对数学理解的再认识.pdf

第 11 卷第3 期数 学 教 育 学 报Vol 11 No 3 2002 年 8月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONAug 2002 收稿日期2002 05 31 基金项目广西十五规划教育科学重点课题中学生数学学习心理的实证研究桂教办 200112 作者简介黄燕玲1966女广西武宣人广西河池师范高等专科学校数学系讲师南京师范大学访问学者从事数学教学论研究 输入操作短时记忆 长时记忆 编 码 整 合 对数学理解的再认识 黄燕玲 1 喻 平 2 1广西河池师范高等专科学校 数学系广西 宜州 5463002南京师范大学 数学与计算机科学学院江苏 南京 210097 摘要现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类根据数学知识的特征我们将数学知识分为结果性知 识和过程性知识 2 类其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识因而数学理解就应指对陈述性知识程序性知识 和过程性知识的理解图式的获得产生式系统的建构关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解程序性知识理解 过程性知识理解的本质 关键词数学理解陈述性知识程序性知识过程性知识 中图分类号G421 文献标识码A 文章编号1004 9894200203 0040 04 数学理解已成为当今数学教育研究的一个 热点 1 4 纵观这些研究可以发现有一个明显的 缺陷即缺乏对数学过程性知识理解的探究本 文旨在对这一问题作初步探索 1 数学理解的研究概述 1 1 两种学习理论对理解的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联 结认为学习过程是一种试误过程在不断的尝 试与错误中逐渐形成联结在行为主义看来刺 激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变 得越来越强反之变得越弱因而行为主义 学习观强调技能训练实现技能由自觉地执行 向自动地执行的转化于是个体对知识的 理解就是记忆概念规则和方法并能迅速提取 并用于解决问题显然行为主义将知识理解定 位在知识记忆的层面上而不对机械性记忆 和在理解基础上的记忆加以区别事实上 行为主义只关注人的外部行为不研究人的内部 思维过程因而不可能对知识的理解作深入 探讨 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以 信息的传输编码为基础根据已有信息建构内 部的心理表征 并进而获得心理 意义的过程 Mayer 给出了学习者的 理解过程模式 5 如图 1 所示 在这一模式中个体的理解分为 3 个阶段 第一阶段各种信息经过注意的过滤部分信 息经过感觉登记进入短时记忆第二阶段是编码 阶段进入短时记忆的信息没有得到复述和加工 的部分很快消退得到及时复述和进一步加工的 信息进入长时记忆第三阶段是表征的重新建构 和整合阶段当信息进入长时记忆后一方面 使已有图式的一些节点和相应的区域被激活从 而使已经得到编码的信息获得了心理意义另一 方面新信息的纳入又使已有的图式发生相应的 变化形成新的知识网络和认知结构 由于认知心理学是从人的内部心理去探索人 类的学习规律从而对知识理解的解释就更加深 刻和合理 1 2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面 1数学理解的界定Hiebert 和 Carpenter 1 认为一个数学的概念或方法或事实被理解了 如果它成为个人内部网络的一个部分李士锜 3 认为学习一个数学概念原理法则如果在 心理上能组织起适当的有效的认知结构并使之 成为个人内部的知识网络的一部分那么才说明 是理解了显然对数学理解的界定源于认知心 理学对理解的界定都是以信息的内部表征 作为解释的基础 2数学理解水平的划分Pirie 和 Kieren 3 将 图 1 理解过程的一般模式 万方数据 第 3 期黄燕玲等对数学理解的再认识41 数学理解分为 8 个水平即初步了解产生表象 形成表象关注性质形式化观察评述组织 结构和发现创造这 8 种水平的关系可以用 8 个嵌套的圆来表示每一种水平用一个圆表示 并依水平的增高所表示的圆的半径依次增大前 一个圆包含在后一个圆中逐步拓广这一组圆 描述了理解水平之间的相互关系同时表明理解 是一个动态的组织的过程Skemp 2 则认为理解 分为 2 种模式即工具性理解和关系性理解所 谓工具性理解指语义性或程序性理解即符号 A 代表什么事物或规则 R 怎么操作关系性理解 则需对符号的意义获得符号指代物意义的途径 规则的逻辑依据等有深刻认识显然Skemp 关 于理解的 2 种模式实质是指理解的 2 个不同层面 只有从工具性理解达到关系性理解个体才能把 握数学对象的本质 