八年级预科班数学资料.doc

英才教育中心 地址： 长沙市劳动西路兴威新嘉园1705 1708 1709室 电话： 85142857备课：邓老师八年级数学暑假预科资料学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：对大小的估算及如何理解是非负数以及被开方数是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时一.创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）二.合作交流，归纳概念：讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得120之间整数的平方吗？一般地，如果一个正数的平方为，即，那么正数叫做的算术平方根，记为，读作根号，其中叫做被开方数(a0) 另外：0的算术平方根是0注意：被开方数为非负数.探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。设大正方形的边长为，则由算术平方根的意义，即大正方形的边长为讨论：在哪两个整数之间？思考：你能举些象这样的无限不循环小数吗？三.应用迁移，巩固提高例1. 求下列各数的算术平方根100 0.0001 0 点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：4有算术平方根吗？例2.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例3. 若，求的值。拓展：已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算术平方根四.课堂跟踪反馈1、 非负数的算术平方根表示为_，225的算术平方根是_，0的算术平方根是_2.2、 的算术平方根是_, 的算术平方根_3、 若是49的算术平方根，则=（ ）A. 7 B. 7 C. 49 D.494、 若，则的算术平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D .5、 若，求的值。6、 若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。7、 一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_第2课时创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是49？ 2、平方得81的数有几个？分别是什么？ 3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数（引入新课）合作交流，解读探究自主探索：独立看书，自学教材想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？ 什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？ 根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？ 什么叫开方？如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，用符号表示为：若；只有非负数才有平方根；求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。练一练：求下列数的平方根100 0.25 0总结归纳：1、 正数有两个平方根，它们互为相反数2、 0的平方根是03、 负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1、平方根与算术平方根之间的区别定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或12、平方根与算术平方根之间的联系 二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根0的平方根和0的算术平方根都是0应用迁移，巩固提高例1 说出下列各数的平方根0.04 例2 说出下列各数的平方根各是什么？64 0 点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例3 计算 总结反思，拓展升华 小结 1、平方根的定义及符号表示 2、平方根与算术平方根的关系拓展 已知，求：的平方根课堂跟踪反馈1、判断下列说法是否正确 5是25的算术平方根 （ ）是的一个平方根 （ ）的平方根是4 （ ） 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）2、3、若，则，的平方根是4、的平方根是（ ） A. B. C. D. 5、给出下列各数： ，其中有平方根的数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个6、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。7、求下列各数中的值 8、 若，求、的值10、如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数第3课时立方根一、课前预习与导学 （1）1的立方根是_，-1的立方根是_，0的立方根是_（2）求下列各数的立方根：（1）-； （2）-（-0216）； （3）10-3二、新课讲解（一）创设情境 导入新课导入 现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题你能得到一个数，使这个数的立方等于216吗？从这个问题中可以抽象得到一个什么数学概念？（二）合作交流 解读探究如果某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，那么当它的体积增大1倍时，这个正方体的棱长是多少？棱长为1的正方体的体积是1，设体积为2的正方体的棱长为，那么一般地，如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果，那么叫做的立方根，数的立方根记作，读作“三次根号”。例如：4的立方是64，所以4是64的立方根，记作，又如，是2的立方根，记作。定义求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。例1：求下列各数的立方根，0， 总结立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。例2：求下列各式的值，例3：求下列各式中的，例4：已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积等于原正方体的体积的8倍，求要做的正方体的棱长。三、小结掌握立方根的定义和性质；会求一个数的立方根；理解并掌握公式拓展的立方根是_，平方根是_若，则叫做的_，叫做的_四、课堂检测 1、立方根等于本身的数是 （ ）A、1 B、1，0 C、1，0 D、以上都不对2、若一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是（ ）A、1 B、1，0 C、0 D、0，13、下列说法中，错误的是（ ）A、64的立方根是4 B、立方根C、的立方根是2 D、125的立方根是54、下列说法正确的是（ ）A、1的立方根与平方根都是1 B、C、的平方根是 D、5、求下列各数的立方根，512，729，6、求下列各式中的的值，课堂跟踪反馈1、 当 时，有意义；当 时，有意义2、 的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 3、 8的立方根与的一个平方根的和等于 4、 一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是-立方根是 -5、 解下列方程 6、已知，且，求的值第4时实数一基础知识回顾1无理数的定义是：（ ）叫做无理数2. 有理数的定义是：（ ）叫有理数 3有理数与无理数的区别：有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。4.常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。(3) 有特定意义的数，如：=3.14159265(4).开方开不尽的数。如：。二实数1.概念：_和_统称为实数。2.实数的有关性质： a与b互为相反数=a+b=0 a与b互为倒数=ab=1 任何实数的绝对值都是非负数，即0互为相反数的两个数的绝对值相等, 即=正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.3.实数分类;（1）定义分：（ ）（2 大小分：（ ）4.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系5.