信号与系统 系统微分方程 习题及解答.pdf

14 第 2 章 习题 2 1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应 1 给定 0 2 3 2 2 tyty dt d ty dt d 2 0 3 0 y dt d y 2 给定 0 4 2 2 tyty dt d 1 0 1 0 y dt d y 3 给定 0 2 2 2 2 tyty dt d ty dt d 2 0 1 0 y dt d y 4 给定 0 2 2 2 tyty dt d ty dt d 2 0 1 0 y dt d y 5 给定 0 2 2 2 3 3 ty dt d ty dt d ty dt d 2 0 1 0 1 0 2 2 y dt d y dt d y 6 给定 0 4 2 2 ty dt d ty dt d 2 0 1 0 y dt d y 解 1 微分方程的特征方程为 解得特征根 2 320 12 1 2 因此该方程的齐次解为 2 tt h y tAeBe 由得 解得 0 3 0 2 d yy dt 3 22 ABAB 8 5 AB 所以此齐次方程的零输入响应为 2 85 tt y tee 2 微分方程的特征方程为 解得特征根 2 40 1 2 2i 因此该方程的齐次解为 cos 2 sin 2 h y tAtBt 由得 解得 0 1 0 1 d yy dx 1A 21B 1 1 2 AB 所以此齐次方程的零输入响应为 1 cos 2 sin 2 2 y ttt 3 微分方程的特征方程为 解得特征根 2 220 1 2 1i 因此该方程的齐次解为 cos sin t h y teAtBt 由得 解得 0 1 0 2 d yy dx 1 2 ABA 1 3AB 15 所以齐次方程的零输入响应为 cos 3sin t y tett 4 微分方程的特征方程为 解得二重根 2 210 1 2 1 因此该方程的齐次解为 t h y tAtB e 由得 解得 0 1 0 2 d yy dx 1 2 BAB 3 1 AB 所以该方程的零输入响应为 31 t y tte 5 微分方程的特征方程为 解得特征根 32 20 1 2 1 3 0 因此该方程的齐次解为 t h y tABtC e 由得 2 2 0 1 0 1 0 2 dd yyy dxdt 1 1 22ACBCCB 解得 5 3 4ABC 所以方程的零输入响应为 5 34 t y tte 6 微分方程的特征方程为 解得特征根 2 40 12 0 4 因此该方程的齐次解为 4 t h y tABe 由得 解得 0 1 0 2 d yy dx 1 42ABB 31 22 AB 所以此齐次方程的零输入响应为 4 31 22 t y te 2 2 已知系统的微分方程和激励信号 求系统的零状态响应 1 tuetxtxtyty dt d ty dt d t 3 6 5 2 2 2 tuetxtxtx dt d tyty dt d ty dt d t2 2 2 4 2 3 3 tuetxtxtx dt d tyty dt d t2 3 4 tutxtxtx dt d ty dt d ty dt d ty dt d 8 3 8 4 2 2 3 3 解 1 将带入到原方程得到 x t 2 2 5 6 3 t dd y ty ty te u t dtdt 16 特征方程为 解得特征根 2 560 12 2 3 因此该方程的齐次解为 23 tt h y tAeBe 可设其特解为 将代入上述微分方程 有 t p ytce t p ytce 解得特解为 2 2 5 6 3 tttt dd cececee dtdt 3 2 t p yte 可得完全解 23 3 2 ttt y tAeBee 根据冲击函数匹配法 系统在时的微分方程 0 t 0 得到 2 2 5 6 3 dd y ty ty tu t dtdt 2 2 d y tatbtc u t dt d y tatb u t dt y ta u t 5 5 6 3 atbtc u tatb u ta u tu t 从而有 0 0 0 0 0 0 yya yyb 将代入得 23 3 2 ttt y tAeBee 3 30 2 3 3 230 2 2 AAB B AB 故系统的零状态响应为 32 33 3 22 ttt y teeeu t 2 将带入原方程得到 2t x teu t 2 2 2 3 2 2 t dd y ty ty tteu t dtdt 17 微分方程的特征方程为 解得特征根 该方程的齐次解为 2 320 12 1 2 2 tt h y tAeBe 可设其特解为 代入上述微分方程 解得特解为 2 t p ytkte 2 2 t p ytte 可得完全解 22 2 ttt y tAeBete 根据冲击函数匹配法 系统在时的微分方程 0 t 0 得到 2 2 3 