（信号与信息处理专业论文）方向性数字图像表示及去噪算法研究.pdf

中文摘要 在目前的信号表示方法中小波变换法己被广泛接受 然而小波在高维 例如 二维 应用中表现出了局限性 这是因为小波仅对零维奇异值的目标函数是最优 基 在一维或更高维奇异性上 不是最优基 因此能够克服小波上述缺点的具有 方向性的图像表示方法就成为人们寻求的目标 在近几年对方向性图像表示方法 的研究中 脊波 曲波 c o n t o u r l e t 变换方法由于具有固定的变换形式和灵活的 方囱选择性而逐渐成为各种方向性图像表示中的佼佼者 本文首先对这些变换方法进行详细地研究和讨论 包括原理 构造方法 性 能 应用领域等 在此基础上 开发了简化计算的小波基矢量构造方法 并将其 应用于改进的有限域脊波变换 在对c o n t o u r l e t 方向滤波器的研究中 结合全相 位数字滤波 通过构造方向模板以及图像扭转和风扇滤波迭代的方法 得到了两 种新型的方向滤波器组 这两种全相位方向滤波器组不对图像下采样 保留了图 像方向的细节信息 具有更好的方向选择性能且在恢复时 不需要重建滤波 方 法简单 在对c o n t o u r l e t 变换的分级研究中 建立了一种全相位分级方法 由于 全相位子带分解的优异性能 使得这种分级方法优于拉普拉斯金字塔分级方法 将全相位分级方法同全相位方向滤波器相结合 形成了一种新型的全相位 c o n t o u r l e t 离散交换 本文研究了方向性表示方法在图像去噪中的应用 首先 总结了各种图像去 噪的方法 重点介绍了小波去噪的各种算法 通过比较各种图像表示方法的图像 去噪效果 得到了有意义的结论 即本文提出的改进有限域脊波变换方法适用于 具有直线特征的图像去噪 而全相位c o n t o u r l e t 在对自然图像 尤其是细节较多 图像去噪上性能优异 关键词 小波基矢量 脊波 曲波 全相位方向滤波器 c o n t o u r l e t 图像去噪 a b s t r a c t a m o n gt h ep r e s e n ti n l a g er e p r e s e n t a t i o n s w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nh a sb e e n a d o p t e d 谢d e l y h o w e v e r i nh i g hd i m e n s i o n s s u c ha st w od i m e n s i o n s w a v e l e t s e x p o s ea ni n h e r e n tl i m i t a t i o n i ti sb e e a n s ew a v e l e t sa l eo p t i m a lb a s e si nc a t c h i n g z e r o d i m e n s i o ns i n g u l a r i t i e sb u tn o tf o ro n e d i m e n s i o no rh i g h e rd i m e n s i o n s s i n g u l a r i t i e s t h i sd i s a p p o i n t i n gb e h a v i o ri n d i c a t e st h a tm o f ep o w e r f u ld i r e c t i o n a l i m a g er e p r e s e n t a t i o n sa r en e c e s s a r yi nh i g h e rd i m e n s i o n s i nr e c e n tr e s e a r c h e sa b o u t d i r e c t i o n a li m a g er e p r e s e n t a t i o n s r i d g e l e t c u r v e l e ta n dc o n t o u r l e tg r a d u a u ya a c c e p t e df o rt l l e i rf i x e dt r a n s f o r m sa n d f l e x i b l ed i r e c t i o n a li m a g ee x p a n s i o n s bt h i sd i s s e r t a i o n f h s t l yt h ea b o v et r a n s f o r m a t i o nm e t h o d sa r os t u d i e di nd e t a i l i n c l u d i n gt h e o r i e s c o n s t r u c t i o nm e t h o d s p e r f o r m a n c e s a p p l i c a t i o nf i e l d sa n ds oo n d u r i n gt h ep r o c e s so f r e s e a r c h t h i sd i s s e r t a t i o