高等数学 基础班(第09-10课).pdf

第三章第三章第三章第三章 微分中值定理与微分中值定理与微分中值定理与微分中值定理与 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用 第三章 微分中值定理与导数的应用 罗尔定理罗尔定理罗尔定理罗尔定理 x x x xf f f f b b b ba a a a b b b ba a a a b b b bf f f fa a a af f f f b b b ba a a a 0 0 0 0 f f f f 设设设设在在在在 上连续上连续上连续上连续 在在在在内可导内可导内可导内可导 且且且且 那么至少那么至少那么至少那么至少 使使使使 拉格朗日定理拉格朗日定理拉格朗日定理拉格朗日定理 x x x xf f f f b b b ba a a a b b b ba a a a设设设设在在在在连续连续连续连续 可导可导可导可导 那么至少存那么至少存那么至少存那么至少存 b b b ba a a a f f f f a a a ab b b b a a a af f f fb b b bf f f f 在一个在一个在一个在一个 使使使使 1 1 1 1 微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理 柯西定理柯西定理柯西定理柯西定理 x x x xF F F Fx x x xf f f f b b b ba a a a b b b ba a a a 设设设设在在在在 连续连续连续连续 在在在在 内可导 内可导 内可导 内可导 0 0 0 0 x x x xF F F F b b b ba a a a F F F F f f f f a a a aF F F Fb b b bF F F F a a a af f f fb b b bf f f f 且且且且 那么至少存在一个那么至少存在一个那么至少存在一个那么至少存在一个 使 使 使 使 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的微分中值定理的概念及公式概念及公式 4 4 4 4 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 定理定理定理定理1 1 1 1 拉格朗日型余项 拉格朗日型余项 拉格朗日型余项 拉格朗日型余项 x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x1 1 1 1 n n n n b b b ba a a ax x x x 设设设设在含在含在含在含的区间的区间的区间的区间阶可导阶可导阶可导阶可导 那么对那么对那么对那么对 至少存在一个至少存在一个至少存在一个至少存在一个使使使使 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 x x x xR R R Rx x x xx x x x n n n n x x x xf f f f x x x xx x x xx x x xf f f fx x x xf f f fx x x xf f f f n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n x x x xx x x x n n n n f f f f x x x xR R R R 0 0 0 0 x x x xx x x x其中其中其中其中 在在在在与与与与之间之间之间之间 内内内内 b b b ba a a a 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 定理定理定理定理2 2 2 2 皮亚诺型余项 皮亚诺型余项 皮亚诺型余项 皮亚诺型余项 x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x n n n n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 x x x xR R R Rx x x xx x x x n n n n x x x xf f f f x x x xx x x xx x x xf f f fx x x xf f f fx x x xf f f f n n n n n n n n n n n n 0 0 0 0 n n n n n n n n x x x xx x x xx x x xR R R R 0 0 0 0 x x x xx x x x 设设设设在在在在点点点点阶可导阶可导阶可导阶可导 那么那么那么那么 其中其中其中其中 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 二 导数应用二 导数应用二 导数应用二 导数应用 1 1 1 1 洛必达法则 洛必达法则 洛必达法则 洛必达法则 0 0 0 0 limlimlimlim limlimlimlim 0 0 0 00 0 0 0 x x x xF F F Fx x x xf f f f x x x xx x x xx x x xx x x x x x x xf f f f x x x xF F F F 0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 x x x xF F F F 若 若 若 若 1 1 1 1 2 2 2 2 在在在在点的某去心邻域内可导 且点的某去心邻域内可导 且点的某去心邻域内可导 且点的某去心邻域内可导 且 limlimlimlim 0 0 0 0 A A A A x x x xF F F F x x x xf f f f x x x xx x x x limlimlimlim limlimlimlim 0 0 0 00 0 0 0 x x x xF F F F x x x xf f f f x x x xF F F F x x x xf f f f x x x xx x x xx x x xx x x x 3 3 3 3 则则则则 2 2 2 2 单调性单调性单调性单调性 b b b ba a a a 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x xf f f f b b b ba a a a 1 1 1 1 若在 若在 若在 若在内内内内则则则则在在在在上单调增 上单调增 上单调增 上单调增 b b b ba a a a 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x