数 相应动量表象波函数为c px 一一对应 相互等价的描述粒子的同一状态 那末动量的平均值也应可以在坐标表象用 x 表示出来 但是 x 不含px变量 为了能由 x 来确定动量平均值 动量px必须改造成只含自变量x的形式 这种形式称为动量px的算符形式 记为 102 一维情况 103 比较上面二式得两点结论 而动量px在坐标表象 非自身表象 中的形式必须改造成动量算符形式 三维情况 104 由归一化波函数 r 求力学量平均值时 必须把该力学量的算符夹在 r 和 r 之间 对全空间积分 即 F是任一力学量算符 105 2 动能算符 3 角动量算符 106 4 Hamilton算符 107 4Schrodinger方程 一 引 二 引进方程的基本考虑 三 自由粒子满足的方程 四 势场V r 中运动的粒子 五 多粒子体系的Schrodinger方程 108 这些问题在1926年Schrodinger提出了波动方程之后得到了圆满解决 微观粒子量子状态用波函数完全描述 波函数确定之后 粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定 波函数完全描写微观粒子的状态 因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题 1 在各种情况下 找出描述系统的各种可能的波函数 2 波函数如何随时间演化 一 引 109 二 引进方程的基本考虑 从牛顿方程 人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p 因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数 所以方程是时间的二阶常微分方程 让我们先回顾一下经典粒子运动方程 看是否能给我们以启发 1 经典情况 110 2 量子情况 3 第三方面 方程不能包含状态参量 如p E等 否则方程只能被粒子特定的状态所满足 而不能为各种可能的状态所满足 1 因为 t t0时刻 已知的初态是 r t0 且只知道这样一个初条件 所以 描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含 对时间的一阶导数 2 另一方面 要满足态叠加原理 即 若 1 r t 和 2 r t 是方程的解 那末 r t C1 1 r t C2 2 r t 也应是该方程的解 这就要求方程应是线性的 也就是说方程中只能包含 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项 不能含它们的平方或开方项 111 三 自由粒子满足的方程 这不是所要寻找的方程 因为它包含状态参量E 将 对坐标二次微商 得 将上式对t微商 得 1 2 式 112 满足上述构造方程的三个条件 讨论 通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出 如果能量关系式E p2 2 写成如下方程形式 做算符替换 4 即得自由粒子满足的方程 3 1 2 式 返回 113 四 势场V r 中运动的粒子 该方程称为Schrodinger方程 也常称为波动方程 若粒子处于势场V r 中运动 则能动量关系变为 将其作用于波函数得 做 4 式的算符替换得 114 五 多粒子体系的Schrodinger方程 设体系由N个粒子组成 质量分别为 i i 1 2 N 体系波函数记为 r1 r2 rN t 第i个粒子所受到的外场Ui ri 粒子间的相互作用V r1 r2 rN 则多粒子体系的Schrodinger方程可表示为 115 多粒子体系Hamilton量 对有Z个电子的原子 电子间相互作用为Coulomb排斥作用 而原子核对第i个电子的Coulomb吸引能为 假定原子核位于坐标原点 无穷远为势能零点 例如 116 5粒子流密度和粒子数守恒定律 一 定域几率守恒 二 再论波函数的性质 117 一 定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况 因没有粒子的产生和湮灭问题 粒子数保持不变 对一个粒子而言 在全空间找到它的几率总和应不随时间改变 即 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后 我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化 粒子在t时刻r点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是 118 证 考虑Schrodinger方程及其共轭式 取共轭 119 在空间闭区域 中将上式积分 则有 闭区域 上找到粒子的总几率在单位时间内的增量 J是几率流密度 是一矢量 所以 7 式是几率 粒子数 守恒的积分表示式 令Eq 7 趋于 即让积分对全空间进行 考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的 波函数在无穷远处为零 则式右面积分趋于零 于是Eq 7 变为 其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同 使用Gauss定理 单位时间内通过 的封闭表面S流入 面积分前面的负号 内的几率 120 讨论 表明 波函数归一化不随时间改变 其物理意义是粒子既未产生也未消灭 1 这里的几率守恒具有定域性质 当空间某处几率减少了 必然另外一些地方几率增加 使总几率不变 并伴随着某种流来实现这种变化 同理可得量子力学的电荷守恒定律 表明电荷总量不随时间改变 121 二 再论波函数的性质 1 由Born的统计解释可知 描写粒子的波函数已知后 就知道了粒子在空间的几率分布 即d r t r t 2d 2 已知 r t 则任意力学量的平均值 可能值及相应的几率就都知道了 也就是说 描写粒子状态的一切力学量就都知道了 所以波函数又称为状态波函数或态函数 3 