定积分概念的推广及其几何物理意义_林承初.pdf

第 15卷第 2 期河南教育学院学报 自然科学版 Vol 15 No 2 2 0 0 6 年 6 月Journal of Henan Institute of Education Natural Science Jun 2006 收稿日期 2006 01 12 作者简介 林承初 1963 男 广西北流人 广西财经学院数学统计系教师 定积分概念的推广及其几何物理意义 林承初 广西财经学院 数学统计系 广西 南宁 530003 摘要 本文从定积分的概念出发 表明定积分概念的思想方法并加以运用 推广得出重积分的概念 并讨论重 积分的几何物理意义 关键词 定积分 重积分 几何物理意义 中图分类号 17212 文献标识码 A 文章编号 1007 0834 2006 02 0011 03 我们已经知道 一元函数 f x 在闭区间 a b 上的定积分是一个积分和的极限 它的基本思路是 任取分点 a x0 x1 xn b 先将区间 a b 分割为 n 个小区间 xi 1 xi i 1 2 n 设 xi xi xi 1 再在每个小区间 xi 1 xi 内任取一点 Ni 作积分和E n i 1f N i xi 然后令 d max 1 i n xi y0 如果极限lim dy0 E n i 1f N i xi存在 则称此极限值为函数 f x 在区间 a b 上的定积分 记作 Q b a f x dx lim dy0 E n i 1f N i xi 这个过程可分为分割 求和 取极限三步 将这一思 想方法加以推广运用 便有各种重积分的概念 1 n 维实空间 Rn的测度 1 为了在 n 维实空间Rn中构造积分和 首先在 Rn中定义度量区域 8 大小的量 测度 我们知 道 数轴上区间 a b 的长为 b a 平面直角坐标 系上长方形 x y a1 x b1 a2 y b2 的面积 为 b1 a1 b2 a2 空间直角坐标系中长方体 x y z a1 x b1 a2 y b2 a3 z b3 的体 积为 b1 a1 b2 a2 b3 a3 类似地 我们定义 Rn中标准长方体的体积 定义 1 设有 Rn中区域 8 x1 x2 xn ai xi bi i 1 2 n 称 V 8 F n i 1 bi ai 为区域 8 的测度 或度量 定义 2 设 8 为 Rn中的有界闭区域 有限集 T 81 82 8k 称为 8 的一个分割 如果 i 每一个 8i i 1 2 k 均是可测度的 ii 81 82 8k的内部两两互不相交 iii 8 G k i 1 8 i 2 n 重积分的定义 如果把定积分定义中的闭区间 a b 换成 Rn 中的有界闭区域 8 把一元函数 f x 换成定义在 8 上的 n 元函数f x1 x2 xn 按照定积分的思想 方法 构造 n 元函数的积分和 便得出 n 重积分的 定义 定义3 设 8 为 Rn中的有界闭区域 f x1 x2 xn 为定义在 8 上的 n 元函数 对 8 的任意一个 分割成 T 81 82 8n 8i的测 度记为 v 8i vi i 1 2 n 在每一个 8i中任取 一点 N i1 Ni2 Ni n 作和式 E n i 1f N i 1 N i2 Ni n vi 记 d 8i sup x y I 8ii x y d max1 i n d 8 i 如 果极限lim dy0 E n i 1f N i1 Ni 2 N i n vi存在 则称此极限 值为 n 元函数f x1 x2 xn 在区域上 8 的 n 重 积分 记为 Q Q 8 Q f x1 x2 xn dv 显然 当 n 1 时 8 a b f x 为 a b 上 11 的一 元函数 vi xi 上 述定 义就是 定积 分 Q b af x dx 当 n 2 时 8 D 为平面区域 f x y 为 D 上的二元函数 vi就是小区域 Ri的面积 仍 记为 Ri 上述定义就成为lim dy0 E n i 1f N i Gi Ri 称为 函数f x y 在区域 D 上的二重积分 通常记作 Q Q D f x y dR 当 n 3 时 8 为空间区域 f x y z 为 8 上的三元函数 vi就是小区域 vi的体积 仍 记为 vi 上述定义就成为lim dy0 E n i 1f N i Gi Fi vi 称为函数f x y z 在区域 8 上的三重积分 通常 记作Q Q Q 8 f x y z dv 可见 明白了定积分的思想方法 就不难推广得 出二重积分 三重积分以及 n 重积分的定义 也就 不难理解它们的概念 3 黎曼积分 2 一般地 如果我们用 f M 表示有界区域 8 上 的函数 用 T 8 表示 8 的测度 根据定积分的思想 方法 还可以得出黎曼积分的定义 对 8 的任意一 个分割成 T 81 82 8n 设 v 8i vi为 8i的测度 在每一个 8i中任取一点Ni 作积分和 E n i 1f N i vi 