xf f f f b b b ba a a a 2 2 2 2 若在 若在 若在 若在内内内内则则则则在在在在上单调减 上单调减 上单调减 上单调减 x x x xf f f f b b b ba a a a b b b ba a a a 设设设设在在在在 上连续上连续上连续上连续 在在在在内可导 内可导 内可导 内可导 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 3 3 3 3 函数的极值与最值函数的极值与最值函数的极值与最值函数的极值与最值 1 1 1 1 极值 极值 极值 极值 极值的必要条件 极值的必要条件 极值的必要条件 极值的必要条件 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f f 极值的充分条件 极值的充分条件 极值的充分条件 极值的充分条件 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f f 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x b b b b 若若若若 则则则则在在在在处取得极值 处取得极值 处取得极值 处取得极值 x x x xf f f f b b b ba a a a 2 2 2 2 最值 最值 最值 最值 求连续函数求连续函数求连续函数求连续函数在在在在上的最值 上的最值 上的最值 上的最值 应用题 应用题 应用题 应用题 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x a a a a 若若若若 在在在在两侧变号 则两侧变号 则两侧变号 则两侧变号 则在在在在 处取得极值 处取得极值 处取得极值 处取得极值 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x x x x xf f f f 0 0 0 0 x x x x 若若若若 在在在在两侧不变号 则两侧不变号 则两侧不变号 则两侧不变号 则在在在在处无极值 处无极值 处无极值 处无极值 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 4 4 4 4 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点 1 1 1 1 凹向 凹向 凹向 凹向 定义 定义 定义 定义 I I I I 0 0 0 0 x x x xf f f fy y y y I I I I 判定 若在区间判定 若在区间判定 若在区间判定 若在区间上上上上 则曲线 则曲线 则曲线 则曲线 在在在在上是凹 凸 的 上是凹 凸 的 上是凹 凸 的 上是凹 凸 的 2 2 2 2 拐点 拐点 拐点 拐点 定义 定义 定义 定义 判定 判定 判定 判定 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 21 1 1 1 x x x xf f f fx x x xf f f fx x x xx x x x f f f f 凹凹凹凹 凸凸凸凸 第三章 微分中值定理与导数的应用 0 0 0 0f xf xf xf x 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 5 5 5 5 渐近线渐近线渐近线渐近线 水平水平水平水平 垂直垂直垂直垂直 斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线 A A A Ax x x xf f f f x x x x limlimlimlim A A A Ax x x xf f f f x x x x limlimlimlimA A A Ax x x xf f f f x x x x limlimlimlim A A A Ay y y y 1 1 1 1 若若若若 或或或或 那么 那么 那么 那么 是曲线是曲线是曲线是曲线的水平渐近线的水平渐近线的水平渐近线的水平渐近线 x x x xf f f fy y y y limlimlimlim limlimlimlimaxaxaxaxx x x xf f f fb b b ba a a a x x x x x x x xf f f f x x x xx x x x b b b baxaxaxaxy y y y x x x xf f f fy y y y 3 3 3 3 若若若若那么那么那么那么是是是是 的斜渐近线的斜渐近线的斜渐近线的斜渐近线 limlimlimlim 0 0 0 0 x x x xf f f f x x x xx x x x 0 0 0 0 x x x xx x x x x x x xf f f fy y y y 2 2 2 2 若若若若 那么那么那么那么是是是是的垂直渐近线的垂直渐近线的垂直渐近线的垂直渐近线 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 6 6 6 6 曲率与曲率半径曲率与曲率半径曲率与曲率半径曲率与曲率半径 数三不要求 数三不要求 数三不要求 数三不要求 曲率曲率曲率曲率 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y y y y y K K K K 直角 直角 直角 直角 2 2 2 2 3 3 3 32 2 2 22 2 2 2 y y y yx x x x x x x xy y y yx x x xy y y y K K K K 参数 参数 参数 参数 曲率半径曲率半径曲率半径曲率半径 K K K K R R R R 1 1 1 1 第三章 微分中值定理与导数的应用 微分中值定理的概念及公式微分中值定理的概念及公式 常考题型常考题型常考题型常考题型 1 1 1 1 洛比达法则求极限 洛比达法则求极限 洛比达法则求极限 洛比达法则求极限 2 2 2 2 求函数的极值和最值 确定曲线的凹向和拐点 求函数的极值和最值 确定曲线的凹向和拐点 求函数的极值和最值 确定曲线的凹向和拐点 求函数的极值和最值 确定曲线的凹向和拐点 3 3 3 3 求渐近线 求渐近线 求渐近线 求渐近线 4 4 4 4 方程的根 方程的根 方程的根 方程的根 5 5 5 5 不等式的证明 不等式的证明 不等式的证明 不等式的证明 6 6 6 6 中值定理证明题中值定理证明题中值定理证明题中值定理证明题 第三章 微分中值定理与导数的应用 