35基于“三个理解”的“从问题到方程”教学设计及反思.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期 数学通报 3 5 基于 三个理解 的 从问题到方程 教学设计及反思 殷艳 江苏南京育英第二外国语学校 2 1 0 0 4 4 人民教育出版社章建跃博士在 中学数学课 改的十个论题 一文中指出 随着时代发展 改革是必须的 例如 信息化 社会 知识经济时代要求学校教育更加关注学生 健康 和谐与可持续发展 要使学生学会学习 要 强调创新精神和实践能力的培养 这就要求我们 变革教学方式 并由此带动学生学习方式的变革 在这个过程中 就需要改变我们自己的习惯做法 改变习惯是困难的 更深入 透彻地 理解数学 理 解学生 理解教学 就可以使我们找到化解困难 的康庄大道 本文以苏科版数学课标教材七年级 上 4 1 从问题到方程 第1 课时 为例阐述 基于 三个理解 的教学设计 这节章头课没有明确知识点 对学生的纸面 成绩没有多少影响 似乎可有可无 就教材的编写 而言 主体内容呈现的 天平 排球联赛得分 军军与爸爸的年龄 三个现实问题以及 练一练 中的三个小练习 貌似为 列方程 的技能演练 过 程简略 意图不明显 有着很大的挖掘与创造空间 1 高位理解数学 突显方程本质 架设从 问题 到 方程 的桥梁 理解数学 是教好数学的前提 4 1 从问 题到方程 第1 课时 是算术到方程的尝试跨越 算术是将已知数量构成算式 使其结果等于未知 数量 是逆向思维 方程是让已知数和未知数享有 同等地位参与运算 也就是把未知量用字母来表 示 且和已知量放在平等的位置上 设法找出等量 关系 列出方程 求出未知量 是顺向思维 由此看 出 方法的不同实际是思维方式发生了根本的改 变 如何架设好从 问题 到 方程 的桥梁 关键 是寻求数量之间的相等关系 代数是研究数量关系的 数量之间的关系包 括相等关系与不等关系 现实中除了方程还有不 等式等其它的有效数学模型 从这个高度来看这 节内容 可以大大开拓学生的思维与眼界 2 充分理解学生 解决为什么学 学什么 怎 样学 在一次评优赛课活动中 有位老师是这样教 学这节课的 先创设一个平衡的天平情境 让学生 描述天平平衡时数量之间的相等关系 得到方程 然后通过方程描述篮球联赛的两个不同问题情 境 归纳出用方程刻画实际问题的一般步骤 接 下来就是按照步骤进行列方程的练习 巩固步骤 强化技能 整堂课教师极具亲和力 所提问题起点 低 台阶小 学生情绪高昂 发言踊跃 回答正确 气氛热烈 从课堂表象来看 教学效果极佳 然而 站在学生的角度 笔者不禁要追问 学 生在小学就学过列方程解应用题 这里为什么还 要学习 算术方法就能解决的实际问题为什么还 要用方程解决 而且 学生认为用算术方法更简 单 这节课是复习 还是学到了什么新的内容 我 们一直强调教是为了不教 要让学生学会学习 怎 样学好 从问题到方程 2 1 为什么还要学习方程 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有 的经验为基础 经过小学阶段的学习 学生了解了 什么是方程 等式的基本性质 根据等式基本性质 解简单的方程 能用方程表示简单情境中的等量 关系 显然 方程的有关知识有了一定基础 但小 学阶段大部分包括较为复杂的应用题都是用算术 方法去解决的 方程的作用难以体现 列方程解 应用题 只处于一个粗浅的水平 作为章头课 教 万方数据 3 6 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期 师要让学生从整体上弄清知识的来龙去脉 感悟 到中 小学数学学习的一般关系 在小学初步认识 的基础上 进一步系统 深入地研究相关内容 小 学见到的是 树木 中学将要看到一片 森林 而 且将要到森林深处去探险 七上的学生仍以算术 思维为主 怎样让他们认识到进一步学习方程的 必要性 比较算术方法与方程方法的异同 感悟 方程方法的优越性是突破口 让学生感受到知识 产生的必要性与合理性 既符合知识的形成特点 也遵循学生学习数学的心理规律 产生学习的 心向 2 2 本节课学习什么 小学学习的利用方程解简单的应用题 主要 在具体问题中找相等关系 根据相等关系列出方 程 停留在皮亚杰认知发展的 具体运演阶段 在 这个基础上 根据学生认知发展的阶段特征 抽象 概括出 从问题到方程的一般步骤 是这节课学习 的主要内容 2 3怎样学好方程模型 在学生认识到用方程解应用题的优越性之 