2 2 dd y ty ty ttu t dtdt 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 3 2 0 0 1 0 0 1 atb u ta u ttu t yya yyb 将代入得 22 2 ttt y tAeBete 3 0 221 3 0 481 AyAB ByAB 系统的零状态响应为 22 332 ttt y teete 3 将带入到原方程得到 x t 2 3 t d y ty tteu t dt 特征方程为 解得特征根30 2 3 因此该方程的齐次解为 3 t h y tCe 可设其特解为 代入上述微分方程 解得特解为 2 t p ytKe 2 t p yte 可得完全解 32 tt y tCeeu t 根据冲击函数匹配法 系统在时的微分方程 0 t 0 得到 3 d y ty ttu t dt 18 d y tatb u t dt y ta u t 3 1 4atb u ta u ttu tab 从而有 将代入得 0 0 11 0 0 44 yy yy 32 tt y tCee 2C 故系统的零状态响应为 32 2 tt y teeu t 4 将带入到原方程得到 x t 32 32 4 8 3 8 ddd y ty ty ttu t dtdtdt 特征方程为 解得特征根 32 480 123 0 22 22ii 因此该方程的齐次解为 22 cos 2 sin 2 tt h y tABetCet 可设其特解为 代入上述微分方程 解得特解为 p ytDt p ytt 可得完全解 22 cos 2 sin 2 tt y tABetCett 根据冲击函数匹配法 系统在时的微分方程 0 t 0 得到 32 32 4 8 3 8 ddd y ty ty ttu t dtdtdt 3 3 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 4 3 8 atb u ta u ttu t 从而有 3 3 0 4 d y dt 2 2 0 3 d y dt 将代入得 22 cos 2 sin 2 tt y tABetCett A 1 8 3 8 B 19 由于方程不包含项 C 无法求出 y t 故系统的零状态响应为 2 13 cos 2 sin 2 88 t y tetttC 2 3 已知系统的微分方程为 求下列激励信号下系统的零状态响应 txtyty dt d 2 1 2 3 tuetx t2 tuetx t3 tuetuetx tt32 4 Ttuetx Tt 2 解 1 带入后微分方程为 2 2 t d y ty teu t dt 特征方程为 解得特征根 因此该方程的齐次解为 20 2 2 t h y tCe 设特解为 带入得 零状态响应为 2 t p ytkte 2 t p ytte 22 tt y tCeteu t 由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从 0 到 0 时刻没有发生跳变 将 带入得到 C 0 故系统的零状态响应为 0 0y 2 t y tteu t 2 带入后微分方程为 3 2 t d y ty teu t dt 特征方程为 解得特征根 因此该方程的齐次解为 20 2 2 t h y tCe 设特解为 带入得 零状态响应为 3 t p ytke 3 t p yte 23 tt y tCeeu t 由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从 0 到 0 时刻没有发生跳变 将 带入得到 C 1 故系统的零状态响应为 0 0y 23 tt y teeu t 3 带入后微分方程为 23 2 tt d y ty teu teu t dt 先求出系统的冲激响应 易知 在时 设 2 t y tAe 00t d y tatbu t dt 代入方程解得 y tau t 1 2ab 易求得 A 1 则 系统的单位冲激响应为 2 t y te 2 t h teu t 20 232 ttt y tx th teu teu teu t 223 ttt teu teeu t 4 带入后微分方程为 2 2 t T d y ty teu tT dt 特征方程为 解得特征根 因此该方程的齐次解为 20 2 2 t h y tCe 设 特 解 为 带 入 得 零 状 态 响 应 2 t T p ytk tT e 2 t T p yttT e 为 22 tt T y tCeu ttT eu tT 由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从 T 到 T 时刻没有发生跳变 将 带入得到 C 0 故系统的零状态响应为 0y T 2 t T y ttT eu tT 2 4 给定系统微分方程 