3理解的功能CarpenterResnick 1 等人的 研究表明数学理解有助于发明创造其基本论 点是丰富的内部知识网络容易激活引导和检 验这是创造与发明的基础而完善的图式建构 依赖于理解Baddeley 1 等研究认为理解能促进 记忆DavisMeknigth 1 等人对理解和迁移的关 系作了较深入的研究指出理解会直接影响迁 移此外Doyle 1 等人通过研究认为理解会影 响学生对数学的信念 2 对数学理解的再认识 从上述研究概况可以看出对数学理解的本 质认识可概括为1对数学概念规则或方法 的理解指个体建立了关于这些观念的内部网 络2数学理解的水平具有层次性个体的差 异往往表现为理解水平的差异3数学理解是 一个动态过程是认知结构的建构和知识意义的 建构过程 但是综观这些研究可以发现对数学理解 的探讨多是定位在数学基本知识和基本方法的解 释方面而不涉及对知识产生过程的理解即使 认为理解是一个动态过程也只是指通过个体内 部的认知过程去达到对结果性知识的理解因 而对数学过程本质的认识就会出现偏差下面 从知识的现代分类出发对数学理解的本质进行 探讨 2 1 数学知识的分类 对一般知识而言现代认知心理学对其作了 广义的分类将知识分为 2 类一类是关于事实 性知识的陈述性知识另一类指关于进行某项操 作活动的程序性知识其中程序性知识又分为 2 个亚类一类是通过练习其运用能达到相对自 动化程度的程序性知识智慧技能另一类是受 意识控制而难以达到自动化程度的策略性知识认 知策略显然这种对知识的分类主要是针对结 果性知识而言的虽然在策略性知识中含有 过程性知识的因素但策略性知识更多的成分 是表明结果性知识的获取和应用的策略 我国于 2001 年颁布了全日制义务教育数学 课程标准实验稿明确提出了义务教育阶段 数学课程的总目标将其分为知识与技能数学 思考解决问题情感与态度等 4 个子类在每 一类中都渗透过程性目标的思想用经历 体验探索 3 个动词刻画数学活动水平 6 经历 指在特定的数学活动中获得一些初步的经验体 验指参与特定的数学活动在具体情境中初步 认识对象的特征并获得一些经验探索指主动 参与特定的数学活动通过观察实验推理等 活动发现对象的某些特征或与其它对象的区别和 联系标准虽没有明确提出过程性知识 但过程性目标实质蕴涵了过程性知识的内核 我们认为数学知识应分为结果性知识和过 程性知识 2 类结果性知识包括陈述性知识智 慧技能认知策略 7 对过程性知识作如下界定 过程性知识是伴随数学活动过程的体验性知识体 验分为 4 个阶段1对知识产生的体验体会 知识产生的缘由明晰新旧知识之间的关联和因 果关系2对知识发展的体验体悟知识发展 的动因包括数学学科的内部因素和促进知识发 展的外部因素习得探究数学问题的方法逻辑 的和非逻辑的 和策略3 对知识结果的体验 领 会蕴涵在知识中的数学思想方法感受数学结构 的美4对知识应用的体验体会数学应用的 广泛性积累解决问题的认知策略和元认知知识 形成自我监控的意识和习惯 由此可见过程性知识是一种内隐的动态 的知识首先过程性知识没有明确地呈现在教 学材料中而是隐性地依附于学习材料在学习 的过程中潜性地融会贯通因而表现为内隐性其 次过程性知识始终伴随知识的发生和发展过程 万方数据 42数 学 教 育 学 报第 11 卷 学习者只能在学习的过程中去体悟和习得体现 出过程性知识的动态性 将数学知识分为结果性知识和过程性知识符 合数学学科的特性众所周知数学对象具有高 度的抽象性这种抽象性是思维的产物从纵向 看随着抽象程度的不断深入在一个数学对象 的基础上能抽象多个相互关联的新的数学对象 形成多次抽象链从横向看不同数学结构中的 对象又可能形成同构或同态关系从而组合一个 由映射联结的网络结构显然抽象的结果源于 抽象的过程这种过程体现了数学的精骨作为 数学学习不能只掌握抽象的结果还要能体悟 抽象的过程 2 2 数学理解的本质 认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现 和表达方式称为知识的表征对知识的理解与知 识的表征密切相关事实上对一个事物本质的 理解就是指该事物的性质以一定的方式在学习 者头脑中呈现并能迅速提取基于此我们将理 解解释为对知识的正确完整合理的表征 根据对数学知识的分类数学理解应涵盖对 陈述性知识程序性知识及过程性知识的理解等 3 个方面 1对陈述性知识的理解 陈述性知识以命题表象线性排序等 3 种 形式作为基本表征单位 8 命题相当于头脑中的一 个观念一个命题被看作是陈述性知识的最小单 元一个命题不是孤立的它与其它命题相互联 系组成命题网络表象表征是对事物的知觉特征 的保留是一种连续的模拟的表征线性排序 是对一系列元素所作的线性次序的编码在人的 知识表征中往往组合了命题表象及线性排序 从而形成对知识的综合表征图式Anderson 8 认为图式是对范畴的规律性做出编码的一种形 式这些规律性既可以是知觉性的也可以是命 题性的显然图式包容了命题网络因为命题 网络并不对可以知觉的规律性做出编码Gagne 8 