后 提出 怎样学好方程 是很自然的事情 在以 往的教学过程中 相当数量学生在第三学段还一 直喜欢用算术方法解应用题 其中一个重要原因 是 在算术思维向代数思维过渡过程中 他们遇到 的大多数应用题 用算术方法更拿手 如此一来 方程方法演练与强化的机会比较少 代数思维发 展慢 甚至影响智力的发育 这时 有必要跟学生 指明要有意克服算术的思维定势 尽量尝试用方 程去解应用题 对方法的运用实行自我监控 3 深刻理解教学 承上启下 统领全章 准确定位 方程思想是重要的数学思想 方程思想的首 要方面是 能根据具体问题中的数量关系 列出 方程 体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型 只有通过丰富的现实情境 经历数学建 模的过程 才能体会方程是现实世界的数学模型 发展应用意识和实践能力 从问题到方程 是从 算术到代数的一次重要过渡与转折 起着承上启 下的衔接作用 更为本章对 一元一次方程的概念 和解法 的探讨提供了建立与运用方程这种数学 模型的大背景 这种大背景统领全章 有助于促进 学生对所学知识的理解与掌握 提高认识能力 形 成良好的数学素养 综上 基于 三个理解 本节课主要任务是做 好两个过渡 一个是从 小学 到 中学 的过渡 另 一个是从 问题 到 方程 的过渡 突出 到 的建 模过程 至于列方程解应用题中的其他问题 譬 如 设未知数可以问接设 也可以直接设 应用题 中往往有两个相等关系 一个用来设未知数表示 数量 另一个用来列方程 不必急于在这节课 学习 也难以在这节课弄清楚 这些问题可在本章 的后面内容的学习过程中有序呈现 4 教学设计 4 1 创设情境 1 现有五枚硬币 一架天平和一盒标准砝码 内有1 0 克 5 0 克 2 0 0 克砝码各1 个 2 0 克 1 0 0 克砝码各2 个 你如何称出这五枚硬币的质量 经历砝码过轻过重导致实物天平倾斜的尝 试后 找到天平平衡点 2 如果缺少一个1 0 克的砝码 你有什么办 法使天平平衡 3 你能描述天平平衡时所表示的数量之间的 相等关系吗 方程与平衡的天平有什么共同点 方程 表示数量之间相等关系的 天平 引出课题 教师板书 设计意图相等关系是建立方程模型的关 键 情境 1 2 用实物天平称硬币的实践活动 有 利于消除算术等式的单方向和答案在右边的观念 例如 5 3 8 左边做运算 右边是结果 在尝 试过程中天平出现左右倾斜的背景下 充分感知 等式的左右等价性 促进形成方程的结构概念 问 题情境 3 从实际中平衡的天平过渡到数学方程 首先 学生会用不同的方法描述天平平衡时所表 示的数量之间的相等关系 比如 文字描述 左 边五枚硬币的质量加上2 0 克砝码的质量等于右 边5 0 克砝码的质量 再者 方程描述 设一枚 硬币的质量为z 克 则5 z 2 0 一5 0 教师引导学 生 哪种描述方式更简明 显然是方程 水到渠成 地引出 方程是表示数量之间相等关系的天平 进而引出课题 同时 初步感受数学符号语言的魅 力 增强符号意识 4 2 探索活动 1 小学你对方程有了哪些认识 为什么还 要学习方程 设计意图初步了解为什么还要学习方程 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第l o 期数学通报 3 7 消除学生心理上的疑问 做好中小学内容的衔接 2 问题1 某篮球队参加篮球联赛 得分规 则 胜一场得2 分 负一场得1 分 若该队负了2 场 共得2 0 分 请问该队胜 了多少场 若该队赛了1 2 场 共得2 0 分 请问该队 胜了多少场 若得分规则改为 胜一场得2 分 平一场得 1 分 负一场得0 分 该队赛了1 4 场 负了5 场 共得1 3 分 问这个队胜了几场 设计意图第 问 难度逐步升级 学 生在充分思考后可能用算术方法解决问题 也可 能用方程解决 让学生感受两种方法的思维方式 与特点 体悟解决越复杂的问题 方程的方法越优 越 启发学生比较算术方法和方程方法的本质区 别 课件呈现 进一步认识学习方程的必要性 3 问题2 用方程描述下列问题中数量之间 的相等关系 学生今年1 3 岁 老师今年3 9 岁 请问几年后 老师的年龄是学生年龄的2 倍 分析 相等关系 如果设z 年以后老师的年龄是学生年龄的 2 倍 那么z 年以后学生的年龄是岁 z 年以后老师的年龄是岁 根据相等关系得到方程 4 学什么 如何从问题到方程 给充足 学生思考 归纳交流的时间 师生共同概括出从问 