起始状态以及激励信号 首先判断起始点是否发生跳变 再求系统的零输 入响应 零状态响应和完全响应 1 tutxytxtyty dt d 10 2 tutxytxtx dt d tyty dt d 20 2 3 3 tuetxy dt d ytxtx dt d tyty dt d ty dt d t 3 00 20 3 2 6 5 2 2 4 tuetxy dt d ytxtx dt d tyty dt d ty dt d t2 2 2 10 10 9 6 5 tutxy dt d ytxtx dt d tyty dt d ty dt d 10 10 5 3 5 2 2 2 解 1 易知系统的齐次解 零输入响应 t h y tAe 0 0 0 1yyAe 解得 t zi yte 零状态响应 设 代入得 所以 p ytB 1B 1 t zs ytAe 在时 设 即 所以 00t d y tu t dt 1 1AA 1 t zs yte 21 完全响应 1 tt zizs y tyyteeu tu t 2 利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变 将激励函数带入后得到 3 2 d y ty ttu t dt 系统的齐次解 零输入响应 解得 3 t h y tAe 0 0 0 2yyAe 3 2 t zi yte 零状态响应 设 代入得 故 利用冲击函数匹配法可知 p ytB 2 3 B 3 2 3 t zs ytCeu t 即 故 0 1y 2 1 3 C 1 3 C 3 12 33 t zs yteu t 方程的完全解 33 12 2 33 tt zizs y tytyteu te 3 利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变 系统的齐次解 零输入响应 23 tt h y tAeBe 0 2yAB 解得 0 230 d yAB dt 23 64 tt zi ytee 零 状 态 响 应 设 代 入 得 在 t p ytBe 3 2 B 23 3 2 ttt zs ytAeBee 时 设00t 2 2 5 6 6 3 dd y ty ty ttu t dtdt 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 代入解得 解得 0y t 6 27ab 23 93 3 22 ttt zs yteee 方程的完整响应 2323 93 3 64 22 ttttt zizs y tyyteeeu tee 4 利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变 系 统 的 齐 次 解 零 输 入 响 应 由解 3 t h y tAtB e 0 1 0 1 d yy dt 得 4 1AB 3 41 t zi ytte 22 零状态响应 设 代入得 在 2 t p ytCe 1C 32 tt zs ytAtB eeu t 00t 时 2 2 6 9 dd y ty ty ttu t dtdt 则 解 得 得 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 0y t 1 7ab 到 2 1AB 32 21 tt zs ytteeu t 完整响应 323 41 ttt zizszs y tyytytAtB eeu tte 5 易知系统的齐次解 零输入响应 cos 2 sin 2 t h y teAtBt 由解得 0 1 0 1 d yy dt 1 1AB cos 2 sin 2 t zi ytett 零状态响应 解得 p ytC 1C cos 2 sin 2 1 t zs yteAtBt 在时 00t 2 2 2 5 3 5 dd y ty ty ttu t dtdt 设 代入得 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 3 1ab 解得 1 1AB cos 2 sin 2 1 t zs ytett 得到系统完整响应 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1 tt y tettettu t 2 5 求下列微分方程描述的系统的单位冲激响应 th 1 2 4 tx dt d tyty dt d 3 2 3 2 2 txtx dt d tyty dt d ty dt d 3 4 4 2 2 txtyty dt d ty dt d 4 3 3 2 2 2 txtx dt d tx dt d tyty dt d 23 解 1 系统的齐次解为 4 t h y tAe 在时 可设 00t d y tatbtc u t dt y tatb u t 代入方程 解得 易知 1 4 16abc 