数值分析例题.doc

绪论：例 已知，作为3.141592的近似值，试分别求出它们有效数字的位数及相对误差限解：（1）3.1423.141590.000410.510-3 3.1420.3142101 ，1n3，n43.142有4位有效数字（2）0.0005930.510-21-n=-2 n=33.141有3位有效数字当3.141作为的近似数时有3位有效数字，不具有4位有效数字，3.14有效，千分位1不是有效数字。练习 已知x12.71，x22.72，x32.7181作为e2.71828的近似值，求这3个近似数的有效数字的位数。 （n2， 3， 4 ）推论1 对于给出的一个有效数，其绝对误差限不大于其末位数字的半个单位。推论2 若近似值x= 0.a1a2an*10m (其中a10) 具有n位有效数字，则其相对误差。证明：x=0. a1an*10m | x |a1*10m-1 又x具有n位有效数字，则| x- x*| | e* r |= n越大，|e* r |就越小，一般应用中取=例1：求的近似值，使其相对误差不超过。解：=2.4494取=2，设x*=有n位有效数字，由推论2，=，n=4，取x*=2.449练习：要使的近似值相对误差不超过0.1%，则至少要求几位有效数字？解：设x*=，其近似数x具有n位有效数字，其相对误差限满足=0.1%n3.097 n=4例1 求有效数3.150950，15.426463, 568.3758, 7684.388之和。解 =8271.341 213 而这和的绝对误差限为 2*0.5*10-6+0.5*10-4+0.5*10-3 0.5*10-3 应舍入成8271.341最末3位的计算没有意义，合理的做法是将小数位较多的各位数按小数位最少的位数多取1位作舍入处理，再相加3.1510+15.4265+568.3758+7684.388=8271.34133*0.5*10-4+0.5*10-30.000650，f(1)=sin10 f(x)=1xsinx=0在0，1有根。又f(x)= 1cosx0 (x0，1)，故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限e0.5104，有故只要取n14即可。练习 证明方程ex+10x20在区间0，1内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过106，试问需要二分区间0，1多少次？ 证明 令f(x)ex+10x2， f(0)=-1 0 f(x)= ex+10x2 =0在0，1有根。又f(x)= ex+10 0(x0，1)，故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限106，有只要取k19次.第一章例 求过这三个点 (0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。解： 此为一条直线，其原因在于(0，1)，(1，2)， (2，3)三点共线注意2：例1 已知函数y=f(x)的观察数据为下表，试构造拉格朗日多项式Ln (x)， 并计算L(1)。xk2045yk5131解： 先构造基函数所求三次多项式为L3(x)L3(1)例2 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。解： 由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34 , 又由公式得 sin0.3367L1(0.3367)= = =0.330365 .其截断误差得其中 ，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx，可取，于是R1(0.3367)=sin 0.3367 L1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92105，若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为 ，其截断误差为，其中于是 用抛物插值计算 sin0.3367时，可得这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得 其中 于是练习：已知函数y=ln x的函数表如下：1011121314y=ln x2.30262.39792.48492.56492.6391分别用Lagrange线性插值和抛物线插值求ln 11.5 的近似值，并估计误差。解 线性插值。取两个节点，插值基函数为 由式（1-4）得将代入，即得按式（1-12）得因为，在与之间，故=于是抛物线插值。取，插值多项式为所以因为，于是因此用抛物线插值计算的误差为查表可得。例 给定函数的函数表-2012171217写出函数的差商表。解 差商表如下：1阶差商2阶差商3阶差商-2012171217-8115371练习：试列出f(x)=x3 在节点x =0，2，3，5，6上的各阶差商值。例 对上例的中的，求节点为的一次插值多项式，节点为的二次插值多项式和节点为的三次插值多项式。解 差商表如下：1阶差商2阶差商3阶差商-2012171217-8115371由上例知，于是有练习已知函数表(见下表)，试用牛顿插值公式求，并计算的近似值。x132f(x)121解：列出差商表：xi0阶差商1阶差商2阶差商11320.52132.5例. 给定单调连续函数yf(x)的函数值表如下x-2-1123f(x)-10-511118求方程f(x)0的根的尽可能好的近似值解：分析如果直接运用插值公式，可以求得4次插值多项式。