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中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试卷（第二天）一、(本题满分50分)已知分别为的内心，外心，重心，为边的中点，为的平分线与的交点。若，求证：四点共圆。二、（本题满分50分）在的方格中，每一格染红白两色之一，已知对任意的，在第行与第列的个方格中，与方格（第行及第列交叉的方格）同色的方格数目，小于另一种颜色的方格数，求证：是的倍数.三、（本题满分50分）用表示不超过的最大整数，令；试定出满足的所有正整数.中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试卷（第二天）二、（本题满分50分）在的方格中，每一格染红白两色之一，已知对任意的，在第行与第列的个方格中，与方格（第行及第列交叉的方格）同色的方格数目，小于另一种颜色的方格数，求证：是的倍数.证明：无妨设方格表中的红格数目白格的数目，则设第行中红格数目为，第列的红格数目为，若方格为红色，则有条件知道：所以，若为偶数，则，若为奇数，则也有；故总有；将中不等式对所有的个红格求和，则每个出现次，每个出现次，出现次，得到 另一方面，由柯西不等式知，上式左边综合知，故，因此由知，必有，从而为偶数，上述不等式均化为等式，特别的由，所以为偶数，即的奇偶性相同。因为为偶数，故都是偶数，所以为4的倍数；三、（本题满分50分）用表示不超过的最大整数，令；试定出满足的所有正整数.解：由于，故即所以由此可得当时，有；当时，注意到为奇数，有因此，所以由此得：，
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