知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后 由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态 1 波函数完全描述粒子的状态 2 波函数标准条件 1 根据Born统计解释 r t r t r t 是粒子在t时刻出现在r点的几率 这是一个确定的数 所以要求 r t 应是r t的单值函数且有限 122 式右含有 及其对坐标一阶导数的积分 由于积分区域 是任意选取的 所以S是任意闭合面 要是积分有意义 必须在变数的全部范围 即空间任何一点都应是有限 连续且其一阶导数亦连续 概括之 波函数在全空间每一点通常应满足单值 有限 连续三个条件 该条件称为波函数的标准条件 2 根据粒子数守恒定律 123 3 量子力学基本假定I II 量子力学基本假定I波函数完全描述粒子的状态 量子力学基本假定II波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程 124 6定态Schrodinger方程 一 定态Schrodinger方程 二 Hamilton算符和能量本征值方程 三 求解定态问题的步骤 四 定态的性质 125 一 定态Schrodinger方程 现在让我们讨论有外场情况下的定态Schrodinger方程 令 于是 V r 与t无关时 可以分离变量 等式两边是相互无关的物理量 故应等于与t r无关的常数 126 该方程称为定态Schrodinger方程 r 也可称为定态波函数 或可看作是t 0时刻 r 0 的定态波函数 此波函数与时间t的关系是正弦型的 其角频率 2 E h 由deBroglie关系可知 E就是体系处于波函数 r t 所描写的状态时的能量 也就是说 此时体系能量有确定的值 所以这种状态称为定态 波函数 r t 称为定态波函数 127 二 Hamilton算符和能量本征值方程 1 Hamilton算符 二方程的特点 都是以一个算符作用于 r t 等于E r t 所以这两个算符是完全相当的 作用于波函数上的效果一样 再由Schrodinger方程 128 2 能量本征值方程 1 一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似 数学物理方法中 微分方程 边界条件构成本征值问题 2 量子力学中 波函数要满足三个标准条件 对应数学物理方法中的边界条件 称为波函数的自然边界条件 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程 常量E称为算符H的本征值 称为算符H的本征函数 3 由上面讨论可知 当体系处于能量算符本征函数所描写的状态 简称能量本征态 时 粒子能量有确定的数值 这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值 129 三 求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 r t 和在这些态中的能量E 其具体步骤如下 1 列出定态Schrodinger方程 2 根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题 得 3 写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数 4 通过归一化确定归一化系数Cn 130 四 定态的性质 2 几率密度与时间无关 1 粒子在空间几率密度与时间无关 131 综上所述 当 满足下列三个等价条件中的任何一个时 就是定态波函数 1 描述的状态其能量有确定的值 2 满足定态Schrodinger方程 3 2与t无关 3 任何不显含t得力学量平均值与t无关 132 第三章一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前 先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题 一维定态问题 其好处有四 1 有助于具体理解已学过的基本原理 2 有助于进一步阐明其他基本原理 4 一维问题还是处理各种复杂问题的基础 1一维无限深势阱 2线性谐振子 3一维势散射问题 3 处理一维问题 数学简单 从而能对结果进行细致讨论 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来 133 1一维无限深势阱 一 一维运动 二 一维无限深势阱 三 宇称 四 讨论 134 一 一维运动 所谓一维运动就是指在某一方向上的运动 此方程是一个二阶偏微分方程 若势可写成 V x y z V1 x V2 y V3 z 形式 则S 方程可在直角坐标系中分离变量 令 x y z X x Y y Z z E Ex Ey Ez于是S 方程化为三个常微分方程 当粒子在势场V x y z 中运动时 其Schrodinger方程为 135 其中 136 1 1式是一维薛定谔方程 对于定态 2 137 定理1 设 x 是方程 2 的一个解 对应的本征能量是E则 x 也是方程的一个解 对应的能量也是E 138 139 定理2 对应于能量的某个本征值E 总可以找到方程 1 的一组实解 凡是属于E的任何解 均可表示成这一组实解的线性叠加 这组实解是完备的 140 定理3 设V x 具有空间反射不变性 V x V x 如果 x 是是方程 1 对应于本征能量E的一个解则 x 也是方程 1 对应于本征能量E的一个解 141 142 定理4 设V x V x 则对应于任何一个能量本征值E 总可以找到方程 1 的一组完备的解它们之中每一个解都有确定的宇称 143 定理6 对于一维粒子 设 1和 2均为方程2的属于同一能量E的解 则 144 145 定理7 设粒子在规则势场V x V x 无奇点 中运动 如存在束缚态 则必定是不简并的 146 二 一维无限深势阱 求解S 方程分四步 1 列出各势域的一维S 方程