花木成畦 一水护田——2005年全国高考数学试题大家评：上篇：接天莲叶无穷碧 映月荷花别样红.pdf

中学数学教学参考 2 fl 0 5 年 第 q 期 复 考劳 留h 3 寥 本刊试题研究组 岳建良 党效文 刘康宁 编辑 上篇 箍天莲叶无穷碧映月荷花别鞋红 2 0 0 5年 高 考 数 学 试 题 印 象 山东省东明实验中学 曹凤山 国家教育部考试中心及 1 4个有 自主命题权的省 直辖市命制的2 0 0 5 年高考数学试卷共 1 6套 文理共 2 9 份试卷 每套试题个性鲜明 独具匠心 似绽开的 花朵 争艳斗芳 让人大饱眼福 笔者以2 0 0 5年高考数 学试题为对象 探讨分析 并作评析 以期抛砖引玉 1 岸芷汀蓝 郁郁青青 1 1试卷结构的变化 2 0 0 5年高考数学试题变化最明显的是 试卷的结 构 以往的 考试说明 严格规定了选择题 填空题 解 答题三种题型的分数 比例 各题型分数的固定 带来了 题型 题量的相对稳定 试卷的结构模式 1 2 4 6 维持了较长时间 而 2 0 0 5年高考数学 考试大纲 中没 有以上的要求和设置 试卷的结构发生了较大变化 在 8套 1 6份试题中得到体现 以下只对 2 0 0 5年高考数 学理科试题进行分析 不涉及文科试题 I I I 从题量上看 表 I 各试卷各题型题量对比表 天津 江 类型 全国 I 广东 湖 海 重庆 苏 辽 宁 江 西 福 北 题型 建 湖北 山东 乐 浙江 南 选择题 1 2 8 1 0 l 0 4 1 0 l 2 填空题 4 6 4 5 l 2 6 6 解答题 6 6 6 6 6 6 5 合计 2 2 2 0 2 0 2 1 2 2 2 3 0 2 0 0 5年拥有自主命题权的江西 山东 安徽没有 单独命题 采用了全国卷 I 采取了相对稳健的做法 第一年单独命题 与全国卷采取了完全相同的结构 其 他已有单独命题经验的省 直辖市采取了一些新的变 化 有 5套试题 北京 广东 浙江 湖南 江苏 总题 量有所改变 上海 天津 重庆卷在总题量不变的同时 各题型题量与以往的试卷结构也不相同 其主要是增 加了填空题 从总体上看 试题数量在减少 减少的主要是选 择题 只有江苏卷采取了减少解答题 增加填空题的 做法 1 1 2 从 分值上看 表 各试卷各题型分值对比表 型 全圊 天津 匦 幅 建 湖 北 鬻 重 庆 J东 辽 宁 尿 选择题 1 2 x 5 8 x 5 1 0 x 5 同全 4 x 4 同 锚喃卷 分 6 0 4 0 5 0 醚 1 6 填空题 4 4 6 5 4 5 5 4 同天津 1 2 4 6 4 同全 分 1 6 3 0 2 0 20 重庆卷 4 8 2 4 国 卷 6 题 5 题共 6 题共 6 题共 6 题共 解答题 6 题共 踯分 共7 4 分 6 6 分 8 6 分 7 6 分 8 4 分 总体趋势是增加主观题的分值 减少客观题的 分值 江苏卷减少了一道解答题 虽解答题只有 6 6分 但主观题的分值没有减少 仍保持在 9 0分水平上 不同试卷中相同题型赋分分值不等 在选择题 上上海卷为 4分 其他试卷均为 5分 而北京卷 广东 卷填空题 比往年分值有所提高 提高到 5 分 另外值得一提的是 在福建卷 天津卷中 首次出 了一行 祝各位考生考试顺利 的文字 让考生感到高 考试题有选拔功能的同时 有了人情味 这有利于减轻 考生的紧张情绪 多了一份关怀与和谐 维普资讯 毒 2 试卷解答题的分布 表 各试卷解答题统计 表 中学数学教学参考 2 0 0 5 年第9 期 类型 第一题 第 二题 第 三题 第四题 第 五题 第六题 晒数 导数 全 国 I 三角 函数 导数 立体几何 向量 数列 概率 应用题 向量 解析儿似 数学 纳法 全 国 函数 不等式 数列极限 概率 应 用题 立体几何 向量 向量 解析几何 函数 导数 全国 概 率 应用题 立体几何 向量 i角 向量 数列 解析几 何 函数 导数 不 等式 北京 函数 导数 立体几何 向量 概率 应用题 解析几何 数列 函数 不 等式 福建 三角 概率 应用题 函数 导数 立体几f u I 向量 向量 解 析几 何 数列 不等式 概率 数列 广东 三角 立体几何 向量 解析几何 函数 解析几何 应用题 湖北 向量 函数 解三角形 慨率 应用题 立体几何 向量 解析几何 数列 不等式 概率 函数 数列 不等式 湖南 三角 立体几何 向量 向量 解 析几 何 函数 导数 应用题 应用题 江苏 解 析几何 概率 应用题 立体几何 函数 数列 不等式 概率 线性 规 函数 导数 辽宁 立体几何 三角 应用题 数列 不等式 向量 解 析几何 划 应用题 不等式 数 列 蛹数 山东 向量 三角 概率 应用题 函数 导数 立体几何 向量 解 析几何 不等式 上海 立体几何 向量 复数 解析几何 数列 应用 函数 向 数列 函数 天津 解 三角形 数列极限 立体几何 函数 应用 解析几何 向量 函数 导数 浙江 三角 函数 不等式 解析几何 立体几何 向量 