nh a sd e v e l o p e dw a v e l e tb a s ev e c t o r st o s i m p l i f yt h ec o m p u t a t i o na n dh a sp r o p o s e dt h ei m p r o v e df i n i t er i d g e l e t t h e nb a s e d o nt h ed i r e c t i o n a lf i l t e rb a n ko fc o n t o u r l e ta n da l lp h a s ed i 百t a lf i l t e r s t o w c o n s t r u c t i o nm e t h o d so ft h en o v e la l lp h a s ed i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k s a p d f b a t e a c q u i r e dr e s p e c t i v e l yb yc o n s t r u c t i n gd i r e c t i o n a lt e m p l a t e so rb yr o t a t i n gi m a g e sa n d i t e r a t i n gf a nf i l t e r s n o tc o n s i d e r i n gs u b s a m p l e t h e s et w of i l t e rb a n k sr e t a i nm o r e i m a g ed e t a i l sa n db e t t e rd i r e c t i o ns e l e c t i v i t y a st ot h ei m a g er e c o n s t r u c t i o n t h e o r i g i n a li m a g e c a nb eo b t a i n e d o n l yb ya d d i n ga nd i r e c t i o n a li m a g e sa n d r e c o n s t r u c t i o nf i l t e ri s u n n e c e s s a r y f u r t h e r m o r e a n a l l p h a s e m u l t i s c a l e d e c o m p o s f f i o nm e t h o di sp r o p o s e dt os u b s t i t u t et h el a p l a e i a np y r a m i da p p l i e di nt h e o r i 百n a lc o n t o u r l e t t oc o m b i n ei tw i t ha p d f b an o v e la l lp h a s ec o n t o u r l e td i s c r e t e t r a n s f o r mi sa c c o m p l i s h e d f t n a l l yt h i sd i s s e r t a i o n t n n m a r i z e sa l ls o r t so fi n l a g ed e n o i s i n gm e t h o d sa n d p r o v i d e st h er e s u l t sa n dc o m p a r i s o n so fa l ld e n o i s i n gm e t h o d s t h ec o n c l u s i o ni st h a t i m p r o v e df i n i t er i d g e l e tw a n s f o r ma d a p t st od e n o i s oi n l a g e sw i t hl i n e a ls i n g u l a r i t i e s a n da l lp h a s ec o n t o u r l e th a se x c e l l e n tp e r f o r m a n c e si nd e n o i s i n gn a t u r a li m a g e s e s p e c i a l l yt h o s e 1 i t l lm o r ed e t a i l s k e yw o r d s zw a v e l e tb a s ev e c t o r r i d g e l e t c u r v e l e t a l lp h a s ed i r e c t i o n a lf i l t e r b a n k c o n t o u r l e t i m a g ed e n o i s i n g m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得叁鲞盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 