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再談畢氏定理與餘弦定理的證明朱哲數學傳播二十八卷第三期上刊登張海潮先生的短文畢氏定理與餘弦定理的證明。餘弦定理是畢氏定理在斜三角形上的推廣，它們在證明方法上也存在著必然的聯繫。張先生用歐幾裏德證明畢氏定理的方法證明了餘弦定理，筆者深受啟發；同時發現，我們還可以用其他方法來證明。1. 愛因斯坦方法證明餘弦定理愛因斯坦12歲時，在未學過平面幾何的情況下，曾基於三角形的相似特性，獨立地給出了畢氏定理的一個證法，這一方法相當的巧妙和簡單。不過，這一方法並不是創新，因為在歐幾裏德原本中已經有了這種證法，只是敍述較繁。如圖1，作直角三角形ABC斜邊上的高CD，則ABC，ACD，CBD都是彼此相似的。那麼根據相似三角形中對應邊長之比相等（或者直接利用射影定理），有AC2=ADAB，BC2=BDAB，兩式相加得AC2+BC2=(AD+BD)AB=AB2。 圖1 圖2這一方法可以推廣到斜三角形，我們以鈍角三角形為例證明餘弦定理（銳角三角形可以類似處理）。如圖2，在ABC中，過C點作線段CD，CE交AB於D，E，使ACD=B，BCE=A。顯然有ACDABCCBE，AC2=ADAB，BC2=BEAB，。而CDE=CED=A+B，由餘弦定義知，cos(A+B)=cosCDE=。DE=2CDcos(A+B)=2cos(A+B)。AC2+BC2=(AD+BE)AB= (AB-DE)AB=AB2-DEAB=AB2-2cos(A+B)AB = AB2-2ACBC cos(A+B)= AB2+2ACBC cosC。（這裏的角C指ACB。）如此便證明了餘弦定理。在圖2中，若D，E重合，則ACB為直角，餘弦定理變為畢氏定理。2. 伽菲爾德方法證明餘弦定理1876年4月，美國俄亥俄州的共和黨議員伽菲爾德發表了畢氏定理的一種證法。1881年他當選美國第20任總統，這種方法也被稱為總統方法，成為數學史上的一段佳話。他把兩個全等的直角三角形拼成如圖3所示的圖形，用兩種方法計算梯形面積， S梯形=，化簡整理得。圖3利用這一方法我們不能直接證明餘弦定理，但可以證明sin(A+B)，cos(A+B)公式：用兩個斜邊長均為1的直角三角形拼成如圖4所示的圖形，用兩種方法來計算梯形面積， S梯形=+，化簡整理得。 圖4 圖5利用畢氏定理可知，該直角梯形腰長為，利用三角形餘弦定理可得=，化簡整理得=。伽菲爾德方法雖然不能直接證明餘弦定理，但受sin(A+B)，cos(A+B)公式證明過程的啟發，我們把兩個斜邊分別為a，b的直角三角形如圖5放置，利用畢氏定理得：=+=。不難看出，這其實是上述cos(A+B)公式證明的逆過程。所以我們需先用其他方法對“cosAcosB-si
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