高一(人教A版)数学课件：1.1.3集合的基本运算(第1课时并集、交集).ppt

1 1 3 集合的基本运算 一 1 一般地 由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合 称为集合A与B的并集 也就是由集合A与B的 元素组成的集合 2 A与B的并集记作A B A B 3 已知集合A 1 2 3 B 2 3 4 则A B 4 一般地 由属于集合A 属于集合B的所有元素组成的集合 称为A与B的交集 也就是由集合A与集合B的 元素组成的集合 5 A与B的交集记作A B 即A B 6 已知集合A x x 2 B x x 1 则A B x x A且x B x 1 x 2 重点1 并集运算的五条性质 1 交换律 符号语言表达式为 A B B A 2 任何集合与自身的并集等于集合自身 符号语言表达式为 A A A 3 任何集合与空集的并集等于集合自身 符号语言表达式为 A A A 4 任何集合与它的子集的并集 等于集合的自身 符号语言表达式为 若A B 则A B B 5 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 符号语言表达式为 A A B B A B 重点2 交集运算的五条性质 1 交换律 符号语言表达式为 A B B A 2 任何集合与自身的交集等于集合自身 符号语言表达式为 A A A 3 任何集合与空集的交集都是空集 符号语言表达式为 A A 4 集合与它的子集的交集等于其子集 符号语言表达式为 若A B 则A B A 5 两个集合的交集是其中任一集合的子集 符号语言表达式为 A B A A B B 难点 对并集定义中 或 的理解 并集的定义中的 或 与日常生活中所说的 或 含义不同 在并集中的 或 有以下三种意思 1 x A 但x B 2 x B 但x A 3 x A 且x B 交集 并集的简单运用 例1 已知A x x 2或x 5 B x 1 x 7 求A B 根据并集的定义 图中阴影部分即为所求 A B x x 2或x 1 图1 借助数轴解决问题 最易出错的地方是各段的 端点 因此端点能否取到 在数轴上一定要标注清楚 解 将x 2或x 5及1 x 7在数轴上表示出来 如图1 1 1 若集合A x x 1 B y y x2 则A B A x 1 x 1 C x 0 x 1 B x x 0 D C 解 将 3 x 1 x 3在数轴上表示出来 如图2 图2 M N x x 1 1 2 已知集合M x 3 x 1 N x x 3 求M N 已知集合的交集 并集求参数 例2 已知A x 2a x a 3 B x x 1或x 5 若A B 求a的取值范围 思维突破 由题目可获取以下主要信息 1 集合B非空 2 集合A不确定 且A B 本题要分A 和A 两种情况 结合数轴求解 解 1 若A 由A B 此时2a a 3 a 3 2 若A 由A B 如图2 图2 出现交集为空集的情形 首先考虑集合中有没有空集 即分类讨论 其次 与不等式有关的集合的交 并运算中 数轴分析法直观清晰 应重点考虑 2 1 设集合A x 1 x a B x 1 x 3 且A B x 1 x 3 求a的取值范围 解 如图3 由A B x 1 x 3 知 1 a 3 图3 集合运算性质的应用 例3 设A x x2 4x 0 B x x2 2 a 1 x a2 1 0 1 若A B B 求a的值 2 若A B B 求a的值 思维突破 由A B B B A A B B A B 再讨论 集合B 列出方程求a 在解答集合的交 并运算时 常会遇到A B A A B B等这类问题 解答时应充分利用交集 并集的有关性质 准确转化条件 有时也借助数轴分析处理 另外还要注意 空集 这一隐含条件 3 1 若集合A x 3 x 5 B x 2m 1 x 2m 9 A B B 求m的取值范围 解 A B B A B 如图4 图4 3 2 已知集合A x a x a 3 B x x5 1 若A B 求a的取值范围 2 若A B B a的取值范围又如何 例4 已知集合A x x2 2x 3 0 B x ax 1 0 若A B A 求a的值 错因剖析 解题时易忽略 空集是任何集合的子集 这一性质 导致解题过程不全面 在有关子集的题目中 一定要牢记 空集 优先考虑 1 1 3集合的基本运算 第1课时并集 交集 1 已学习过的集合间的关系有 2 子集关系中 如A B A与B的关系可能有和 两类关系 包含与不包含 A B A B 1 并集 交集的概念及表示法 所有属于A或属于B