新收帮签字日期 一彳年 2 月2 2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 墨叠盘星有关保留 使用学位论文的规定 特授权鑫鲞盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文作者签名 郭旭静 导师签名 委盘1 主 签字日期 凶p 口歹年 2 月2 2 日签字日期 硼 年j 2 月z 二日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 方向性图像表示方法研究的意义和国内外现状 视觉活动是人类最重要的基本活动之一 人们在日常生活 社会活动 工作 学习 科研生产中 无时无刻不在进行着视觉活动 视觉信息是人类获取外部知 识 了解世界的主要途径和重要形式 在许多情况下 没有任何其他形式比图像 所传递的信息更丰富和真切 二十世纪九十年代以来 数字技术和多媒体数据通 信迅猛发展 对图像的各种处理包括压缩 滤波 特征提取 图像增强和图像复 原 包括去噪 变得非常重要 而解决这些问题的关键就是如何有效地表示图像 或视觉信息 图像表示的有效性是指对兴趣目标能够用稀疏的描述来表示出其中关键的 信息 那么 图像有效表示方法应当具有什么样的特点呢 首先来看一下人类的 视觉系统 视觉的大脑皮层反应可以通过以下几个方面来表征 定位性 定向性 和带通性 最近o l s h a u s e n 和f i e l d 1 在寻找图像稀疏表示的实验中 产生的基 图像具有非常类似于上述视觉皮层的特点 实验表明有效的图像表示方法应当是 一个基于局部的 定向且多率的表示 理想的图像表示方法应当具有以下几个特 点 1 多率性 表示方法应当能够成功地估计图像 从粗分辨率逐步过渡到高分 辨率的版本 2 定位性 表示方法中的基本元素应当在空域和频域同时定位 例如 小波 变换1 3 小冗余 对于一些场合 比如 图像压缩 表示方法应当形成一个有较 少冗余的框架 当然在一些需要保留较多图像细节的情况下 比如医学图像 冗余性的要求可以降低 4 方向性 表示方法应当包括在不同方向上定位的基元素 而不是像采用 可分离小波变换那样只有几个方向 5 各向异性 要捕捉图像中的光滑曲线 表示方法应当包括具有不同长宽 比的形状的基元素 天津大学博士学位论文 在目前的图像表示方法中小波变换法已被广泛接受 并在静止图像压缩编码 标准j p e g 2 0 0 0 中成功地应用 小波对于处理一维分段光滑信号提供了一个非常 稀疏或者说有效的表示方法 而小波在高维应用中却表现出了局限性 分析将图 像进行二维小波变换后得到的细节图像 即高频部分 其小波系数表现为在强 度上与周围区域有着强烈对比的点 即图像的边缘 值得注意的是这些有意义的 系数的位置表现出几何可见的关联性 它们形成了简单的曲线 因此 二维小波 变换在抓住边界点方面是有效的 但是沿着这些边界曲线没有看到光滑性 即这 些点仅是一些孤立的点 而没有形成光滑的边界曲线 这个缺点的根本原因是因 为小波仅对于零维点奇异值的目标函数是最优的基 而图像的边界通常是光滑的 曲线 具有一维奇异性 因此并不是最优基 另外 从上面理想的图像表示方法 的特点分析 小波变换具有前三个特点 而不具备方向性和各向异性的特点 因 此基于小波变换的图像表示方法在图像压缩和图像去噪上都不能十分有效地处 理边界 这就促使人们研究在高维情况下更有力的表示方法 寻找一种具有方向 性和各向异性特点的图像表示方法 目前 通过多级和定向的方法研究出的几个比较著名的系统有 c o r t e x 2 s t e e r a b l e 金字塔 3 二维定向小波 4 b r u s h l e t 5 和复小波 6 这几种表示方法 都存在一个主要的问题就是没有通过迭代滤波器与连续域联系起来 而且每一级 不容许有不同的方向数 最近又出现直接从图像的几何规则性入手的思路 最有 代表性的就是b a n d l e t 7 变换 在这个变换中 图像被分为足够小的正方形区域 直到只包含一条曲线 在包含这条曲线的区域 规定其方向是沿着瞳线切线的方 向 这样建立起一个动态的线分割的集合 将图像分割为一些不连续的曲线 与 之类似从图像几何性入手的变换还有 b e a m l e t 8 w e d g e l e t 9 e d g e p r i n t 1 0 等 这些变换都需要一个边界检测的步骤 再跟随一个白适应的表示方法 不具 备固定的变换方法 另外 国内对于图像方向性表示方法的研究刚刚起步 并受到了越来越多的 关注 2 0 0 2 年以后每年关于这方面的文章正在逐年递增 1 1 卜 2 5 其中 成礼智 焦李成等学者对这方面的内容已有一定深度的研究 并发表了有关内容的综述和 应用文章 然而 国内还没有人开发出新的带方向性的图像表示方法 因此 本文致力于在已有基础上改进或开发新型的图像表示方法 本文研究 所针对的表示方法有 脊波 r i d g e l e t 曲波 c u r v e l c t c o n t o u r l e t 这些表示 方法具备固定的变换方法 而且都应用了有效的迭代滤波方法 因此能够适用于 第一章绪论 更宽的图像处理任务 正在逐步成为目前带方向性图像表示方法的代表 