梯形--附答案.doc

梯形 一、四边形的分类： 我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，因此我们要了解四边形的分类。 二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点研究等腰梯形的性质和判定。 1.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2.直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 3.等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 4.等腰梯形的性质： （1）由定义知两腰相等，两底平行； （2）等腰梯形在同一底上的两个角相等； （3）等腰梯形的两条对角线相等； （4）等腰梯形是轴对称图形。 5.等腰梯形的判定： （1）用定义判定； （2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线： 1.延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。 2.平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 陈老师数学工作室陈老师，毕业于华中师范大学，获得应用数学和物理双学位。从事数学教学工作10年时间，带过5届初三毕业班，在全国专业数学刊物上发表过40余篇数学论文，武汉市青山区优秀青年教师。现在深圳专注于针对中学数学个性化教学的研究与推广。旨在为更多的学生提供具有专业性、针对性的数学辅导。帮助提高学生学习数学的兴趣，从而提高学习成绩，破解数学学习瓶颈。本资料以及博客/imtomer所发的资料都是陈老师在日常教学中自己编写的资料，主要是针对学生补习提高使用，同时可供学生在家自学。开设课程：初一补差班（60分以下 ） 初一提高班（6080分） 初一培优班（80分以上）初二补差班（60分以下 ） 初二提高班（6080分） 初二培优班（80分以上）初三补差班（60分以下 ） 初三提高班（6080分） 初三培优班（80分以上）小学六年级升学冲刺班 小学奥数上课地址：深圳市福田区红岭中路园岭新村20栋2楼(红岭中学正对面）上课方式：2-3人小组课（个别特殊情况可预约一对一）。上课时间：周一到周五晚上，周六、周日全天香港学生可在周一到周五白天上课详细信息请访问/imtomer陈老师（数学）热线：075522209920习榜样：外国语 唐一 从初一上学期期中考试后，数学成绩由班级前十到期末年级前十实验中学 宋浩 从初三跟陈老师学，成绩从40多分提高到中考成绩B+实验中学 刘博 从初三跟陈老师学，中考成绩A深圳中学 卓 从六年级跟陈老师学，数学重点班前十深圳中学 万 数学联赛全国一等奖碧波中学 杨丽 从六年级跟陈老师学，数学成绩一直班级前2名红岭中学 李佳 从初二跟陈老师学，成绩从30多分提高到月考68分红岭中学 曹昊 从初三跟陈老师学，中考成绩A+红岭中学 康 从初三跟陈老师学，中考成绩A碧波中学 魏依 从初一下学期跟陈老师学 现在数学成绩班级前5名红岭中学 余志 从初三跟陈老师学，从50多分提高到，中考成绩B+红岭中学 李泰 从初三跟陈老师学，中考成绩A红岭中学 秦孝 从初三跟陈老师学，中考成绩A。更多成功案例请点击/imtomer/blog/category/%D1%A7%D4%B1%BC%F2%BD%E93.作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。 4.平移一条对角线作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD， BE等于上、下底的和 （2）S梯形ABCD=SDBE 5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。 作用：可得ADEFCE，所以使S梯形ABCD=SABF。 6.添加梯形中位线 作用：能应用梯形中位线的有关性质。 四、例题： 研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。 例1.如图在RtABC中，BAC=900，BD=BA，M为BC中点，MN/AD交AB于N。求证：DN=BC。 分析：此题是证线段的“倍半”问题，我们知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，已知CAB=900，若连结AM，则AM=BC，只要证明AM=DN即可。于是考虑证明四边形ANMD是等腰梯形即可。 证明：连结AM， CAB=900，M为BC中点， AM=BC， MN/AD且DM与AN不平行， 四边形ANMD是梯形， 又 BD=BA， BAD=BDA， 梯形ANMD是等腰梯形。 DN=AM（等腰梯形对角线相等） DN=BC。 说明：“等腰梯形对角线相等”这一性质，又给出一个证明线段等的方法。 例2.已知如图，梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，BD=5cm，高DE=4cm。求：S梯形ABCD。 分析：已知梯形的高，要求梯形面积，只需求出上、下底的和。平移一条对角线，即作DF/AC交BC延长线于F，这样AD=CF，只要求出BF的长即可。 解：过D作DF/AC交BC延长线于F， AD/BC， AD=CF， BF=BC+CF=BC+AD， ACBD， BDDF， DBF是Rt， 在RtBDE中，BE2+DE2=BD2，（勾股定理） BE2=BD2-DE2，又 BD=5，DE=4， BE=3， 在RtDEF中，DE2+EF2=DF2 (1) 在RtDBF中，BD2+DF2=BF2 BF2-BD2=DF2 (2) 由(1), (2)两式可得 DE2+EF2=BF2-BD2， 设EF=x，则BF=3+x， 42+x2=(3+x)2-52 化简得 3x=16 x=，即EF=， BF=BE+EF=3+=, S梯形ABCD=(BC+AD)DE=BFDE =4=(cm2) 所求梯形面积是cm2。 说明：在解题过程中我们为求EF的长，使用了一个重要的数学思想方法方程思想。即利用方程求线段的长。 用方程思想解决几何中的计算问题，是用代数的方法解决几何问题的重要思路，也是数形结合数学思想应用的一个方面。使用方程思想的关键是适当设元，然后利用等量关系列出方程。实际问题中存在着大量的等量关系，如在此题中，RtDEF和RtDBF，共用一条边DF，因此借助勾股定理分别把DF2用其他线段的平方表示出来，这样就找到了等量关系即BF2-BD2=DE2+EF2，再合理设出未知量，就得到了方程。请同学们在今后的学习中注意使用方程思想。 例3.已知：梯形ABCD中，DC/AB，AC=CB，ACB=900，BD=AB，AC、BD相交于E。求证：ADE是等腰三角形。 分析：由已知得到ACB是等腰直角三角形，若作CHAB于H，可得CH=AB，即CH=BD，作DFAB于F，可得DF=CH=BD，可得出1=300，从而通过计算角度的方法可使问题得到解决。 证明：过D作DFAB于F，过C作CHAB于H， AC=BC，ACB=900， CAB=450，AH=HB， CH=AB， 又 DC/AB， DF=CH=AB， BD=AB， DF=BD，又 DFB=900， 1=300， BDA中，BD=AB， BDA=(1800-1)=750， AED是ABE的外角， AED=1+2=300+450=750， BDA=AED， AD=AE， ADE是等腰三角形。 说明：此题通过计算角度的方法得到角等，从而得到等腰三角形。通过计算的方法证明几何题也是数形结合思想的应用。此题的证明过程中还充分体现了由已知条件出发，顺藤摸瓜，步步深入，寻求答案的发散思维过程。希望每位同学都能在学习过程中独立思考，不断总结经验，把所学知识融汇贯通，不断提高分析问题，解决问题的能力。 五、练习： 1.等腰梯形两底长为4cm和10cm，一底角为450，求：它的面积。 2.梯形ABCD中，AB/CD，CD=4，BC=4，AD=8，C=1350，求梯形面积。 3.已知：如图，梯形ABCD中，AD/BC，B+C=900，M、N分别是AD，BC的中点。求证：MN=(BC-AD) 4.如图，已知梯形ABC