x x A或x B 所有属于A且属于B的所有元素 x x A 且x B 2 并集与交集的运算性质 A A A A B 1 能否认为A与B没有公共元素时 A与B就没有交集 提示 不能 当A与B无公共元素时 A与B的交集仍存在 此时A B 2 在求 交 并 运算时是将其公共元素简单地写入 交集 或 并集 里面吗 提示 不能 对于集合中相同的元素只写一个 因为 交集 或 并集 是集合 集合中元素具有互异性的特征 故相同元素只能写一个 1 若集合A x x 0 B x x3 D R 2 已知集合M x 35 则M N A x x 3 B x 55 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 题中两个集合均为数集 分别求交集和并集 解答本题可借助数轴直观求解 解析 1 A x x 0 B x x 3 A B x 0 x 3 故选B 答案 B 2 由题意画出图形 可知 M N x x 3 故选A 答案 A 此类题目首先应看清集合中元素的范围 简化集合 若是用列举法表示的数集 可以据交集 并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果 若是用描述法表示的数集 可借助数轴分析写出结果 此时要注意当端点不在集合中时 应用 空心圈 表示 1 1 若本例 1 中 问题改为求A B 2 本例 2 中 问题改为求M N 解析 1 由例1中的数轴表示知A B R 故选D 2 由例1中的数轴表示知M N x 3 x 5 故选C 答案 1 D 2 C 设集合A x 1 x a B x 1 x 3 且A B 求a的取值范围 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 集合B非空 集合A不确定 且A B 解答本题可分A 和A 两种情况 结合数轴求解 解析 由A B 1 若A 则有a 1 2 若A 如图 则有 1 a 1综上所述 a的取值范围是 a a 1 出现交集为空集的情形 应首先考虑集合中有没有空集 即分类讨论 其次 与不等式有关的集合的交 并运算中 数轴分析法直观清晰 应重点考虑 2 本例中 若将 A B 改为 A B x 1 x 3 则a的取值范围又是什么 解析 如图所示 由A B x 1 x 3 知 1 a 3 已知集合A x 2 x 5 B x 2m 1 x 2m 1 若A B A 求实数m的取值范围 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 集合A确定 集合B中元素不确定 A B A 解答本题时 可由A B A知B A 从而分B 和B 分类讨论 本题中B x 2m 12m 1 故B 1 当集合B A时 如果集合A是一个确定的集合 而集合B不确定 运算时 要考虑B 的情形 切不可漏掉 2 利用集合运算性质 化简集合之间的关系有利于准确了解集合之间的联系 已知集合A x x2 3x 2 0 B x x2 x 2m 0 若A B B 求m的取值范围 思路点拨 A B B B A 讨论集合B 对于涉及集合运算的问题 可先利用集合运算的等价性 即若A B A 则B A 反之也成立 若A B B 则B A 反之也成立 得到相关集合的关系 使得问题转化为考查两集合中元素的关系 而集合中的元素为方程的解 对此逐一讨论便得问题的解 4 已知集合A x x2 3x 2 0 B x x2 ax a 1 0 若A B A 求a的取值范围 解析 依题设 得A 1 2 因为A B A 所以B A 故集合B中至多有两个元素1 2 而方程x2 ax a 1 0的两个实数解为1 a 1 注意到集合中元素的互异性 我们有 当a 1 2 即a 3时 B 1 2 当a 1 1 即a 2时 B 1 于是a 2或a 3都满足题意 所以a的取值范围是 a a 2 或a 3 1 对并集概念的理解 x A 或x B 包含三种情况 x A 但x B x B 但x A x A 且x B Venn图如图 另外 在求两个集合的并集时 它们的公共元素只出现一次 2 对交集概念的理解必须注意 1 并不是任何两个集合都有公共元素 当集合A与B没有公共元素时 不能说A与B没有交集 而是A B 如图 2 概念中的 所有 两字的含义是 不仅 A B中的任意元素都是A与B的公共元素 同时 A与B的公共元素都属于A B 3 特别地 还有如图所示的三种情形 3 集合的交 并运算 1 对于元素个数有限的集合 可直接根据集合的 交 并 定义求解 但要注意集合元素的互异性 