1 2 本文研究工作及主要创新点 本文研究工作主要针对目前有应用前景的几种图像表示方法 脊波 曲波 c o n t o u r l e t 的算法 在此基础上 开发了改进的有限域脊波变换算法 全相位 方向滤波器及基于全相位方向滤波器的全相位c o n t o u r l e t 算法 开发了基于矩阵 变换方法的小波基矢量 将其应用在改进的有限域脊波变换中提高了计算效率 由于目前各种基于方向性的图像表示方法的主要应用领域是图像去噪 因此 本 文总结了各种图像去噪的方法 并将所开发的几种方法应用到图像去噪中 收到 了良好的效果 本文的主要创新点和研究工作如下 1 在总结了小波理论 引入用于提高小波计算速度的矩阵算法基础上 提出 了小波和小波包基矢量的构造方法 构造了9 7 小波和正交小波的基矢量 并分析了其性质 2 详细研究了基于几何分析的图像方向性表示方法 脊波变换和曲波变换 包括其构造 性质 特征等 针对有限域脊波变换需要构造长度为素数的 正交基的缺点进行算法改进 提出了一种改进的有限域脊波变换 将其应 用在具有直线特征的图像去噪上性能优异 3 开发了两种新型的基于全相位数字滤波的全相位方向滤波器组 一种是利 用图像扭转和风扇滤波的迭代方法 另一种是设计多级全相位方向模板来 达到方向选择的目的 4 给出一种新的全相位多尺度分级方法 同上述全相位方向滤波器组相结 合 构成新型的全相位c o n t o u r l e t 离散变换 将其应用于自然图像去噪中 去噪后的图像在信噪比和保留图像细节方面都比较理想 5 对各种去噪方法进行了研究 尤其对小波去噪方法进行了讨论 并将本文 开发的图像表示方法应用于图像去噪 性能优异 天津大学博士学位论文 1 3 论文组织结构 本文以图像的方向性表示和去噪方法为主要研究对象 对几种典型的方向性 表示方法进行原理介绍 理论分析 全面地论述了对其改进的设想和实现过程 并给出了小波基矢量 全相位方向滤波器及全相位c o n t o u r l e t 等新方法 本文共 分七章 具体内容安排如下 第一章介绍图像方向性表示方法研究的意义以及国内外研究现状 概述本文 创新点和论文结构 第二章总结小波变换的理论 给出小波基矢量的构造方法和利用双正交小波 和正交小波构造的基矢量 第三章总结脊波变换和曲波变换的原理和方法 针对有限域脊波变换的缺 点 提出了改进的具体方法 第四章介绍迭代方向滤波器组的思想和新型全相位数字滤波器的原理 在此 基础上 给出了由两种不同途径构造的全相位方向滤波器组的结构 第五章总结c o n t o u r l e t 变换的结构 原理和方法 介绍了新的全相位分级方 法 同第四章中全相位方向滤波器组相结合 得到了新型的全相位c o n t o u r l e t 离 散变换方法 第六章总结各种图像去噪的方法和优缺点 详细介绍了小波阈值去噪方法 并给出应用前几章的图像表示方法进行去噪的结果和比较 第七章对全文的研究工作进行最后总结 包括存在的和需要深入解决的问题 及发展前景 第二章小波变换的矩阵算法及其基矢量的构造 第二章小波变换的矩阵算法及其基矢量的构造 在众多为克服傅立叶分析的局限性的改进中 小波变换是影响最为深远的数 学分析方法 本章介绍了小波变换和小波包变换的基础理论之后 重点对周期延 拓小波变换的矩阵算法进行了研究 并给出了计算小波及小波包分解和重构基矢 量的方法 在后续的章节中将利用本章所得到的基矢量进行计算 2 1 小波基础理论 2 1 1 短时f o u r i e r 变换 s t f t 给定一个信号 p 为了得到局部时间信号的频率含量 最初用对信号 f 开 窗达到 即对f t 用窗函数截取其中一段 窗口移动 并进行f o u r i e r 变换 这 就是窗口f o u r i e r 变换也称为短时f o u r i e r 变换 如图2 1 所示 1 5 图2 1 窗口f o u r i e r 变换 当窗函数取为g a u s s 函数 g a o 5 孺1 84 4a o 2 1 以g a u s s 函数作为窗函数的短时f o u r i e r 变换称为o a b o r 变换 吧 钟力 j f t g t b e d t 2 2 二 由子1 9 4 f b d b 1 所以l g 曲d b 叻 可见 g 似 在t b 的周围使 的f o u r i e r 变换局部化 也就是说f t 的 g a b o r 变换的集合 g f f s b e 胄 精确分解厂的f o u r i e r 变换夕 使夕 的信息局 部化 设 瓯 p 器 一 则 天津大学博士学位论文 簖力 g f f 厩 2 3 用窗函数吒在t 6 研究厂 f 得到的时域窗为 吼 拓 2 4 窗函数既在频率r m 的邻域观察信号之谱 7 得到频域窗为 吒2 寿 q 巧 时域窗和频域窗之积为 a x a i 1 z 这样g a b o r 变换就有一个时间 频率窗 卜矗a 叼 卜赤彤击 2 6 对于这个窗函数 窗的面积为 4 a 瑶 d t s i 2 固定不变 时间频率窗的关系 如图2 2 所示 b l6 2 f 图2 2g a b o r 变换的时间频率窗图 可见 对于g a b o r 变换固定的a 不同的时间段 频率段 窗的形状不变 改变 窗的形状也改变 