如果当 d y0 时 E n i 1f N i vi的极限存 在 则称这个极限值为函数 f M 在区域 8 上的黎 曼积分 通常记作 Q 8 f M dv lim dy0 E n i 1f N i vi 如果 8 为一条平面 或空间 的曲线段 C f M 为定 义在 C 上的 二 元函 数 f x y 或 三元 函 数 f x y z vi是小曲线弧的弧长 si 上述定义就 成为 Q C f x y ds lim dy0 E n i 1f N i Gi si 或 Q C f x y z ds lim d y0 E n i 1f N i Gi Fi si 称为函数f x y 或f x y z 在曲线段 C 上对弧 长的曲线积分 也称为第一型线积分 如果 8 为一片曲面 S f M 为定义在S 上的三 元函数f x y z vi是小曲面的面积 si 上述定 义就成为 Q Q S f x y z ds lim d y0 E n i 1f N i Gi Fi si 称为函数f x y z 在曲面 S 上对面积的曲面积分 也称为第一型面积分 从以上的定义可以看到 抓住定积分概念的基 本思想 把它推广到多元函数及各种不同情况 就能 得到各种重积分的概念 4 黎曼积分的几何物理意义 4 1 几何意义 4 1 1 曲边梯形的面积 若f x 是以 a b 为底的曲边梯形的曲边 则 f Ni xi就是小区间 xi 1 xi 上相应的小曲边梯 形面积的近似值 见图 1 所以定积分Q b af x dx lim d y0 E n i 1f N i xi A 就是 a b 上以 f x 为曲边的 曲边梯形的面积 A 图 1 4 1 2 曲顶柱体的体积 设曲顶柱体的顶面方程为 z f x y 底面区 域为 D 将 D 任意分割为 R1 R2 Rn 在每个 Ri内任取一点 Ni Gi 则f Ni Gi Ri为 Ri上相 应的小曲顶柱体的体积的近似值 见图 2 所以二 重积分Q Q D f x y dR lim d y0 E n i 1f N i Gi Ri V 就是D 上顶面方程为z f x y 的曲顶柱体的体积 V 4 2 物理意义 3 图 2 12 4 2 1 非均匀细棒的质量 设物质细棒置于 x 轴上a b 之间 a b 其线 密度 Q x 为 x 的连续函数 Q x 在 a b 上的定积 分为Q b aQ x dx lim dy0 E n i 1 Q Ni xi 而 Q Ni xi为小 区间 xi 1 xi 上的质量 mi的近似值 E n i 1Q N i xi 为质量m 的近似值 所以定积分Q b aQ x dx m 正 好是在区间 a b 上密度为 Q x 的细棒的质量 m 4 2 2 平面薄板的质量 设平面薄板为有界闭区域 D 其面密度Q x y 为 D 上的连续函数 Q x y 在 D 上的二重积分为 Q Q D Q x y dR lim d y0 E n i 1 Q Ni Gi Ri 其中Q Ni Gi Ri 为小区域 Ri上相应的部分薄板的质量 mi的近 似值 E n i 1Q N i Gi Ri为质量m 的近似值 所以二重 积分Q Q D Q x y dR m 就是面密度为Q x y 的平面 薄板 D 的质量m 4 2 3 空间物质块的质量 设空间物质块为空间有界闭区域 8 其密度 Q x y z 为 8 上的连续函数 Q x y z 在 8 上的 三重积分为Q Q Q 8 Q x y z dv lim d y0 E n i 1 Q Ni Gi Fi vi 其中 Q Ni Gi Fi vi为小区域 8i上相应小块 的质量 mi的近似值 E n i 1Q N i Gi Fi vi为质量m 的近似值 所以三重积分Q Q Q 8 Q x y z dv m 就是 面密度为Q x y z 的空间物质块的质量 m 重积分在几何 物理及力学上有许多重要应用 把定积分的概念加以推广 引入各种重积分的概念 可以解决许多实际问题 参 考 文 献 1 李成章 黄玉民 数学分析 下册 M 北京 科学出版社 2004 2 马知恩 王绵森 工科数学分析基础 下册 M 北京 高等教 育出版社 1998 3 朱亚轩 段炎伏 杨凤翔 高等数学 物理类 M 北京 高等教 育出版社 1996 The Extensions of the Definite Integral Concept and its Geometry and Physical Meanings LIN Cheng chu Department o f Mathematics and Statistics Guangxi University of Finance and Economics Nanning 530003 China Abstract This paper sets out from the concept of the definite integral expresse