3.1一维晶格振动.pdf

一维晶格的振动一维晶格的振动 三维晶格的振动三维晶格的振动 简正振动简正振动 声子声子 晶格振动热容理论晶格振动热容理论 第三章第三章 晶格振动与晶体热力学性质晶格振动与晶体热力学性质 物体在一固定位置附近作来回的往复运动 称为机械振动 物体在一固定位置附近作来回的往复运动 称为机械振动 简谐振动简谐振动 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成 X 0 x F K 弹簧振子谐振动方程及解弹簧振子谐振动方程及解 0 2 2 2 x dt xd 谐振动微分方程 谐振动微分方程 kxF td xd mkxF 2 2 复习 简谐振动与简谐波复习 简谐振动与简谐波 运动学方程运动学方程 0 cos tAx 方程的解 方程的解 00 sincos titAx 位移位移 x 从平衡位置指向物体所在位置的有向线段 从平衡位置指向物体所在位置的有向线段 振幅振幅 A 振动物体离开平衡位置的最大距离 它等于振振动物体离开平衡位置的最大距离 它等于振 动位移的最大值 动位移的最大值 反映了振动强弱和振动能量大小反映了振动强弱和振动能量大小 频率频率 f 单位时间内振动物体完成全振动的次数单位时间内振动物体完成全振动的次数 00 2coscos ftAtAx 0 0 2 cos x it ixt v x yAt v yAeAe 波动方程 复习 简谐振动与简谐波复习 简谐振动与简谐波 晶体中原子的平衡位置虽有周期性 但原子数目很大 晶体中原子的平衡位置虽有周期性 但原子数目很大 原子间存在着相互作用 任一原子的位移至少与相邻原子 原子间存在着相互作用 任一原子的位移至少与相邻原子 次邻近原子的位移有关 故实际上次邻近原子的位移有关 故实际上晶格振动很复杂晶格振动很复杂 晶格具有周期性 晶格的振动具有波的形式晶格具有周期性 晶格的振动具有波的形式 格波格波 格波的研究格波的研究 先计算原子之间的相互作用力先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程 最后求解根据牛顿定律写出原子运动方程 最后求解波波方程方程 第三章第三章 晶格振动与晶体热力学性质晶格振动与晶体热力学性质 一维晶格的振动一维晶格的振动 三维晶格的振动三维晶格的振动 简正振动简正振动 声子声子 晶格振动热容理论晶格振动热容理论 第三章第三章 晶格振动与晶体热力学性质晶格振动与晶体热力学性质 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 一维晶格由质量为一维晶格由质量为m的全同原子构成的全同原子构成 a 相邻原子平衡位置的间距相邻原子平衡位置的间距 n u 序号为 序号为n的原子的原子t 时刻离开平衡位置的位移时刻离开平衡位置的位移 nn uuar 1 晶格振动时序号晶格振动时序号n和和n 1的两原子间在的两原子间在t时刻的距离时刻的距离 rU两原子间相互作用势两原子间相互作用势 勒级数 在平衡位置附近展成泰相差不大 将与平衡位置附近 rUaUrU 2 1 6 1 2 1 2 3 2 3 3 2 2 32 32 ar dr Ud ar dr Ud dr dU rf ar dr Ud ar dr Ud ar dr dU aUrU aaa aaa 相互作用力 2 1 2 3 2 32 ar dr Ud ar dr Ud dr dU rf aaa 两原子间相互作用力 个原子的互作用力 个原子与第得到第 忽略上式非线性小量令 1 2 2 nn dr Ud a 0 0 1 1 1 nn nn nn uu uu uuf 1nn uuf 向左的排斥力 向右的拉伸力 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 11 1 nuuu dt ud m uuuuuuuf n nnn n nnnnnnn 个原子受力 第 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 nn uuar 1 3 2 1 2 1 1 2 2 nnuuu dt ud mn nnn n 个原子的动力学方程 第 除了原子链两端的两个原子外 其他原子都有一个类似方程 玻恩玻恩 卡门周期边界条件卡门周期边界条件 在实际晶体外 仍有无限多个相同的晶体相在实际晶体外 仍有无限多个相同的晶体相 联结 各晶体对应原子的运动情况都一样联结 各晶体对应原子的运动情况都一样 实际的晶体为有限实际的晶体为有限 形成的链不是无穷长形成的链不是无穷长 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述 