但窗的面积不变 仍为2 a 决定了时间 频率分辨 率 但时间和频率分辨率是相互矛盾的 一旦a 确定了 那么时间一频率窗在高 频 低频的形状是单一的 但在实际应用中 高频时要求时间分辨率高 窗口为 窄矩形 低频时要求频率分辨率高 窗口为宽矩形 而此种变换高频 低频不能 兼顾 因此需要引入可变窗 即小波 2 1 2 连续小波变换 对于时间一频率局部化 是否能选择存在可变窗函数呢 定义2 1 如果 c r 五 满足容许性条件 鞲锄 协7 则y 称为一个基小波 关于基小波y 的积分小波变换1 w t 又称为连续小波变换 定义为 第二章小波变换的矩阵算法及其基矢量的构造 吼胞驴南弘 气 2 8 其中f e r r 口 6 r 且口 0 公式 2 8 中a 为尺度因子 b 为位移因子 令 瞅卜南 学 q 母 则公式 1 3 3 可写为 0 e f c a b j 2 1 0 假定 与驴均满足窗函数的条件 妒的中心在t 半径为a 设矿的中心为 田 半径为 t 那么时间频率窗为 6 讲 一以 6 耐 以 等一 1 p i c o 丢 2 1 1 日0 中心频率生t 时间窗宽度2 a a 上 频率窗宽度2 立个 即对于高频 时间窗自动变窄 频率窗变宽 口个 中心频率卫j 时间窗宽度2 以 t 频率窗宽度2 兰生j 即对于低频 时间窗自动变宽 频率窗变窄 i w t 时一频率窗如图2 3 所示 2 1 3 离散小波变换与框架 岛 q f 屯 a z t 图2 3m 叮时 频窗 为了在离散化的情形下能够精确重建原信号 需要对基小波做进一步的限 制 首先在频域上离散化 使得口 可1 引入了二进小波 二进小波必须满足稳 定性条件 定义2 2 二进小波 若存在常数a b 使得 天津大学博士学位论文 o 4 畛 2 叫w l 口 2 1 2 几乎处处成立 则 e r 胄 称为二进小波 式 2 1 2 称为稳定性条件 二进小波存在一个二进对偶矿 用其傅立叶变换定义 多 w i 丝丝 2 1 3 l 妒 2 4w i 则二进小波变换为 w 6 音 1 2 r 厕硒跏 2 1 4 反演公式为 m 2 爹 k 小 势 2 恤6 廊 2 1 5 其次是在时间域与频率域上均离散化 即6 导 k e z 6 0 称为采样率 此时需要对二进小波做进一步的限制 这就需要引入框架条件 令 上 2 5 妒 2 t k b o 2 1 6 定义2 3 对于采样率为b o 的小波函数n j 如果对于任意 r 冠 彳 l 厂 町 扩 s l l f f l 2 1 7 对于常数o 4 b m 成立 则称缈生成r r 的一个框架 当a 占时称为紧 框架 为了克服框架下信号表示可能出现的冗余现象 波兰数学家 r i e s z 提出 了一种描述线性无关框架的有效工具 定义2 4 r i e s z 基 一个函数 r r 成为一个r 函数 如果由公式 功 2 7 7 2 f 2 7 x k j k e z 2 1 8 定义的妒肚 功在下述意义上是 置 的一个基 脚 l k z 的线性张成在r r 中是稠密的 并且存在正常数a b 0 一 b o o 使 秕酬陟 一m b 浯 对于所有二重双无限平方可和序列p mj z 2 成立 文献 4 9 证明在r i e s z 基条件下 小波变换离散化可以完全重建原信号 定义2 5 一个r 一函数称为是一个r 小波 或小波 如果它具有一个对偶 痧 p 胄 在此意义上 吩j j 与钫j j 满足对偶性关系式 站妒j l 妒i 勘 6j 芦h j k l me z 根据r i e s z 基的定义 有限能量信号 可以由离散小波变换来重构 即 厂 功 蚧j 乃 杉 其中 第二章小波变换的矩阵算法及其基矢量的构造 隧落罐耄 2 1 4 多分辨分析 2 2 0 多分辨分析理论是小波m a l l a t 分解重构算法的基础 多分辨分析的思想出现 在小波理论建立之前 在计算机视觉应用中 b u t t 和a d e l s o n 引入了多分辨率金 字塔 它的思想是先处理低分辨率的图像 再在需要时处理高分辨率的图像 这 形成了多分辨率分析的基础 定义2 6 多分辨分析 空间r r 中一列闭子空间以 称为r 俾 的一个多 分辨分析 m r a 如果 j 满足下列条件 1 单调性 v j l v 矿 ls v j z 2 逼近性 n o u 矿 l 2 r j e z j e z j 3 伸缩性 f x 巧 f 2 x 巧 l w z 4 平移不变性 f x 营f k v k z 5 r i e s z 基存在性 存在庐 力 使轨 z 构成 的r i e s z 基 妒 x 称 为尺度函数 m r a 的概念给出了人类视觉系统对物体认识的数学描述 实际上 如果把以 当作某人在某种尺度下所观察到的该物体的信息 则当尺度增加到j l 时 他所 观察到的信息为巧 此时可以认为他进一步地靠近所观察到的信息 因此 所 表示的信息应该比h 更为丰富 总之 尺度越大 距离目标越近 观察到的信 息应越丰富 由于物体的局部细节有时候显得更为重要 因此对补空间的研究从 而了解细节显得非常重要 根据巧亡巧 以及 巧 杉建立尺度函数的关系 式 由于妒 功生成一个多分辨分析慨 功 亡巧 所以妒 曲可以由 浙 力 甩 z j 表示 从而得到两尺度方程之一 曲 n 2 x 一功 n m o 序列 