对图式的特征作了更细致的刻画图式含有变 量图式可按层级组织起来也可以嵌入另一 图式之中图式能促进推论 对数学陈述性知识的理解是从知识的基本单 元表征 到形成命题网络 再到获得图式的过程 现 以函数概念为例作分析函数 y f x 由自 变量因变量及对应关系 3 个部分构成学习者 首先需在对这 3 个命题表征的基础上形成构成一 个概念自身的命题网络其次学习者需要明晰 函数概念与其它概念的关系譬如从纵向看 函数的上位概念是映射下位概念是各种特殊函 数从横向看还需明辨函数与方程函数与不 等式等概念之间的关系从而形成函数概念与其 它概念相互联系的命题网络再次学习者还要 理解函数与图像的关系对一些特殊函数的图像 头脑中应有清晰的印象即对函数概念进行表象 表征经历了上述 3 个步骤学习者就会获得函 数概念的图式这个图式含有变量如包含许多 形式不同的函数表达方式解析式图像表格 等同时这个图式按层级组织而且能促进推 论如函数的单调性奇偶性周期性等性质 许多学者认为所谓对一个陈述性数学知识 的理解就是在个体头脑中建立了该对象的一个命 题网络这种界定将知觉表征排除在外有偏颇 的一面笔者认为对一个陈述性数学知识的理 解是指学习者获得了该对象的图式 2对程序性知识的理解 程序性知识是由陈述性知识转化而来的是 陈述性知识的动态成分与静态的陈述性知识不 同程序性知识以产生式这种动态形式来表 征所谓产生式指一条条件行动规则 即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足 时才发生的某种行为的一种程序当一个产生式 的行动成为另一个产生式的条件时这 2 个产生 式便建立了相互的联系若一组产生式有这种相 互联系便形成一个产生式系统产生式系统代 表了人从事某一复杂行为的程序性知识 对数学知识而言其二重性表现得尤为突出 这种二重性或称为概念性知识和方法性知识 Hiebert 2 Mathematics and Computer Science Institute of Nanjing Normal University Jiangsu Nanjing 210097 China Abstract The knowledge was divided into the declarative knowledge and the procedural knowledge in psychology In this paper the mathematical knowledge was divided into two kinds the resultant knowledge and the processions knowledge The resultant knowledge included the declarative knowledge and the procedural knowledge Thus understanding in mathematics ought to include understanding to three kinds of knowledge The essence of understand in the declarative knowledge was that learner could obtain a schema the essence of understand in the procedural knowledge was that learner could set up production system and the essence of understand in the processions knowledge was that learner could gain the representation of relation and the representation of idea Key words understanding in mathematics declarative knowledge procedural knowledge processions knowledge 责任编校周学智 万方数据 对数学理解的再认识对数学理解的再认识 作者 黄燕玲 喻平 作者单位 黄燕玲 广西河池师范高等专科学校 数学系 广西 宜州 546300 喻平 南京师范大学 数学与计算机科学学 院 江苏 南京 210097 刊名 数学教育学报 英文刊名 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION 年 卷 期 2002 11 3 被引用次数 32次 参考文献 8条 参考文献 8条 1 格劳斯 陈昌平 数学教与学研究手册 1999 2 马复 试论数学理解的两种类型 从R 斯根普的工作谈起 期刊论文 数学教育学报 2001 03 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