高考热点问题（三）直线与圆锥曲线问题.doc

2006年高考热点问题（三）直线与圆锥曲线问题鉴于解析几何在中学数学中的重要地位，直线与圆锥曲线问题一直是高考命题的重点和热点，中学数学在传统范围的基础上纳入向量与导数之后，新的知识背景下的高考备考与高考命题的热点问题集中在以下两个题型：（）用向量“包装”的解析几何问题；（）有关参量的取值范围问题。其中（）容易成为导数与解析几何两个板块的结合点，这需要我们在备考复习时充分注意。一、用“向量”包装的解析几何问题将已知条件或目标用向量表出，是解析几何与向量“综合”的一种方式，也是解析几何命题的一种流行的时尚，因此，常见的一类问题纯属于“向量”包装，撕去这层包装，所给问题还是那“旧时模样”；常见的另一类问题则是以解析几何的方法与策略解决向量问题。其中，常见的以“向量”包装的已知条件或目标主要有（1）垂直条件及其延伸： ； （或 ）（2）定比分点： ；（3）用向量的和或差表示的关系式等。例1、 已知抛物线 ，O为顶点，F为焦点，动直线 与抛物线交于A、B两点，若总存在一个实数 ，使得 （1）求； （2）求满足 的点M的轨迹方程。分析：从认知题设中的向量关系式切入。解：由题意得 F（1，0） A、B、F三点共线，即弦AB为抛物线的焦点弦 由 得 k+b=0， 直线 的方程为 设 将代入C的方程 得 由题意 ，故这里 恒成立由韦达定理得 （1）由得 =-3（2）设M（x，y），则由题设得 由，消去k得 所求点M的轨迹方程为 。点评：认知题设条件的本来面目，这里抛物线的弦AB为抛物线的焦点弦，解题由此纳入熟悉的途径。例2、直线 与抛物线 交于A、B两点，O为原点，且有 （1）求证：直线 恒过一定点；（2）若 ，求直线 的斜率k的取值范围；（3）设抛物线焦点为F， ，试问：角 能否等于 ？若能，求出相应的直线 的方程；若不能，试说明理由。分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B坐标“既设又解”。注意到大前提下有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入。解：（1）设 ，则有 证明：由 得 注意到这里 ，由得 ，故由得 ， （）当直线 与x轴不垂直时，设其方程为 ，将其与抛物线方程 联立，消去x得 由题意 且 由，得 b=-2k直线 的方程为 ，可见直线 过定点（2，0）；（）当 轴时可得 ，直线 方程为x=2，亦过定点（2，0）；综上可得，直线l恒过定点（2，0）。（2）由（1）得 由 得 所求k的取值范围为 。（3）设 ，则有 又 而由抛物线定义知 将，代入解得 ，这与 且 矛盾再注意到当 轴时， 综上可知， 。点评：若直线与抛物线 交于不同两点A、B，且 ，则弦AB具有与焦点弦相似的性质：（）弦端点同名坐标之积为定值： ， （）直线AB经过抛物线的轴上一定点。例3、已知直线 与曲线 交于A、B两点（1）设 ，当a=-2时，求点P的轨迹方程；（2）是否存在常数a，对任意 都有 ？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；（3）是否存在常数m，对任意 都有 为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。解：设 （1）由 得 由 消去y得 由题意有 且 或 m1 且 且据韦达定理得 由，得 由消去m得 即 注意到由 易得 由得 或 y4 于是由、得点P轨迹方程为 （y4）（2）设符合条件的常数a存在由 消去y得 根据题设得 且 由题设得 符合式，于是可知，存在常数 ，使得对任意 都有 ；（3）设存在常数m，对任意 都有 ，k为常数将 代入 得 由题设得 且 （常数） 注意到 的任意性，由得 ，此方程组无实解不存在符合上述条件的常数m。点评：在这里（1）（2）（3）的求解过程相似，我们对于 的应用，是从其演变为关于A、B坐标的等式， 切入，进而演变为关于参数m，a的等式（方程）： ，而后考察a的取值的存在性。例3、已知方向向量为 的直线 过点 和椭圆 的焦点，且椭圆C的中心关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 （O为原点）若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由。