p 为唯一 2 序列 称为两尺度序列 2 2 1 天津大学博士学位论文 现在考虑 关于巧的补空间 根据多分辨分析定义 v o 满足 k v o 小波 力生成 由于 力 w o c 巧 则可得到两尺度方程之二 y 吼 2 x n 序列溉j 为唯一p 序列 引入如下记号 p z 丢艺成 q z i 1 芝p 矿其中z e m 则可得到如下两个定理 定理2 1 给定序列切 白 1 定义矩阵m z 为i 翟 髟 一功 妒 x n n e z 是巧的一个r i e s z 基 如且仅如纠 1 存在 蝴4 瞄黧 其懒力 端棚加鬻 2 2 2 2 2 3 2 2 4 定理2 2 如果在上式的矩阵m o 对于所有h 1 可逆 那么生成m 7 z 1 中符号 g 力 日 力的序列舀 阮 1 进而对于所有x r 有 与妒之间的分解关 系 妒 2 x d 1z 9 2 妒 x 一栉 工一以 l e z 2 2 5 肛哪 分解关系可进一步写为 庐 2 x z 昙e a o x 一功 玩 x 一功 j z 2 2 6 其中 i 1 吒 三k 2 1 5 小波分解重构算法 多分辨分析理论在非平稳信号中作用尤其重要 因为非平稳信号的频率随时 1 0 第二章小波变换的矩阵算法及其基矢量的构造 间而变化 这种变化可以分为慢变和快变两部分 慢变对应于非平稳信号的低频 部分 代表信号的轮廓 而快变部分对应于信号的高频信息 代表信号的细节 为了将信息的低频与高频部分分开处理 m a l l a t 系统提出了信号的塔式多分辨分 解与重构的著名算法 即m a l l a t 算法 对于某一尺度七 由p 求奴 和奴 的算法称为分解算法 其中k 抽 为原始数字信号在 j 1 尺度下的离散逼近 h j 和溆 j 为经过一级分解后在尺 度k 下的离散逼近信号和离散细节信号 分解关系式可写为 1n 一一 dn 一一 d n m c j c 一l 呻口 一2 c n 吖 图2 4m a l l a t 算法的分解过程 图中c k c k d k 或 重构关系式可写为 q n 一甜矗 吼一曲4 t e z 其中协 和 磊 为分解滤波器系数 滤波器系数的关系为 蟊 i l n p l 和吼 一1 1 a 重构过程可用图2 5 表示 2 2 7 2 2 8 溉 和 吼 为重构滤波器系数 分解和重构 2 2 9 天津大学博士学位论文 d c 一 2 1 6 小波包分解重构算法 d 一l c 一l c 图2 5m a l l a t 算法的分解过程 由于小波分析的尺度函数是按二迸制变化的 因此在高频段其频率分辨率较 差 而在低频段其时间分辨率较差 小波包分析能够为信号提供一种更加精细的 分析方法 它对小波分析没有细分的高频部分进一步分解 并能够根据被分析信 号的特征 自适应地选择相应的频带 使之与信号频谱相匹配 提高时频分辨率 这样就需要将尺度子空间巧和小波子空间 用一个新的子空间川统一起 来表征 定义 u j c l o s z 2 r 1 2 j 2 2 i x j 七e z z z 2 3 0 显然町 巧 以 杉 而哝 一 u 0 0 叼 可以证明 嵋 2 n 1 2 3 1 下面简要描述一下小波包的分解与重构算法 设g 功 町 则 彰 x 矿蜘 2 i x t 2 3 2 f 因为 饶 噶o 臂1 所以g 知 x 一 占 2 力 彰2 1 算 即 彤 4 帆 2 j 4 1 工一 衫m 妒2 2 x 1 彤 2 n l 2 7 x 1 2 3 3 f1 由研却 求研却 和研翔 1 的算法称为小波包分解算法 第二章小波变换的矩阵算法及其基矢量的构造 f 钟 2 瓦 砟1 4 影 一 羔磊一 以山 k 由留勘 和研 2 1 求 d f f v 功 的算法称为小波包重构算法 一 k 卅 乳 酬舢1 j k 2 1 7 信号边界延拓方法 2 3 4 2 3 5 在实际问题中 利用双尺度方程得到的低通或者高通滤波器系数是有一定长 度的 那么对于图像这种只有有限采样点构成的信号 必须对边界外适当范围的 点作延拓才能实施滤波运算 数据的边界延拓方式总结起来主要有5 种 可以证 明 利用m a l l a t 算法对周期延拓和对称延拓均能够保证信号的精确重构 4 9 下 面列举这两种延拓的具体形式 设待处理的信号d 阼 的长度为n 0 s i l n 1 周期延拓 i y 力 c 功 0 s n n y 0 c 0 加 其它 2 对称延拓 2 3 6 对称延拓比周期延拓情况复杂一些 将奇 偶对称和对称 反对称进行组合 可以得到四种情形 a 偶数对称延拓以 一昙为中心对称延拓 jj 功 c 功 0 1 1 n j d c 3 一2 n 一1 n s n 2 n 2 3 7 y 功 c n 2 其它 b 偶数反对称延拓以n 三为中心反对称延拓 fy 栉 c 功 0 筇 n y 吣 一c 3 n 一2 n 1 n s 万 2 n l y 功 c n 2 n 其它 c 奇数对称延拓以n 1 为中心对称延拓 2 3 8 天津大学博士学位论文 ly 哟 c 哟 0 s 1 1 n 疗 c 3 n 一2 n 一2 行 2 n 1 2 3 9 i 苁稽 厅 2 n 1 其它 d 奇数反对称延拓以n 一1 为中心反对称延拓 fy n c m 0 1 1 n j 聆 c 3 2 n 一2 n 疗 o e s 