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 2 2 2 2 tantantantan 1 1 1 1 limlimlimlim 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x xx x x x x x x x 例例例例1 1 1 1 第三章 微分中值定理与导数的应用 解解解解 1 1 1 1 sinsinsinsin 2 2 2 2 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 coscoscoscos 2 2 2 2 x x x x x x x x xxxxxxxx x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2lim2lim2lim2lim coscoscoscos 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 tanlim 1 tanlim 1 tanlim 1 tan 2 2 2 2 x x x x xxxxxxxx 1 1 1 1 1 1 1 1 2lim2lim2lim2lim sinsinsinsin 22222222 x x x x x x x x 4 4 4 4 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 sinsinsinsin limlimlimlim coscoscoscos1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x 例例例例2 2 2 2 第三章 微分中值定理与导数的应用 解解解解 解法解法解法解法1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos1 cos1 cos1 cos 0 0 0 0 sin sin sin sin limlimlimlim x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 0 0 0 0 cos1cos1cos1cos1 2lim2lim2lim2lim 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 cos1 cos1 cos1 cos 0 0 0 0 sinsinsinsin lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x 则则则则 0 0 0 0 sinsinsinsin lnlnlnln limlimlimlim 1cos1cos1cos1cos x x x x x x x x x x x x x x x x 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 第三章 微分中值定理与导数的应用 解法解法解法解法2 2 2 2 1 1 1 1 1 cos1 cos1 cos1 cos sinsinsinsin x x x x x x x x x x x x 0 0 0 0 sinsinsinsin limlimlimlim 1cos 1cos 1cos 1cos x x x x xxxxxxxx xxxxxxxx 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 limlimlimlim 3 3 3 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x 则则则则 1 1 1 1 1 cos1 cos1 cos1 cos 0 0 0 0 sinsinsinsin lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 x x x xf f f f 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f f f ff f f ff f f f limlimlimlim 2 2 2 2 0 0 0 0 x x x x x x x xx x x xf f f f x x x x 例例例例3 3 3 3 二阶可导 二阶可导二阶可导二阶可导 求求求求 第三章 微分中值定理与导数的应用 2 2 2 2 0 0 0 0 limlimlimlim x x x x f xxf xxf xxf xx x x x x 2 2 2 2 0 0 0 0 limlimlimlim x x x x f xxf xxf xxf xx x x x x 解解解解 错 错 错 错 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 证 证 证 证 1 1 1 1 当时 0 0 0 0 x x x x 11111111 2 sincos 2 sincos 2 sincos 2 sincosfxxfxxfxxfxx xxxxxxxx 0 0 0 0 x x x x 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 sinsinsinsin 0 lim0 0 lim0 0 lim0 0 lim0 x x x x x x x x x x x x f f f f x x x x 00000000 11111111 lim lim 2 sincos lim lim 2 sincos lim lim 2 sincos lim lim 2 sincos xxxxxxxx fxxfxxfxxfxx xxxxxxxx 不存在 当 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin 0sin 0sin 0sin 0 0 00 00 00 0 xxxxxxxx f xf xf xf xx x x x x x x x 设设设设 证明证明证明证明 1 1 1 1 在在在在 上可导上可导上可导上可导 f xf xf xf x 注注注注 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x fxfxfxfx 2 2 2 2 不存在不存在不存在不存在 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 x x x xf f f f0 0 0 0 x x x x 2 2 2 2 coscoscoscos1 1 1 1 limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x xf f f f f f f f x x x x 例例例例4 4 4 4 已知已知已知已知在在在在的某个邻域内连续 且的某个邻域内连续 且的某个邻域内连续 且的某个邻域内连续 且 0 0 0 0 x x x x x x x xf f f f 则在点则在点则在点则在点 处处处处 A A A A 不可导 不可导 不可导 不可导 B B B B 可导 可导 可导 可导 且且且且 0 0 0 0 0 0 0 0 f f f f C C C C 取得极大值 取得极大值 取得极大值 取得极大值 D D D D 取得极小值 取得极小值 取得极小值 取得极小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 解解解解 解法解法解法解法1 1 1 1 由于由于由于由于 0 0 0 0 lim20lim20lim20lim20 1cos1cos1cos1cos x x x x f xf xf xf x x x x x 0 0 0 0 x x x x 则在 某去心邻域内某去心邻域内某去心邻域内某去心邻域内 0 0 0 0 1cos1cos1cos1cos f xf xf xf x x x x x 即 0 0 0 0f xf xf xf x 又 0 0 0 0 0 0 0 0f f f f f xf xf xf x0 0 0 0 x x x x 处取极小值处取极小值处取极小值处取极小值 则则则则在在在在 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 解法解法解法解法2 2 2 2 取取取取 排除 排除 排除 排除 A A A A B B B B C C C C 故应选 故应选 故应选 故应选 D D D D 第三章 微分中值定理与导数的应用 2 2 2 2 f xxf xxf xxf xx 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 例例例例5 5 5 5 曲线曲线曲线曲线 1 1 1 1ln ln ln ln 1 1 1 1 x x x x e e e e x x x x y y y y 渐近线的条数为 渐近线的条数为 渐近线的条数为 渐近线的条数为 A A A A 0 0 0 0 B B B B 1 1 1 1 C C C C 2 2 2 2 D D D D 3 3 3 3 第三章 微分中值定理与导数的应用 解解解解 1 1 1 1 limlim ln 1 0limlim ln 1 0limlim ln 1 0limlim ln 1 0 x x x x xxxxxxxx yeyeyeye x x x x 0 0 0 0y y y y 则则则则为一条水平渐近线为一条水平渐近线为一条水平渐近线为一条水平渐近线 00000000 1 1 1 1 limlim ln 1 limlim ln 1 limlim ln 1 limlim ln 1 x x x x xxxxxxxx yeyeyeye x x x x 则则则则 0 0 0 0 x x x x 为一条垂直渐近线为一条垂直渐近线为一条垂直渐近线为一条垂直渐近线 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 limlimlim1limlimlim1limlimlim1limlimlim1 1 1 1 1 xxxxxxxx x x x x xxxxxxxxxxxx yeeyeeyeeyee a a a a xxexxexxexxe 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 第三章 微分中值定理与导数的应用 lim lim ln 1 lim lim ln 1 lim lim ln 1 lim lim ln 1 x x x x xxxxxxxx yaxexyaxexyaxexyaxex 1 1 1 1 lim ln 1 ln lim ln 1 0lim ln 1 ln lim ln 1 0lim ln 1 ln lim ln 1 0lim ln 1 ln lim ln 1 0 xxxxxxxx x x x x xxxxxxxx eeeeeeee e e e e 则则则则为一条为一条为一条为一条斜斜斜斜渐近线渐近线渐近线渐近线 yxyxyxyx 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 例例例例6 6 6 6 利用导数证明 当利用导数证明 当利用导数证明 当利用导数证明 当 1 1 1 1lnlnlnln 1 1 1 1ln ln ln ln 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 时时 第三章 微分中值定理与导数的应用 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 只要证只要证只要证只要证 令令令令 ln ln ln lnf xxxf xxxf xxxf xxx ln10 ln10 ln10 ln10fxxfxxfxxfxx 1 1 1 1 x x x x 则则则则单调增 从而单调增 从而单调增 从而单调增 从而 f xf xf xf x 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 lnxxxxxxxxxxxxxxxx 解解解解 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 0 0 0 0coscoscoscos x x x xq q q qp p p px x x x q q q qp p p p 1 1 1 10 0 0 0 又又又又 则原方程有且仅有一个实根则原方程有且仅有一个实根则原方程有且仅有一个实根则原方程有且仅有一个实根 常考题型与解题技巧常考题型与解题技巧 0 0 0 0 2 2 2 21 1 1 1 n n n n a a a aa a a aa a a a 0 0 0 02 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a ax x x xa a a ax x x xa a a an n n nx x x xnananana n n n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 0 0 0 0 例例例例8 8 8 8 设设设设 求