解：（1）由题设知直线 的方程为 过原点垂直于 的直线方程为 将，联立解得 椭圆C的中心O关于直线 的对称点为 由题设得 又直线 过椭圆的焦点， 由得该焦点坐标为（2，0） 由得 c=2， ， 所求椭圆C的方程为 （2）设存在符合条件的直线m，并设 当直线m不垂直于x轴时，设直线m的方程为 代入得 由题设 且 点O到直线MN的距离 注意到这里 由此得 于是由，得 由此解得 又当直线m垂直于x轴时， 满足 故直线m的方程为 或 或x=-2经检验上述直线均满足 所求直线m的方程为 或 或x+2=0点评与小结：本题中关于条件 的应用，由其导出 ，于是比较例3与例3可见，条件 应用的主要途径有二：一是将其演变为 ，进而演变为关于所含参数的方程；二是由其导出 的面积（或面积表达式）进而再与其它条件联合推演，至于 或 之类的变形，一般运用第一种演变方法，请大家在今后的解题中注意品悟和总结。例4、 设双曲线C的方程为 ，点P（0，-2），过点P的直线 与双曲线C交于不同两点M、N。（1）当 时，求直线 的方程；（2）设 （O为坐标原点），求t的取值范围。分析：解析几何背景下的向量关系式，归根结底要借助点的坐标来转化。因此，我们仍从设出M、N坐标切入，循着解析几何解题的思路引向深入。解：注意到当直线 与x轴垂直时，直线 与双曲线C无交点，故设直线 的方程为 设 代入C的方程 得 由题设得 且 由韦达定理得 （1）当 时有 又 ， 代入得 注意到由得 （构造并寻觅 与 的联系，以利用式）由此得出题设条件下 与 的联系， 代入得 由此解得 ，即 所求直线 的方程为 或 （2） 注意到由得 且 或 或 t52因此，所求t的范围为 。点评：对于诸如（1）中 （P为定点）的定比分点问题，将 转化为交点A、B的横坐标（或纵坐标）的关系式后，进一步确立 与 所满足的等式，往往是解题的关键环节。例5、双曲线中心在原点，虚轴长为 ，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线 与x轴相交于点A， ，过点A的直线与双曲线相交于P、Q两点。（1）求双曲线的方程与离心率；（2）若点B（3，0），且 ，求直线PQ的方程；（3）设 ，点P关于x轴的对称点为M，证明： 解：（1）由题意设双曲线方程为 又由题设得 由此解得 ，c=2双曲线方程为 ，离心率 。（2）设 由（1）知A（1，0），故设直线PQ的方程为 代入双曲线方程 得 由题意得 且 且 若 ，则 ，点P、Q分别在双曲线的两支上，易见此时 为锐角，而由 可知 ，二者矛盾，故有 ，即k1 由得 或 此时P、Q两点同在双曲线右支上注意到P、Q在直线上， ， 由得 = = 又由 得 、代入得 由此解得 ， 符合所求直线PQ的方程为： 或 （3）由1知P、Q两点在双曲线的同一支上注意到这里 与 同号x10且x20P、Q两点同在双曲线的右支上又 且 由此得 ， 又 ， 1， 依题意M（x1，y1）， ， = （硬提因子（ ）= （凑出x2）= = 故得 点评：这里虽然也用“向量”包装了“A为OF中点”和“BPBQ”这两个条件，但是（3）的主体工程是运用解析几何的方法和策略寻找向量 及 的坐标，是解析几何方法服务于向量问题的一个典型范例。例5、已知点G 是 ABC的重心，A（0， 1），B（0，1），在X轴上有一点M 满足 ， （1） 求点C的轨迹方程；（2）若斜率k的直线 与点C的轨迹交于不同两点P、Q ，并且 ，试求k的取值范围。解：（1）设C（x，y），则由题设得 ，GMAB又M为X轴上一点故有M（ ，0）再注意到 整理得 （x0）点C的轨迹方程为 （x0）（2）（）当k=0时，直线 与椭圆C有两个不同交点P、Q，则根据椭圆对称性有 （）当k0时，设直线 的方程为y = k x + m 又设P ，Q（ ），弦PQ的中点为N（ ）代入椭圆C的方程 得 由题设得 0 且根据韦达定理得 由得 即点N坐标为（ ）又 将代入得 0 ） 1 ） -1k0 或0k1于是综合（）（）得所求m所求的取值范围为（1，1）。点评：与例5中对 0）的运用比较，这里对已知条件中 的运用格外粗放：由 的推出，GMAB，并利用它导出点M坐标，因此，面对 之类的已知条件，应注意把握运用的尺度，根据问题的具体情况，当细则细，当粗则粗，勿求千篇一律。二、有关参量的范围问题解析几何问题中某些参量的取值范围，是解析几何解答题的主力题型，也是高考命题的永不退温的热点问题。1、 主要表现这一题型主要为以下三类问题直线的主要参数的范围问题。主要表现为探求直线的斜率或纵截距的范围。圆锥曲线的有关参数的范围问题。主要表现为探求圆锥曲线的离心率。轴长、点参数或有关角的取值范围。所给“数学式子”的取值范围问题。一般表现为根据题设条件，探求所给数学式（函数式或几何式）的取值范围。2、解题策略解决上述问题的基本策略，一是利用问题所给的或挖掘出问题中隐蔽的“不等关系”，进而将这一不等关系演变为有关参量的不等式，通过解不等式获得所求范围；二是将目标转化为某一变量的“函数”，通过探求这一函数的值域获得所求范围。具体的解题策略参见专题二十四，这里不再重复。例1、如图，B（-c，0）、C（c，0） AHBC于H，且 。