纠 在参数组 口 6 中 口表示脊波的尺度 u b 分别对应脊波的方向和位置 s 1 是d 维空间中的单位球 面 参数空间 上的测度胁定义为 肛耖 扣d u d b 3 1 是表示s 1 的表面积 d u 表示s 上的一致概率测度 引入记号 口i i 妒掣 天津大学博士学位论文 定义3 1 脊波 若函数妒 矗寸r 满足 以 蛘咖锄 c s 乏 则称 是d 维空间中的容许神经激活函数 a d m i s s i b l e n e u r a l a c t i v a t i o n f u n c t i o n 由满足容许条件 3 2 的函数 生成的脊函数盯 口一y 仁 二 就称为脊波 r i d g e l e t 对于矿 s 丑 来说 容许条件 3 2 等价予消失矩条件 p y 力威 0 k o l 生轴一l 3 3 这与小波函数的消失矩性质类似 与小波不同的是 上式表明这里消失矩的阶数 随空间维数d 的增加而增长 脊函数的支撑集是局部化在窄带b r 4i 缸 善一b i q 口 q q 口 a 3 1 9 定义3 5 基尺度为s 的单尺度脊波变换就是将函数 表示成系数反和口 的组合 即 f 尻吼 口 o d q 3 2 0 k 以上为局部脊波变换的定义 事实上 在对离散数据做局部脊波变换时 为避免 分块效应 常常采用平滑地重叠分块法 方法为将原始的f i x n 大小的图像分割为 为b k 6 大小的重叠块 每相邻两块有b 2 x b 大小为重叠部分 这样图像在一个方 向上要计算2 n l b 个块 如果在行和列的方向都进行这样的重叠划分 那么图像的 每个点在划分后就同时属于四个块 也就是引入了冗余 数据量的大小是原来的 四倍 重叠划分加权的方式有两种 1 对每块上原始数据点加权 然后进行脊波 变换 重构后将加权的四个数据相加就得到原始值 2 脊波分解时仍采用原始值 在重构前再对各个子块上加权 设g 力处的像素点值为厂 厶力 该点所属的四个子块为且 第三章脊波 曲波及有限域脊波变换的改进算法 岛 屯 马g 蜀 i 2 办 其中 b 2 i 2 b 2 办 b 2 四个 子块的长度 b 那么像素点的值可以通过以下方法计算得到 z 国 2 i 2 i b s j o 国 1 2 i 2 b b 2 i 2 五 2 i 2 b s 3 瓴 办 国 1 2 如 b b 2 矗 f i d 缈 2 五i b a 国 1 2 j 3 i b a 3 2 1 其中脚 曲是平滑非增权函数 并且满足国 o 1 1 0 国 o 0 和对称性质 国 c o o 一曲 1 文献 3 2 中国 c o s 2 属 2 3 2 2 曲波变换 c u r v e l e t c a n d 6 s 和d o n o h o 在1 9 9 9 年开发了曲波变换 曲波变换与小波变换类似 都 有尺度和位置参数 与小波不同的是 它引入了方向参数 因此曲波变换在表示2 维或更高维数据时 表现出优于小波的一些性能 比如各向异性 那么曲波变换 是如何实现的呢 d o n o h o 在1 9 9 9 年介绍了一种数字曲波变换应用在图像上的实 现方法 这也是现在应用最多的方法 数字曲波变换实际上就是多尺度局部脊波变换 它的基本思想是首先将图像 分解为一系列小波子带 然后对每个子带进行局部脊波变换 每一级中块的大小 可以不同 曲波分解的实现步骤 1 子带分解 定义一组子带滤波器族e o j o 为频率域 2 2 2 2 上 的带通滤波器 2 2 s 2 2 是离散曲波变换的非标准特性 将目标函 数 或图像 滤波为一系列的子带 一 只 1 2 3 2 2 2 平滑分割在二进区域q 七l 2 k l 1 2 2 2 七2 1 2 上 定义平滑窗函数 即局部脊波变换中的权函数 口d 而 x 集合 用 窗函数在q 区域内平滑分割 得到 卜 国口 力q c o 3 2 3 3 再归一化为使平滑分割后支撑区仍为 0 1 2 可将平滑分割后的结果 进行再归一化 g 口 国口 力 q q 3 2 4 其中 力 鼍 x 2 2 5 f 2 5 一k l 2 而一k 2 天津大学博士学位论文 4 脊波分解对分割并归一化后的每一块进行离散脊波分解 曲波重构的实现步骤 1 脊波重构对每一块进行脊波重构 2 再反归一化每一块再反归一化为原数值范围 2 t o g qq q 3 2 5 3 平滑整合将在分解中由窗函数分割的部分整合 d o q h q 9 e 已 3 2 6 4 重组合并各个子带 恢复原始数据 注 在曲波予带分解时 频率域的划分为 2 2 7 2 2 2 是与脊波变换有关 如果想 从子带s 上分割出脊片断 那么分割的宽与长的关系大约为w i d t h l e n g t h 2 只有 满足上述条件 才能分割出脊片断 使曲波变换具有各向异性的特质 图3 7 曲波变换流程图 第三章脊波 曲波及有限域脊波变换的改进算法 在实际的数字实现应用中 先将予带分解 再对每个子带施行空间分割并且 分别应用脊波变换 文献中 3 2 认为at r o u s 算法非常适合于数字曲波变换的子带 分解 at r o u s 是法语名称 是由h o l s e h n e i d e r k r o n l a n d m a r t i n e t m o r l e 和 t e h a m