实数的大小比较（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。6、实数中的非负数及其性质在实数范围内，正数和零统称为非负数我们已经学过的非负数有如下三种形式任何一个实数a的绝对值是非负数，即0任何一个实数的平方是非负数，即0；任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即0非负数有以下性质：非负数有最小值零 有限个非负数之和仍然是非负数 几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。三知识回顾1算术平方根。（1） 定义：（2） 性质：算术平方根具有双重非负性： 被开方数a是非负数，即a0. 算术平方根本身是非负数，即0。 也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数。 0的算术平方根是（ ）。（ ）没有算术平方根。2平方根（1） 定义：（2） 非负数a的平方根的表示方法:（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。( )只有一个平方根，它是( )。( )没有平方根。说明：平方根有三种表示形式： ， ，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意： 。3.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：定义不同 个数不同： 表示方法不同：联系：具有包含关系：存在条件相同： 0的平方根和算术平方根都是0。4开方运算： （1） 定义： 开平方运算： 开立方运算：（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。5立方根（1） 定义：_.（2） 数a的立方根的表示方法:_（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_两个重要的公式四强化巩固一、判断题（1）带根号的数一定是无理数（ ）； （2）无理数都是无限小数（ ）；（3）无理数包含正无理数、0、负无理数（ ）；（4）4的平方根是2（ ）；（5）无理数一定不能化成分数（ ）； （6）是5的平方根（ ）；（7）一个正数一定有两个平方根（ ）； （8）25的平方根是（ ）（9）互为相反数的两数的立方根也互为相反数（ ）；（10）负数的平方根、立方根都是负数（ ）；（11）无理数是无限小数（ ）；无限小数是无理数（ ）；开方开不尽的数是无理数（ ）；两个无理数的和是无理数（ ）；无理数的平方一定是有理数（ ）； 二、填空题（12）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）： 0 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： （13）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：3.14 0 0.15 有理数集合： 正数集合 无理数集合： 负数集合 （14）36的算术平方根是 ，1.44的平方根是 ，11的平方根是 ， 的平方根是，的算术平方根是 ， 是 的平方。（15） 的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。（16） 满足的整数是 .（17） 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27, 则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .（18）. 若误差小于10, 则估算的大小为 .（19） 比较大小: 4.9; .(填“”或“”或“0）的图象 函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利 例2：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温如何随时间t的变化而变化（1）.你从图象中得到了哪些信息？ 结论： 一天中每时刻t都有唯一的气温与之对应可以认为，气温是时间t的函数 这天中凌晨4时气温最低为-3，14时气温最高为8 从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态 我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少 如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律 例（3）.下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家其中x表示时间，y表示小明离他家的距离 根据图象回答下列问题： 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ 小明给菜地浇水用了多少时间？ 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ 小明给玉米地锄草用了多长时间？ 玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？ 结论： 由纵坐标看出，菜地离小明家11千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟 由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟 由纵坐标看出，菜地离玉米地09千米由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟 由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟 由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟所以平均速度为：225=008（千米分钟）三例题讲解在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数请画出这些函数的图象 y=x+05 y=（x0） 解：y=x+05 从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值列表如下：x-3-2-10123y-2.5-1.5-2.53.5 根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+05随之增大 y=（x0） 自变量的取值为x0的实数，即正实数 按条件选取自变量值，并计算y值列表：x051152253354y126432.421.715据表中数值描点（x，y）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象 从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小画图步骤： 第一步：列表在自变量取值范围内选定一些值通过函数关系式求出对应函数值列成表格 第二步：描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点 第三步：连线按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来 四实战练习：（1）下图是一种古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度人们根据壶中水面的位置计算时间用x表示时间，y表示壶底到水面的高度下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？ （2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？ （提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值） 解：由题意可知，开始时壶内有一定量水，最终漏完，即开始时间x=0时，壶底水面高y0最终漏完即时间x到某一值时y=0 故（1）图错 又因为壶内水面高低影响水的流速，开始漏得快，逐渐慢下来 所以（3）图更适合表示这个函数关系 图（1）曲线表示y是x的函数 因为过（a，0）画y轴平行线与图形曲线只有一个交点，即x=a时，y有唯一的值与其对应，符合函数意义 图（2）曲线不表示y是x的函数 因为过点（a，0）画y轴平行线，与图中曲线有三个交点，即x=a时，y有三个值与其对应，不符合函数意义函数图象（2）教学目标1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象； 2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题教学重难点:通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想教学过程一提出问题，创设情境问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）（1）. 