1 N个原子头尾相接形成一个环链 保持了个原子头尾相接形成一个环链 保持了 所有原子等价的特点所有原子等价的特点 2 N很大 原子运动近似为直线运动很大 原子运动近似为直线运动 3 处理问题时要考虑到环链的循环性处理问题时要考虑到环链的循环性 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 2 txi Aey 波动方程解 时刻的振动相位 的原子在序列号为 圆频率 振幅 动力学方程解 0 tnqna A Aeu tqnai n 属于倒格空间物理量 格波的波矢 个原子距离原点的距离 从坐标原点数第 比较两式 2 q nnax tnaqi n Aeu 简谐近似下 格波为简谐波简谐近似下 格波为简谐波 i qnat n i qnatiqa nn nn nuAe nuAeu e 序列号为 的原子原子位移 序列号为 的原子原子位移 2 21 nn nn l nnuu qa l nnuu qa 任意时刻原子位移有一定的周期分布 若 即原子的位移构成了波格波 一一 维维 布布 拉拉 菲菲 格格 子子 的的 振振 动动 3 2 1 2 1 1 2 2 nnuuu dt ud mn nnn n 个原子的动力学方程 第 简谐近似下 格波为简谐波简谐近似下 格波为简谐波 向右的箭头 原子沿X轴正向振动 向左的箭头 原子沿X轴负向振动 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 简谐近似下 格波为简谐波简谐近似下 格波为简谐波 格波的波形图格波的波形图 向上的箭头 原子沿X轴向右振动 向下的箭头 原子沿X轴向左振动 格波方程 tnaqi n Aeu 格波波长 q 2 格波波矢 nq 2 格波相速度 qvp 不同原子间位相差 aqnnnaqaqn 相邻原子的位相差 aqnaqaqn 1 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 格波2波矢 格波1波矢 相邻原子位相差 相邻原子的位相差 2aqaq 如果相邻两原子相差 两个原子的振动状态相同 aa q 24 22 1 1 2 1 aq aa q 2 5 5 4 22 2 2 2 2 2 aq 格波 和分析波长为 5 4 4 21 a a 晶格中具有物理意义的波长 仅在于第一布里渊区内 a q a 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 1 1 2 2 2 tqnai nnnn n Aeuuuu dt ud m 由于原子质量集中在原子实 所以对格点振动有贡献的是原子 实 两原子实之间的振动在物理上是没有意义的 即 4 5 4 的的波在物理上是不可分那么它与假如有这样的波存在 的的振动是没有物理意义 a a 的波与右行波上是不可分波方向相反 由于左行的区间内 负号表明行 波长仅存在于晶格中具有物理意义的 a q a 原子实 原子中 原子核及除价电子以外 的内层电子组成原子实 例如 钠Na的该 外电子排布为 1s22s22p63s1 其中第1 2电子层与原子核组成原子实 此原子实与 氖Ne 1s22s22p6 的结构相同 离子实 把在原子结合中起作用的价电子和内层电子分离 内层电子与原子核一起运动 构成离子实 a sin m q vv a q a q qq a 2 q qa qa sin m qacos m 2 1 2 1 2 020 2 21 2 格波传播速度 格波的波矢 所以考虑到的变化范围 变化范围 格波的频率 1 1 2 2 2 tqnai n nnn n Aeu uuu dt ud m 1cos2 2 2 qaueeuum n iqaiqa nn M 2 频率与波矢的关系 色散关系 振动频谱或振动谱 色散关系色散关系 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 0 2 2 2 x dt xd 周期性边界条件 1 2 22 iqNa i q n N ati qnat nn N e q aa uAeuAe l ql Na NN lN 为整数 为晶格的原胞数目 振动谱是分离谱振动谱是分离谱 允许的波矢的数目等于允许的波矢的数目等于N 晶格振动的波矢晶格振动的波矢q数目等于晶格的原胞数目数目等于晶格的原胞数目 格波的截止频率格波的截止频率 a q m 2 1 max 2 频率与波矢的关系 色散关系 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 iqatqnai n iqatqnai n tqnai n nnn