4A 所以 4 4 t y tteu t 2 系统的齐次解为 在时 2 tt h y tAeBe 00t 设 2 2 d y tatbtc u t dt d y tatb u t dt y ta u t 则 3 atbtc u t atb u t 2 a u t 3 tt 解得 求得 所以1 0 2abc 2 1AB 2 2 tt y teeu t 3 易求得系统的齐次解为 2 t h y tAtB e 在时 设 解得 00t 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 0y t 1 4ab 求得 1A 0B 所以 2 t y tte 4 系统的齐次解为 2 t h y tAe 在时 设00t d y tatbtctd u t dt y tatbtc u t 则 2 atbtctd u tatbtc u t 3 3 ttt 解得 易求 1 1 1 2abcd 1A 则 2 t y teu ttt 2 6 求下列微分方程描述的系统的单位阶跃响应 tg 24 1 2 txtx dt d tyty dt d 12 7 2 2 tx dt d tyty dt d ty dt d 3 2 3 10 2 2 2 txtx dt d tyty dt d ty dt d 4 5 2 16 8 2 2 3 3 2 2 txtx dt d tx dt d tyty dt d ty dt d 解 1 求得系统的齐次解为 设特解 解得 t h y tAe p ytB 1B 在时 设 00t d y tatb u t dt y ta u t 得到 atbu tau ttu t 解得 易求1 0ab 0A 所以 y tu t 2 系统的齐次解为 34 tt h y tAeBe 在时 设 00t 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 0y t 即 解得 易求 7 atbu ta u t t 1 7ab 1 1AB 所以 34 tt y teeu t 3 易求得系统的齐次解为 易知特解 cos3sin3 t h y teAtBt 1 5 C 在时 设 00t 2 2 d y tatb u t dt d y ta u t dt 0y t 即 解得 易求 2 atbu ta u t 3 2 tu t 3 4ab 114 515 AB 所以 1141 cos3sin3 5155 t y tett u tu t 4 系统的齐次解为 易求其特解 4 t h y tAtB e 5 16 C 25 设 2 2 d y tatbtctdu t dt d y tatbtcu t dt 解得 y tatbu t 1 6 32 155abcd 解得 所以 27101 416 AB 4 271015 41616 t y ttet 2 7 因果性的 LTI 系统 其输入 输出用下列微分 积分方程表示 其中 5 txdtfxtyty dt d 3 ttuetf t 求该系统的单位冲激响应 th 解 将代入原方程得 若解出此方程的 即 x tt 5 2 t d y ty te u tt dt zi yt 为系统的单位冲激响应 现在求 先设 h t y t 5 d y ty tt dt 解得 5 t h teu t 2 t h th te u tt 5 17 44 tt eeu t 2 8 有一 LTI 系统 对 激 励 为时的 完 全 响 应 为 对 激 励为 3 1 tutx 6 3 1 tuety t 时的完全响应为 求下列各种响应 2 ttx 2 tty 1 该系统的零输入响应 tyzi 2 该系统的单位阶跃响应 3 该系统的单位冲激响应 4 系统的起始状态保持不变 求其对于激励为的完全响应 3 tuetx t 3 ty 解 设系统对激励为的零状态响应为 对激励为的零状态响应为 1 x t 1zs y 2 x t 2zs y 对激励为的零状态响应为 又系统为 LTI 系统 根据 易推知 3 x t 3zs y 1 x t 2 x t 1 2 3 zs zs yd y dt 又根据完全解的结构 可设 则 1 x t 3 1 t zs yAeu t 2zs y 3 3 t A Aeu tt 又根据 对 对 1 x t 3 1 6 t zizs ytyeu t 2 x t 2 zizs ytyt 综合上述条件的 3 12 6 t zszs yyeu tt 得 解得 33 3 tt A Aeu tAeu tt 3 6 t eu tt 所以 3A 3 1 3 t zs yeu t 1 3 33 1 63 tt zizs yeyeu t 3 3 t h tteu t 26 2 3 0 t t g thdeu t 4 对 3 t x te u t 零状态响应为 3zs y 3 h tx t 3 31 22 tt eeu t 得到 