2 对于元素个数无限的集合 进行交 并运算时 可借助数轴 利用数轴分析法求解 但要注意端点值取到与否 设集合A x R x2 2x 2 p 0 且A x x 0 求实数p的取值范围 错解 依题意 方程x2 2x 2 p 0没有实数解 因此 22 4 2 p 0 表示方程x2 2x 2 p 0没有正实数解 此时等价于方程没有实数解或有非正实数解 只有正确理解这一集合语言 才能正确求解 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 学点六 学点七 1 一般地 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 称为集合A与B的 记作 即A B 2 一般地 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 称为集合A与B的 记作 即A B 3 1 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么就称这个集合为 通常记作 2 对于一个集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的 记作 即 并集 A B x x A或x B 交集 A B x x A 且x B 全集U 补集 U 4 1 1 并集A B x x A或x B 对于任意的集合A B 有A A A A A B A B 若A B B 则AB 若A B B 则BA 2 由补集的定义可知 对任意集合A 有A CUA A CUA 5 用集合语言描述下面几个图 1 AB A B A B 2 AB A B A B 3 A B A B A B B A A B A B A B A A B A B A U 学点一基本概念的考查 已知U 1 2 3 8 A 1 2 3 4 B 2 3 4 5 求 1 A B 2 A CUB 3 CUA CUB 4 CUA CUB 分析 由集合的交 并 补概念直接求解 解析 U 1 2 3 8 A 1 2 3 4 B 2 3 4 5 CUA 5 6 7 8 CUB 1 6 7 8 1 A B 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 2 A CUB 1 2 3 4 1 6 7 8 1 2 3 4 6 7 8 3 CUA CUB 5 6 7 8 1 6 7 8 6 7 8 4 CUA CUB 5 6 7 8 1 6 7 8 1 5 6 7 8 评析 集合的简单运算可由基本概念直接求解 已知集合S x 1 x 7 A x 2 x 5 B x 3 x 7 求 1 CSA CSB 2 CS A B 3 CSA CSB 4 CS A B 解 A B x 3 x 5 A B x 2 x 7 CSA x 1 x 2 x 5 x 7 CSB x 1 x 3 7 1 CSA CSB x 1 x 2或x 7 2 CS A B x 1 x 2或x 7 3 CSA CSB x 1 x 3或5 x 7 4 CS A B x 1 x 3或5 x 7 解析 M x y2 x 1 x x 1 0 x x 1 P x y2 2 x 3 x x 3 M P x x 1 且x 3 x 1 x 3 故应选C 学点二交集 分析 由集合的定义 集合M表示方程y2 x 1中x的范围 集合P表示方程y2 2 x 3 中x的范围 故应先化简集合M P 评析 理解集合的表示形式 掌握其意义 利用交集定义可解决所给问题 已知集合M x y2 x 1 P x y2 2 x 3 那么M P A x y x y B x 1 x 3 C x 1 x 3 D x x 3 C 设集合A x y 2x y 1 x y R B x y a2x 2y a x y R 若A B 求a的值 解 集合A B的元素分别是二元一次方程2x y 1和a2x 2y a的解 因为两方程的公共解集A B 所以方程组无解 列方程组得 4 a2 x 2 a则即a 2 学点三并集 设A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 下列集合中与A B相等的集合是 A 4 5 6 7 8 B 3 4 6 7 10 16 C 3 4 5 6 7 8 9 D 3 4 5 6 7 8 分析 注意到集合A与集合B的并集的定义中 1 集合A B中的元素必须是集合A或集合B的元素 2 集合A B包含集合A与集合B中的所有元素 D 评析 在判定或书写集