（1）若 ，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；（2）设D分有向线段 的比为 ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当 时，求椭圆的离心率e的取值范围。解（1）由 得H（ ） 注意到 AHBC，故设点A 的坐标为（ ） 由 得 即 椭圆长轴 = （1） 设D（x1，y1），由D分 的比为 得 即D（ ）设椭圆方程为 (ab0)则由点A，D 在椭圆上得 由得 将代入得 由得 注意到0e1，即得 所求椭圆离心率e的取值范围为 点评：对于（2），解题思路明朗，那就是运用解析几何手法设法寻出与e的关系式，进而利用所给 的取值范围导出e的取值范围。问题的难点在于适时利用定比分点坐标公式导出揭示 ，e的关系的式。例2、已知双曲线C： （a0，b0）的右准线 与一条渐近线 交于点M，F 是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。（1）求证： ；（2）若 ，且双曲线的离心率 ，求双曲线C的方程（3）在（2）的条件下，直线 过点A（0，1）与双曲线C的右支交于两点P、Q，且P在A，Q之间，满足 ，试求的取值范围。解：（1）证：右准线 ： 渐近线 ： M（ ）且F（c，0） ， ；（2）解：由 得 ，a2=2b2 又 ， 由、即得 所求双曲线C的方程为 （3）解：由题意得 故由 得 1 设P(x1，y1)，Q(x2,，y2) ， 的方程为y=kx+1 将代入双曲线方程得 由题设得 又由 得 由式构造得 于是将中后两式代入得 注意到式中1 ，故有O 1由得0 并且 4 4 0 因此由、得01即的取值范围为（0，1）。点评：对于直线与圆锥曲线相交问题中的“定比问题”运用对两交点的坐标“既设又解”的策略，导出 与 的关系式（如上面的）成为解题的重要关键。请大家从本题的解答中继续品悟和学习上述寻觅和构造的方法。例3、动椭圆C以坐标原点O 为左焦点，以定直线 x= 8为左准线，点B是椭圆C的短轴上的一个端点，线段BO的中点为M（1） 求点M的轨迹方程；（2）已知 kR， ， ，经过点（1，0）且以 为方向向量的直线l与点M的轨迹交于E、F两点，又D（1，0），若EDF为钝角，求k的取值范围。解：（1）设椭圆中心为O，M（x，y）由题意得 ，O（2 x，0）又设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，则 ， ， 注意到椭圆左焦距为O（0，0），左准线为x=8 ，即 于是由，得 （x0）即 （x0）点M的轨迹方程为 （x0）（2） 设 由题意 直线 的方程为 代入 得 由题意得 且 且 注意到由EDF为钝角得 0 0 0 0 将代入得 0再注意到式，由此解得 且k0所求k的取值范围为 点评：认识到k的意义，解题便进入熟悉的情境。例4 （2004全国卷）给定抛物线 ，F是C的焦点，过点F的直线 与C相交于A、B两点。（1）设 的斜率为1，求 与 夹角的大小；（2）设 ，若 ，求 在y轴上截距的变化范围。分析：令 与 夹角为，从求cos的值切入，注意到（1）的目标与（2）的条件都在呼唤着A、B的坐标，故考虑对交点A、B的坐标“既设又解”，以取“设”与“解”的两家之长，简化求解过程。解：（1）抛物线C的焦点F（1，0）， 的斜率为1直线 的方程为 设A（ ），B（ ）， 与 夹角为。将代入抛物线方程 得 由题设知， 为这一方程的不等实根 0显然成立由韦达定理得 由、得 与 夹角的大小为 （2）设直线 的方程为 ，A（ ），B（ ）。由 得 0等式成立且 由题设 得 即 又 ， 由、解得 于是将代入 得 解得 令 则 0 在4，9上为增函数 即 由得 或 或 因此，直线 在y轴上的截距k的取值范围为 。点评：对于（2），利用向量的坐标由 导出 ，是沟通与A、B 坐标的联系，进而通过式导出k与关系的关键一环。形如 的条件的运用，首选上述转化。在上述转化难以达到目标时，再考虑运用定比分点坐标公式。例5、（2005天津卷）抛物线C的方程为 过抛物线C上一点 作斜率为 的两条直线分别交抛物线C于 两点（P、A、B三点互不相同），且满足 ，且 。（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M，满足 ，证明：线段PM的中点在y轴上；（3）当 时，若点P坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标 的取值范围。分析：（）对于（2），为利用向量的坐标公式，通过直线方程去求解或表示点A、B坐标，因此，解（2）由写出斜率为 的直线方程切入，从求解A、B坐标突破（对A、B坐标既（题）设又（自己）解）。（）对于（3），PAB为钝角 ，故仍从推导A、B以及向量 的坐标入手。解：（1）