从而可以得到一元4次方程。然而我们没有可靠的办法直接解高次方程。因为函数yf(x)单调连续，所以f(x)必存在反函数xf -1(y)利用已知函数值表可知y=f(x)-10-511118xf -1(y)-2-1123建立差商表ykf -1(yk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商102510.2110.3333330.0121211120.10.0145830.0012721830.1428570.0025210.0007440.000072得到牛顿插值特别注意：反插值只有在y = f (x)为单调函数才能使用。例.已知函数表 xi012yi8-7.5-18求函数yf(x)在0，2上零点的近似值解：由于yi是严格单调的，可用反插值求其零点。可先求出插值多项式，并令y0yi8-7.5-18xi012练习. 给定单调连续函数yf(x)的函数值表如下x-2-1123f(x)-10-511118求方程f(x)0的根的尽可能好的近似值解：利用函数值表f(x)-10-511118xf -1(y)-2-1123建立差商表ykf -1(yk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商102510.2110.3333330.0121211120.10.0145830.0012721830.1428570.0025210.0007440.000072得到牛顿插值练习2 已知函数表 xi012yi8-7.5-18求函数yf(x)在0，2上零点的近似值解：由于yi是严格单调的，可用反插值求其零点。可先求出插值多项式，并令y0yi8-7.5-18xi012例. 给定函数yf(x)的函数值表如下，已知该函数是一个多项式，试求其次数及x的最高幂的系数x012345f(x)-7-452665128解：构造差商表如下xkf (xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0714325933262161465399105128631210由表知，函数的三阶差商均为1，故多项式的最高次数为3由牛顿插值公式得f (x)73（x-0）+3（x-0）(x-1)+（x-0）(x-1) (x-2) x3+2x-7故 x3的系数为1例 求一个次数不高于3的多项式P3(x)满足下列插值条件x123f(x)2412f(x)3解：设P2(x)满足 P2(1)2，P2(2)4，P2(3)12，则有P2(x)3x2-7x+6为求得P3(x)，根据插值条件知，P3(x)应具有下面的形式P3(x)P2(x)k(x-1) (x-2) (x-3)，这样的P3(x)自然满足：P3(xi)= f (xi)由P3(2 )=3P3(2 )= P2(2 )+k(2-2) (2-3)+ (2-1) (2-3)+ (2-1) (2-2) = P2(2 )k = 3 P2(2 ) = 5 k = 2 P3(x)P2(x)2(x-1) (x-2) (x-3) 2x3-9x2+15x-6 作业 1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式x012f(x)129f(x)32. P55 11题3. 证明方程ex+10x20在区间0，1内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过106，试问需要二分区间0，1多少次？ 4. 设xt451.01为准确值，xa451.023为xt 的近似值，试求出xa有效数字的位数及相对误差练习 用牛顿插值法求的近似值第二章例 试构造求积公式使其代数精度尽可能高，并证明构造出的求积公式是插值型的。解：设原式对于f=1，f=x精确，可列方程 这样构造出的求积公式是设 易知拉格朗日插值基函数分别为， 故所求积公式是插值型的。练习：用两种方法计算试构造形如 的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度。解 按题设原式是插值型的，故有同样，容易计算出 ，于是有求积公式由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜到它可能有3阶精度。事实上，对于原式左右两端相等。此外，容易验证原式对不准确，故所构造的求积公式确实有3阶精度。特例：当n=1的牛顿-柯特斯公式为：梯形公式当n=2 时 牛顿-柯特斯公式为：辛普森(Simpson)公式 当n=4 时 牛顿-柯特斯公式为：柯特斯公式这里xk =a+kh (k=0,1,4), h =(b-a)/4练习1 用n=6牛顿柯特斯公式计算定积分的值(下列数据表作为参考) nC0(n)C1(n)C2(n)C3(n)C4(n)C5(n)C6(n)641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840解：h=(b-a)/n=1/6，xi=0+i/6=i/6练习2 分别利用梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式计算积分的值解：（1）梯形公式（2）Simpson公式（2）柯特斯公式练习3 当n1，2，3时，分别用牛顿柯特斯公式计算积分的值。解： 取当n1时，当n2时，当n3时，练习1 试检验下列求积公式的代数精度。解 记 因为 当时左右两端不等，故所给求积公式仅有三阶精度。