33 33 31 3 22 ttt zizs y tytyeeu teu t 3 91 22 tt eeu t 2 9 已知某 LTI 系统在激励信号下的零状态响应为 又已知该系统在 1 tuetx t 1 ty 下的零状态响应为 求该系统的单位冲激响应 2 tuettx t 2 2 1 tuety t th 解 由题 211 2 d x tx tx t dt 又系统为 LTI 系统 所以 211 2 d y ty ty t dt 代入整理得 解得 2 11 4 t d y ty teu t dt 24 1 11 22 tt y teeu t 因 得系统的冲激响应 21 x tx tt 2 1 3 t h ty teu t 所以 24224 1113 3 2222 ttttt h teeeu teeu t 2 10 已知某 LTI 系统在激励信号下的零状态响应为 又已知该系统在 1 tuetx t 1 ty 下的零状态响应为 求该系统的单位冲激响应 2 2 tuetx t 2 1 tuety t th 提示 由于不是简单的各阶导数及其线性组合关系 所以不能用 2 9 题的方法 但根据条件 21 txtx 知道有 p2 10 1 thtuety t 1 p2 10 2 thtuetuety tt 22 1 即 p2 10 3 thtuetuethtue ttt 22 p2 10 4 thtuetuetue ttt 22 对式子 p2 10 4 求两次导数 并利用卷积的微分性质有 p2 10 5 thtuetuettuet ttt 2 2 2 22 p2 10 6 thtuetuetttuett ttt 4 3 2 42 22 27 通过将式 p2 10 4 p2 10 5 p2 10 6 乘上适当的常数再相加 可以消去方程右端这些 2 tuetue tt 普通函数和的卷积项 具体来说 就是假设 p2 10 4 p2 10 5 p2 10 6 三个式子乘的系数分别是 th 则要求cba p2 10 7 042 0 cba cba 可以得到一个解 将式 p2 10 4 p2 10 5 p2 10 6 分别乘以 再相加得到1 3 2 cba1 3 2 p2 10 8 thtttt 3 2 即 p2 10 9 ttthth dt d 32 上述过程实际上是一个重建微分方程的过程 解 微分方程的建立参看上述提示 对于 ttthth dt d 32 系统的齐次解为 在时 3 2 t h tAe 00t 设 d h tatbtc u t dt h tatb u t 解得 求得 所以 11 24 ab 1 4 A 3 2 11 24 t h tteu t 2 11 利用上节的方法求解本题 有一 LTI 系统对激励为时的完全响应为 1 tutx 对激励为时的完全响应为 求 2 1 tuty tuetx t2 2 tuety t2 2 2 1 该系统的零输入响应 tyzi 2 该系统的单位冲激响应 3 系统的起始状态保持不变 求其对于激励为的完全响应 3 tuetx t 3 ty 解 易知 2 zi u tytu th t 22 2 tt zi eu tyteu th t 将两式相减 22 2 2 tt u teu tu teu th t 两边求导得 22 4 2 2 tt eu tteu th t 将原式乘 2 与求导后的方程式相加得 2 u ttu th t 28 将方程式求导 2 ttth t 即 易解得 2 d h th tt dt 2 t h te u t 易求得对的零状态响应为 1 x t 1 2 1 t zs yth tx teu t 1 1 zizs yty tyt 2 t e u t 2 即 2 t h te u t 3 3 ty2 t e u t 2 tt e u te u t 22 tt eteu t 2 12 已知某一 LTI 系统对激励的零状态响应 tx t t zs dxety 2 求该系统的单位冲激响应 解 zs ytx th txh td Q 在本题中 22 2 2 2 2 2 t tt zs tpp zs t zs ytexdexu td ytex p u tpdp yteu txdp 令 令p 故 2 2 t h teu t 2 13 零起始状态电路如题图 2 13 所示 求该电路的单位冲激响应 若激励为 求 tuetv t S 响应 tvo tvs H1 1 4 tvo F5 2 tis tvo 题图 2 13题图 2 14 解 设此电路的电流为 易知 根据 KVL 有 s I t s I t s v t 0 v t 即 Ls vvv 00 1 5 sss d v tv tv tv tv t dt 整理得 00 5 4 ss dd v tv tv tv t dtdt 29 易解得 5 t h tteu t 0 v t 5 31 44 tt s h tv teeu t 2 