i t e h i a n 提出的 类似于非下采样的双正交小波变换 定义3 6 设小波分解和重构滤波器分别为 j l g 和蓐 季 数据序列为c c n 尺度为 那么分解算法为 低频逼近 e j n c i 疗 矗 栉 3 2 7 高频细节 d 帕 c 押 g h 3 2 8 重构算法为 勺 胛 p 0 嘭 栉 嘭 功 藓 3 2 9 在文献 3 2 中利用3 阶b 样条作为尺度函数 通过子带分解 算法将拜 疗的图像分解为 j q 岛 3 3 0 j l 其中巴是最粗尺度 上的低频分量 溉j l i 2 v 是各个尺度上的子带分量 设初始子块尺寸为风 令蜀 占 对于 1 2 循环进行以下操作 a 用块b 和权函数m 分割子带 并对每个块做脊波变换 b 果r o o d j 2 1 那么b 2 b 否则b j b j 需要注意的是对低频分量c 不进行脊波变换 曲波变换在子带分解 平滑分块及脊波变换中都会产生数据冗余 如果脊波 变换中小波变换不下采样 那么这种算法进行曲波变换的冗余因子为1 6 j 1 如 果下采样 则这种算法进行曲波变换的冗余因子为8 d 1 上述曲波变换的流程图 如图3 7 所示 3 3 有限域脊波变换 f i n i t er i d g e i e tt r a n s f o r m 在实际应用中 离散脊波变换算法仍存在问题 由于脊波变换的射线性质 直接应用基于连续脊波变换公式的离散交换需在极坐标下进行内插 这样就导致 变换的结果或者是数据冗余或者不能完全重建 为了能够得到一种能完全重建且非冗余的交换 m i n h n d o 和m a r t i n v e t t e r l i 在2 0 0 3 年提出了基于有限域的脊波变换 即f r i t 2 9 3 有限域脊波变换为数字 天津大学博士学位论文 图像引入了一族正交且定向的基 不仅可逆 而且没有冗余 尤其适合具有直线 特征的图像 有限域脊波变换是建立在有限域r a d o n 变换的基础上的 3 3 1 有限域r a d o n 变换 f r a t 有限域r a d o n 变换是将所有的像素定义为一组特定的线的集合 这些线定义 在欧几里德几何中的有限域z 上 它是所有可能的直线的一个子集 是图像的一 个小冗余框架 设p 为素数 z p 0 1 2 一1 是模p 的有限域 另定义z o 1 2 p 是 模p l 的有限域 那么z 就为p x p 的有限格状平面 在有限格状平面z 上 实 函数 f 的有限域r a d o n 变换定义为 棚 f 础r c k o2 砉 彩g 力 3 3 1 其中 丘j 代表在网格平面z 中斜率为k z 当k p 时 代表斜率无限大或垂 直的直线 和截距z z 的直线上点的集合 即 厶 f 力 蔚 l m o d p f z j o s k p 和 l p f z 3 3 2 如果网格区域z 中的点用图像的像素值来表示 则图3 9 示出了在p 7 时的厶 在欧几里德几何中 仿射平面z 上的一条线可以由斜率和截距唯一地表示 文献 4 4 证明了 按公式 3 3 2 的方法可定义p 2 p 条直线 其中每条直线包 含p 个点 而且当p 为素数时 在平面z 中 两个不同的点仅属于一条直线 两 条不同斜率的线仅相交于一点 而对于任一给定斜率 都有p 条斜率相同的线完 全覆盖整个平面z 在有限域r a d o n 变换中 为使正反变换规范化 在公式 3 3 1 中引入因子 l p 为了能将有限背投影算子 f b p 应用于有限域r a d o n 反变换中 我们先 抽取出图像 f 的平均值 使其成为零均值图像 最后在反变换后再将均值加 回 因此以下只讨论零均值的图像 吒 可以看作是图像厂 f 的一组投影 那么对于均值为零的图像有 气 m 力 0v k 乙 3 3 3 i o q p e 露 其中 z 代表斜率为k 截距为 的直线 第三章脊波 曲波及有限域脊波变换的改进算法 公式 3 3 3 也解释了有限域r a d o n 的冗余性 在每一方向上有p 1 个独立 的系数 总共有p 1 个方向 再加上图像的平均能量值 所以在有限r a d o n 域上 有 一o p 1 i p 2 个独立的系数 因此f r 盯没有冗余 另外 从图3 8 中可看到 有限域r a d o n 变换的线有 环绕 效应 这是由 于有限域r a d o n 变换将图像看作周期为p 的图像导致的 后面将会介绍几种限制 这种效应的方法 图3 8 当p 7 时的有限域r a d o n 变换 按从上到下 从左到右的顺序 图像依次代表后从0 到7 每个图像中 不同线上的点用 不同的灰度级别区分 零均值图像f r a t 的反变换可以用f b p 算子 有限背投影 计算 f b p 定义为 所有经过给定点的直线的r a d o n 系数的和 即 她如 f b 聪护隶器 删固哦 其中只 代表通过点o z 的所有线的集合 即 鼻 j 七 一k m o d p k e z u 办f 由于在有限几何域z 中每两点仅位于一条直线上 3 3 4 3 3 5 所以集合只 中除了点 f 力位 天津大学博士学位论文 于所有p l 条直线上 其余每一点都仅位于一条直线上 将公式 3 3 1 代入公式 3 3 4 可得 f b p i j 亡 厂f p 半j x b i t r