练习2：判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解 这里关于拉格朗日插值基函数直接求积知因此所给求积公式是插值型的。按定理1，含有2个节点的求积公式至少有1阶精度。再考察，原式左端，而右端，左右两端不相等。因此所给求积公式仅有1阶精度。例 取9个等距节点（包括区间端点）分别用复化梯形公式和复化辛甫生公式求积分的近似值（取6位小数）解：易知 列表如下xkfk复化梯形公式组合系数复化辛甫生公式组合系数04110.1253.938426240.253.764706220.3753.506849240.53.200000220.6252.876405240.752.560000220.8752.265487241.0211对复化梯形公式对复化辛甫生公式练习 利用n5的复化辛甫生公式计算积分的近似值.分析：n5，需要25111个点的函数值，h=(1-0)/5=1/5，然后计算。解： 区间长度为b-a=1, n5，h=1/5=0.2所需节点xk=0+kh (k=0,1,5),在每个小区间xk-1, xk中还要计算例. 依次利用n8的复化梯形公式和n4时的复化辛甫生公式计算定积分，已知函数 的数据如下表0123401/81/43/81/21.000 000 00.997 397 80.989 615 80.976 726 70.958 851 056785/83/47/810.936 155 60.908 851 60.877 192 50.841 470 9解 : 小结：判断一种算法的优劣，计算量是一个重要的因素。由于在求的函数值时，通常要做许多加减乘除四则运算，因此在统计求积公式的计算时只要统计求函数值的次数用复化求积法。取用梯形公式（18）求得再取用复化公式辛甫生公式（19），又得比较上面两个结果，它们都要提供9个点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别很大，同积分的准确值0.9460831比较，复化梯形方法的结果有两位有效数字，而复化辛甫生公式的结果却有六位有效数字。复化辛甫生公式是一种常用的数值求积方法。为了便于编写程序，可将求积公式(19)事先改写成下列形式例. 用变步长梯形公式计算定积分 .解：我们先对整个区间0，1使用梯形公式.对于函数，有，而，据梯形公式计算得：然后再计算中点的函数值，从而据 有 .以此类推 这样不断二分下去，二分10次可以得到比较精确的值0.9460381.练习：用变步长梯形公式计算积分，要求解：设，应用变步长梯形公式有取例6.1 用中心差商数值微分公式计算函数在x=2处的一阶导数解：，当x=2时，有h0.0010.0050.010.050.10.510.35000.35000.35000.35300.35350.35640.3660第三章例1 求解初值问题 解 为便于进行比较，本章将多种差分方法求解上述初值问题。这里先用欧拉方法。求解方程(3-8)的欧拉格式具有形式取步长，计算结果见下表。0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321例2 用欧拉方法计算初值问题的解函数在x = 0.3时的近似值。（取步长h0.1，小数点后至少保留4位） 解：欧拉格式为：由练习：用梯形格式求解初值问题，取步长h0.2，小数点后至少保留五位解：梯形格式为，于是由计算得思考题对初值问题试证明用梯形格式所求得的近似解为： (其中h为步长)证明：梯形格式为，于是 而，故得例 用欧拉预-校格式求初值问题，要求取步长h0.2试计算y(1.2)及y(1.4)的近似值（小数点后至少保留五位）解：于是有由计算得练习 用欧拉预-校格式求初值问题，要求取步长h0.5，计算结果保留6位小数。解：将h0.5，代入，于是有由计算得练习 试写出欧拉预报-校正格式。练习 试写出欧拉预报-校正格式。第四章 例 用方程的迭代解法求方程 的一正根，要求根的 近似值稳定至小数点后5位。解：设 在区间0，1上有根 在区间0，1上有唯一实根取，将 改写成 ，建立迭代公式 进行迭代： 根的近似值为 0.56714练习 用方程的迭代解法求方程 在附近的一根。如建立的迭代公式，其迭代过程是收敛的。如建立 （）的迭代公式，则有 会越来越大，不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的，纵使进行了千百次迭代，其结果也是毫无价值。例. 用不同的迭代公式求方程 的正根（） 解 设，可以将改写成不同的等价式，由此可构成不同的迭代式。（1） , （2）,（3）,（4）,很明显，迭代法（1）、（2）不满足的条件，其迭代法发散；迭代法（3）、（4）满足的条件，均局部收敛，且（4）比（3）收敛得快。练习 设，要使迭代过程xn1=j(xn)局部收敛到，求取值范围。解 由在根邻域具有局部收敛时，收敛条件 例 用牛顿迭代法求方程x x10的一个实根，精度要求10-6 解：原方程同解变形为xlgx10，令f (x)xlgx1f (2)2lg210，f (2)f (3)0 x（2，3）注意( loga x )=1 / (xlna)，并且f (3)与同号牛顿迭代法收敛.取x03，计算，得x12.526710，x22.506228，x3x42.506184最后取实根x*2.506184练习 讨论用牛顿迭代法求解 在附近的收敛性，若收敛，用牛顿迭代法求其解。要求答案 取。例. 用单点弦截法解方程，要求。解：，易知根区间为0.5，0.6， 所以取（0.6，）为不动点，即取x0=0.6，x1=0.5，代入下式 得x2=0.565 32，x3=0.56709经5次迭代后得到x4=x5=0.56714，满足条件取。例. 用双