14 零 起 始 状 态 电 路 如 题 图 2 14 所 示 求 该 电 路 的 单 位 冲 激 响 应 若 激 励 为 求响应 11 tutttutiS tvo 解 由节点电流定理得 整理得 0 0 5 2 s v td i tv t dt 0 0 1 105 s v td v ti t dt 其单位冲激响应 0 1 1 5 t h teu t tvo s h ti t 0 1 1 1 5 t tu teu t 0 1 1 1 1 1 1 1 5 t tu teu t 2 15 电路如题图 2 15 所示 以前开关位于 1 已进入稳态 时刻 与同时自0 t0 t 1 S 2 S 1 转至 2 求输出电压的完全响应 并指出其零输入响应 零状态响应分量 tv H1 F1 V10 2 tv 2 S 1 S 3A 11 22 题图 2 15 解 设经过电感的电流为 则 1 i t 1 2 v t i t 1 l d v tli t dt 1 c d v tci tv t dt cc d i tcv t dt 根据 KCL 代入得 1 sc i ti ti t 2 2 2 2 s dd v tv tv ti t dtdt 得齐次解 t h y tAtB e u t 零输入响应 开关位于 1 稳定后 因为 所以 易求 0 10v 0 c i t 0 c d cv t dt 得零输入响应 1010 t zi ytte 开关位于 2 时 零状态响应 3 s i tu t t zs ytAtB e u tBu t 易求得零状态响应 66 6 t zs ytte u tu t 完全响应 66 6 1010 tt y tte u tu tte 30 2 16 已知电路如题图 2 16 所示 时 开关位于 1 且已达到稳态 时刻 开关由位0 t0 t 置 1 打到位置 2 1 从物理概念判断 和 0 i 0 i 0 i 0 i 2 写出t 时间内描述系统的微分方程表示 求的完全响应 0t ti 3 写出一个方程式 可在时间内描述系统 根据此式利用冲激函数匹配原 t 理判断时刻和时刻状态的变化 并与 1 的结果比较 0 0 解 1 到达稳态后 电容相当于短路 而电路状态稳定 不会再发生变化 所以 开关由 1 到 2 后 电容电压不会发生跳变 0 0 0 0ii 0 10 c v 0 0i 所以电感的电压应为 9 伏 又 易知 9 l d vli t dt 0 i 2 由电路易得系统微分方程 零输入响应为 0 2 2 2 2 t dd i ti ti tteu t dtdt 零状态响应为 2 11 3 2cos 3sin3 2 3 tt etteu t 3 系统方程为 2 9 2 t y ty ty tteu t 理应冲击函数匹配法有 即从 0 到 0 有 9 的跳变 没有跳变 9 7 ay tatb u t by ta u t y t y t 2 17 设系统的微分方程表示为 6 5 2 2 tuetyty dt d ty dt d t 求使完全响应为时的系统起始状态和 并确定常数的值 tuCety t 0 r 0 rC 解 求得方程的零状态响应为 23 11 22 ttt zs yteeeu t 易知方程的零输入响应为 23 tt zi ytAeBeu t 因为完全响应为 故 有零输入响应的系数求法得 tuCety t 11 1 22 ABC 31 1 0 2 1 23 0 2 ABr ABr 2 18 已知某 LTI 系统的单位冲激响应为 当输入为时的零状态响应为 th1 tx1 2 tututty 求当冲激响应和激励信号分别为以下各组信号时的零状态响应 并画出各个响应对应的波形 1 2 ththtxtx 11 3 ththtxtx 11 3 4 1 2 11 ththtxtx ththtxtx 11 3 5 6 1 2 111 ththtxtxtx ththtx dt d tx 11 2 7 8 th dt d thtxtx 11 th dt d thtx dt d tx 11 解 1 2 3 2 x tt u tu t 2 x tt utut 3 4 1 1 1 x ttu tu t 5 1 1 3 1 1 1 x ttu tu ttu tu t 32 6 7 2 2 2 x tu tu ttt 2 2 x tu tu ttt 8 2 2 x ttttt 2 19 已知有一 LTI 系统 起始状态不知道 在激励为时的完全响应为 激 tx tute t 2sin2 3 励为时的完全响应为 求 tx2 tute t 2sin2 3 1 起始状态不变 当激励为时的完全响应 并指出零输入响应和零状态响应 1 tx 2 起始状态是原来的两倍 激励为时的完全响应 tx2 解 设激励为时的完全响应为 tx zs yt 33 由题意得 3 2sin2 t zizs ytytet u t 3 2 2sin2 t zizs