题到方程的一般步骤 指明找相等关系是其中的 关键 审 审题 设 设未知数 找 列 找相等关系 根据相等关系列 方程 设计意图 问题2 通过填空的形式 为学生 搭设脚手架 经历 从问题到方程 的过程 为后面 归纳 概括一般步骤做好铺垫 这个教学环节是本 课的主要内容 注重探索 研究 寻求已知与未知 之间的联系 建立数量之间的相等关系 把日常语 言抽象成数学语言 数量关系式 进而转换成符 号语言 方程式 5 是否所有的实际问题都能用方程描述 怎样的实际问题可以用方程描述 设计意图第一个问题提出来 学生回答是 有困难的 只是为了激发学生的好奇心 在学生略 有所思之后 教师在讲台上平衡的天平一边加放 一个砝码 天平即刻倾斜 在此启发之下 学生认 识到方程刻画的是含有相等关系的现实模型 消 除方程是刻画现实世界唯一数学模型的片面认 识 为后面不等式等数学模型作铺垫 同时 具有 了更高的观点 6 既然方程比算术方法优越 那么 怎样学 好利用方程解应用题 设计意图让学生会学习不是一句空话 而 是渗透在数学学习的过程中 在课堂教学的具体 环节中去落实 接下来 带领学生尝试用方程解应 用题 4 3 例 习题教学 1 例题 用方程描述下面问题中数量之间的 相等关系 把5 0 风大米分装在3 个同样大小的袋子里 装 满后还剩余5 k 问每个袋子可装大米多少千克 解 设每个袋子可装大米z 千克 则 3 z 5 5 0 2 你能依据方程3 z 5 5 0 编写一道与上 面不同的应用题吗 设计意图概括总结出 从问题到方程 的一 般步骤之后 进行范式教学 一方面演练巩固方法 步骤 另一方面示范解题格式 接下来 让学生根 据例题中列出的方程 3 z 5 5 0 编写不同的应 用题 拓展学生思维 认识到 同一方程可以表示 不同的实际背景 此环节可让学生深刻感悟到方 程的模型作用 4 4 课堂小结 略 5教学反思 5 1 充分挖掘数学内容的育人价值 为学生谋取 长期利益 史宁中教授谈到2 0 1 1 版新修订的课程标准 时指出 真正理解数学教育价值是什么 这是根本 性问题 本文前面提到的那位教师的设计 成功 地让学生获得了知识与技能 但离整体实现数学 课程目标 知识技能 数学思考 问题解决 情感态 度 还有一定的距离 数学课程目标的整体实现 是通过教学过程展开的 数学教学是数学活动的 下转第4 1 页 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 0 期 数学通报 4 1 形的面积S 挖 随着雄的增大而增大 由几何直观可以猜想 引理 周长给定的正 z 挖 3 咒 N 边形 当 n 趋向无穷大时它趋向于圆 证明如图1 1 在正以边形A A A A 中 记其中心为O 作0 H j A A 于H 在正孢边 形A A A A 的边上任取点P 显然O H o P 0 A 因为筹一s 陬 s 詈 所以 旦恐器一占罂c s 詈 1 又因为呱O P O A l 所以 器 舞 1 所以 旦巴署 生巴器 1 即1 旦罂署 1 所以 旦罂筹 1 这说明当竹趋向无穷大时 周长给定的正咒 边形A A A A 边上任意一点到其中心O 的 距离都趋于相等 即当咒趋向无穷大时 周长给定 的正咒边形趋向于圆 由上可知 周长给定的正行边形的面积小于 同周长的圆的面积 综上所述 周长为z 的靠边形的面积 周长为Z 的正行边形的面积 周长为Z 的正咒 1 边形的面积 周长为Z 的圆的面积 文献 4 第3 0 页证明了 在周长一定的所有 封闭平面曲线中 圆的面积最大 至此 我们彻底得到等周定理 在周长一定的平面靠边形中 以正咒边形面 积最大 在周长一定的平面闭曲线中 以圆的面积 最大 该定理的一个等价表述为 在面积相等的平面 边形中 以正n 边形的 周长最小 在面积相等的平面闭曲线中 以圆的周长最小 难怪普罗克娄斯 P r o c l o s 说 圆是第一个 最简单最完美的图形 5 特级教师李彭龄老师为本文的撰写提供了宝 贵的意见 在此致以深切的谢意 参考文献 1 项武义 基础分析学之一 单元微积分 M 北京 人民教 育出版社 2 0 0 4 9 2 美 R 柯朗 H 罗宾 什么是数学 M 上海 复旦大学出版 社 2 0 0 5 1 0 3 王芝平 回归课本 让课本习题焕发薪的活力 J 中国考试 2 0 0 7 1 1 4 蔡宗熹 等周问题 M 北京 人民教育出版社 1 9 6 4 9 5 美 G 波利亚 数学与似真推理 M 福州 福建人民出版 社 1 9 8 5 1 0 上接第3