图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？（横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离）（2）. 如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？(P的坐标是(3,90)表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米)我们能否从图象中看出其它信息呢？二导入新课看上面问题的图，回答下列问题：(1)小强让爷爷先上多少米？(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？分析 (1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段由于从小强开始爬山时计时的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用时间，得x0可在线段上找到这一点A（如图）A点对应的函数值y60(2) y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值可分别在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线，可发现交y轴于同一点Q（因为两人爬的是同一座山）, Q点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶解 (1)小强让爷爷先上60米；(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶归纳 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义如图中的点P(3,90)，这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大，函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶三. 例题与练习例1 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系请你由图具体说明小明散步的情况分析 从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段线段OA：O点的坐标是(0,0)，因此O点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，y值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是(3,250)，说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点的坐标是(10,450)，说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表示小明已到家这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟解: 小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；2.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境练习1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：(1)从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是( )3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm(1)写出y与x的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)画出这个函数的图象4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示根据这个图象回答下列问题：(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？(2)小李何时第一次休息？(3)10时到13时，小骑了多少千米？(4)返回时，小李的平均车速是多少？函数的表示方法第四课时 教学目标 总结函数三种表示方法毛 了解三种表示方法的优缺点 会根据具体情况选择适当方法一提出问题，创设情境 师我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格写式子和画图象的方法表示了一些函数这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法 那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？ 这就是我们这节课要研究的内容 二导入新课问题：（1）表示函数的方法有哪几种.（2）各自的优点是什么？ A列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系B.解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系C。图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系 （3） 各自不足是什么？A列表法不如解析式法全面，也不如图象法形象；B。解析式法却不如列表法直观，不如图象法形象；C。图象法也不如列表法直观准确，不如解析式法全面（4）从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点填表：表示方法全面性准确性直观性形象性列表法解析式法图象法在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用 三 例题讲解 例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度t/时012345y/米1010051010101510201025 由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象 据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？ 解： 由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高005米，这样的规律 可表示为： y=005t+10（0t7）这个函数的图象如下图所示： 再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=005t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0057+10=1035 从函数图象也能得出这个值数 2小时后，预计水位高1035米提出问题： 函数自变量t的取值范围：0t7是如何确定的？ 2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？函数的三种表示方法之间是否可以转化？尝试练习： 用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数 用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数 解析：因为n表示的是多边形的边数，所以，n是大于等于3的自然数n3456m180360540720 由表可看出，三角形内角和为180，边数每增加1条，内角和度数就增加180故此m、n函数关系可表示为： m=（n-2）180 （n3的自然数） 因为等边三角形的周长L是边长a的3倍所以周长L与边长a的函数关系可表示为： L=3a （a0） 我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象 列表：a1234L36912描点、连线：四补充练习 甲车速度为20米秒，乙车速度为25米秒现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米求y随x（0x100）变化的函数解析式，并画出函数图象 正比例函数第五课时教学目标： 认识正比例函数的意义 掌握正比例函数解析式特点 理解正比例函数图象性质及特点能利用所学知识解决相关实际问题一 . 知识复习（1）函数的定义：一般的，在一个变化过程中有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（2）函数的三种表示方法：列表法图象法解析式法二.探讨问题1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大