ytytet u t 两式相减得 易得 3 sin2 t zs ytet u t 3 3 t zi yteu t 1 当激励为时 易解得 1 tx 3 1 1 sin2 1 1 t zs ytetu t 零输入响应不变 3 3 t zi yteu t 完全响应 3 1 3 1 sin2 1 1 3 tt y tetu teu t 2 3 2 2 2 42sin2 t zizs y tytytet u t 2 20 求下列各函数与的卷积 1 tf 2 tf 21 tftf 1 3 21 tuetftutf t 2 21 tutfttutf 3 2 21 tututfttutf 4 2 1 21 tutfttutf 5 45cos 2 21 ttfttf 6 2 1 1 1 21 tututftututtf 7 1 1 cos 21 tttfttf 8 sin 2 2 1 ttutftuetf t 解 1 2 3 12 1 1 3 t f tf tf teu t 2 12 1 2 f tf tf tt u t 3 4 22 11 2 2 22 f tt u ttu t 2 1 1 1 2 f ttu t 5 cos 2 45 2 f ttu t o 6 7 2 2 0 1 11 12 22 31 23 22 0 3 t tt f t ttt t cos 1 cos 1 f ttt u t 34 8 2 211 sincos 333 t f ttteu t 2 21 求下列两组卷积 并注意相互间的区别 1 求 1 tututf tftfts 2 求 2 1 tututf tftfts 解 1 2 0 0 01 2 12 0 2 t tt s t tt t 0 2 2 23 4 34 0 4 t tt s t tt t 易知把 1 中的向右平移两个单位 即得到 2 中的 s t s t 2 22 已知 求解并画出下 1 1 1 tututf 5 5 2 tttf 2 1 3 ttf 列各卷积波形 1 211 tftfts 2 2212 tftftfts 3 5 5 2213 tftututftfts 4 314 tftfts 解 1 211 tftfts 6 4 4 6 u tu tu tu t 2 2 2 2 35 2 11 9 2 1 1 9 11 s tu tu tu tu tu tu t 3 3 s t 2 10 9 1 1 9 10 s tu tu tu tu tu tu t 4 413 31 22 s tf tf tu tu t 36 2 23 令 和 53 tututx tueth t3 1 求 2 求 3 和是什么关系 thtxty thtx dt d tg tg ty 解 1 3 3 3 5 11 1 3 1 5 33 tt y teu teu t 2 3 3 5 t d g tx th tu tu teu t dt 3 3 3 5 3 5 tt eu teu t 3 g ty t 2 24 假设 和 其他 0 10 1t tx 10 txth 1 求出并画出 thtxty 2 若仅含三个不连续点 值是多少 ty dt d 解 1 易解得 1 0 0 0 1 1 11 0 1 t tt y tt tt t 2 由条件易知 1 2 25 设 证明在区间上有 并求出 A 值 k t kttuet 3 y 30 t t Aetr 证明 当时 30 t 0 y 3 t k te u ttk 0 3 3 tk k eu tk 0 3tk k ee 得 3 1 1 t e e t Ae 3 1 1 A e 2 26 对题图 2 26 所示的各组函数 计算卷积积分 并粗略画出与卷积的 21 tftf 1 tf 2 tf 波形 37 0 t 1 22 a 1 0 t tf2 3 3 31 2 21 tf1 0 t 2 b 0 t tf2 3 2 1 tf1 1 12 0 t 1 c 0t tf2 tf1 1 2 1 1 t e 0 t 2 0 t tf2 1 tf1 1 2 1 2sin tutut d 0 t 2 0 t tf2 1 tf1 1 2 1 tutsin e 0 t 1 0 t tf2 1 tf1 1 2 1 1 tut sin 26543 f 38 题 图 2 2 6 0 t 1 0 t tf2 1 tf1 1 21 243 1 g 解 a 315 5 4 39 4 3 66 1 66 1 39 3 4 315 4 5 y ttu tu ttu tu t tu tu ttu tu t tu tu ttu tu t b 1 21 1 2 3 2 3 29 3 4 5 4 5 y tt u tu ttu tu tu tu t tu tu ttu tu t 12 3 450 1 2 3 4 c 1 1 t y teu t 39 12 3 450 1 2 3 4 1 d 2 1 cos