n eAeu eAeu Aeu uuu dt ud m 1 1 1 1 2 2 2 0 11 11 相对运动相邻原子以相同振幅作 幅和相位作振动 相邻原子以相同的振 nnn nnn uuu a q uuuq 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 222 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 qaqa sin qa sin m q v qa sin m qq v qa sin m q 格波的频率 2 1 m av 2 2 11 短波极限 nnn uuua aa q 长波极限 11 2 0 nnn uuu q q 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 只考虑最近邻原子间相互作用 采用简谐近似 第2n个原子和第2n 1个原子的运动方程和位移分别为 2 2 12 2 21 2 2 2 12 2 2 2 212112222 2 12 2 1222121 2 2 2 ABBAeBm BeAABAM BeeBu AeAeu uuuu dt ud m uuuu dt ud M iqna iqna tqnai tqba n qi n tqnai ta n qi n nnnn n nnnn n 2 一维复式格子的振动一维复式格子的振动 2 1 2 2 21 21 2 21 2 2 sin 16 2 qamM MmMm mM 光学波频率 声学波频率 O O A A qamM MmMm mM qamM MmMm mM 2 1 2 2 21 21 2 21 2 2 1 2 2 21 21 2 21 2 2 sin 16 2 2 sin 16 2 2 一维复式格子的振动一维复式格子的振动 1 对于声学波 12 0 2 21 21 0 nn q iqa uu m e A B A A 2 对于光学波 0 0 21 2 21 BmAM m M A B e M A B q iqa O 或 长光学波 原胞相邻原子作相对振动 质量大的振幅A小 质量小的振幅B较大 保持整体的质心不动 即长光学波是保持原子质心不动的一种振动模式 长声学波 相邻原子的位移相同 原胞内不同原子以相同的振幅和位相作整体运动 它代表原子质心的运动 一一 维维 复复 式式 格格 子子 的的 振振 动动 w与q间存在着两种不同色散关系 对一维复式格子 可存在两种独立的格波 复式格子的振动频率在波矢空间内具有周期性及反演对称性 2 qqq a q 一维布喇非格子 波矢q增加2 a的整数倍 原子的位移和色散关系不变 限制 a q a 周期性边界玻恩 卡曼边界条件 22 N l N uu Nnn 光学波和声学波的色散关系 a Mm vqa Mm q AA 0 21 1 21 1 2 一维复式格子的振动一维复式格子的振动 格波 晶格中的原子振动是以角频率w为平面波形式在晶体中传 播 存在 这种波为格波 晶体原子集体热运动形成的波成为格波 格波可以看成由相互 独立的各种简振振动模式所构成 一维双原子的复式格子 角频率数为2N 格波数也为2N 每个原胞有2个原子 则晶体的自由度数是2N 有 1 晶格振动波矢的数目 晶体的原胞数 2 晶格振动的频率数 晶体的自由度数 结结 论论 一维晶格的振动总结一维晶格的振动总结 1 一维布拉菲格子的振动一维布拉菲格子的振动 2 一维复式格子的振动一维复式格子的振动 sin 2 sin 2 2 1 2 1 a mq vv a q a q qa m 格波传播速度 格波的波矢 格波的频率 M 2 色散关系 2 1 2 2 21 21 2 21 2 2 1 2 2 21 21 2 21 2 2 sin 16 2 2 sin 16 2 qamM MmMm mM qamM MmMm mM O A 色散关系 1 晶格振动波矢的数目 晶体的原胞数 2 晶格振动的频率数 晶体的自由度数 4 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动 振动频 率较高 它包含了晶格振动频率最高的振动模式 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移 原胞做整 体运动 振动频率较低 它包含了晶格振动频率最低的振动模式 波速 是一常数 任何晶体都存在声学支格波 但简单晶格 非复式格子 晶体 不存在光学支格波 习题1 原子质量为m 间距为a 恢复力常数为 的一维简单晶格 频率为w的格波方程为 qnatAun cos 求 1 该波的总能量 2 每个原子时间平均总能量 n nn n n uu t