概率 应用题 解析几何 数列 重庆 三角 概率 应 用题 函数 导数 立体几何 向量 向量 解析几何 数列 不等式 江西 函数 不等式 三角 函数 导数 概率 应用题 立体几何 向量 数列 不等式 解析几何 在布局形式上 上海卷继续保持先填空题 再选择 后解答题的模式 其他试卷模式都保持稳定 变化 铰大的是试题内容的编排 全国卷 辽宁卷 上海卷都 改变了以往代数 三角题开头的格局 分别出现了锯析 几何 立体几何和概率应用题 全国 打破了几十年 的固定模式 进行了有益的探索 在 压轴题 中 最后 一 题中涉及函数内容的有 8道题 占到一半 涉及圆锥 曲线的有 4道 涉及不等式的有 7道 有 4道涉及数列 内容 倒数第二题中 涉及圆锥曲线内容的有 8道 函 数 数列 不等式内容分别占4道 3道 3道 另有一道 是概率问题 即 压轴题 仍然是函数 圆锥曲线 数列 不等式内容在唱 主角 2 保持稳定锐意创新 2 1 稳定的大局来自命题原则 从表珊可以看出 在独立命题的同时 以往的命题 理论和经验得到了继承和发扬 重点知识重点考查 在知识交汇点设计试题 加强考查中学基本的数学 思想方法 不单纯追求知识的覆盖率 等命题原则在 所有的试卷中得到充分体现 中学数学传统的主体内容 代数中函数 数列 不 等式 三角函数 立体几何中的直线与直线 直线与平 面 平面与平面的位置关系 解析几何中的圆锥曲线的 性质 直线与圆锥曲线的位置关系 新增内容中的向 量 概率与统计 函数极限与导数等内容在每份试卷中 都占有相当的比重 从知识块的组合来看 在 1 6份理 科试卷共 9 5道解答题中涉及函数 数列 不等式的分 别有 2 2道 l 8道 1 4道 涉及立体几何 解析几何的分 别有 1 8道 1 6道 其中新增内容中向量的工具地位最 为突出 直接考查或应用向量的有 2 2道 涉及概率 导 数 的分别有 1 4道 1 1 道 从具体问题来看 以 能力立意 已是命题者 自觉 追求的目标 如全国卷 I的理科第 1 7题 设函数 厂 s i n 2 一7 c 0 y 厂 图象的一条对称 轴是直线 罟 1 求 求函 数Y 厂 的单 调增 区间 11 I 证 明直线 5 r一2 f 0与 函数 y f 的图象不相切 单从知识点上看 涉及直线的 斜率 正弦函数的求导 导数的几何意义等 难度不大 但综合程度高 其中 1 1 I 的证明要具备一定的灵活性 对推理 运算能力有较高的要求 维普资讯 中学数 学教 学参 考 2 I H 5 年 第9 期 在知识的交汇点设计试题是今年高考题的一大亮 点 由于课程内容的变化 使知识的交汇点出现 r新动 向 如从概率统计中产生应用型试题 从导数应用中与 函数性质的联袂 从解析几何中产生与平面向量的联 系 立体几何 三角函数 数列内容中渗透相关知识的 综合考查 如三角与向量的结合 数列与不等式结合 概率与数列内容的结合 让人耳 目一新 2 2 创新的几个看点 2 2 1 题型 题量的调整与变化 见表 I 2 2 2内容设 置的创 新 随着新课程的实施 课程内容在发生变化 考查的 内容也会做出相应的调整 较明显的表现在解答题的 内容上 1 9 9 5年以来 的数学试卷 中 基本上保持了应 用题 一大一小 的模式 有一道涉及排列组合的客观 题 有一道解答题 而 2 0 0 5年湖南理科卷中安排了 两 大两小 l玛道应用题 分别涉及排列组合 抽样 概率 函数和数列 不等式等内容 辽宁理科卷的第 2 0题把 我们传统的应用题去掉了 包装 附上以概率 线性规 划为模型的应用题 广东卷的解答题中出现了两道解 析几何题 创新力度较大 2 2 3 题型 的创新 2 0 0 5年高考数学试卷中继续保持了探索型 开放 型 研究型等题型 形式上也有突破 如只猜不证 只算 不写等 填空题中出现条件 结论完全开放的设计 福 建卷 广东卷 湖南卷等出现了一题双空的填空题 题 型的创新 带来了新的理念 也必将促进教学的创新 3 提升新课程 推动新课改 国家教育部考试中心多次指出 高考命题要 关注 数学教育改革的进展 更加关注高中数学课程改革 的进展 了解使用新课程考生的实际情况 汲取新课程 中的新思想 新理念 使高考数学科考查更加反映数学 教育改革发展的方 向 在 2 0 0 5年的高考试题上已得 到印证 3 1 新增加的内容比例超 出课时 比例 考查逐步 深入 为了使得与时代发展相适应的新知识体系逐渐在 新教材中站稳脚跟 必然会增加对新增知识 内容的考 查力度 从表 可以看出 除个别试卷外 在解答题中 应用题基本上都是涉及概率 内容的问题 而出现频率 较高的三角 函数 不等式 数列问题又总是和导数相 联系 同2 0 0 4年一样 新增加内容所 占分值超出了其 所占课时比 另一方面 考查的层次也呈现逐步深入态 势 2 0 0 4年的新课程卷考查层次定位在容易或中档题 上 考查知识点大部分局限在知识块内部 而 2 0 0 5年 的考题在这些方面有了新的动向 如全国卷 I理科第 1 7题 江西卷理科第 7题对函数导数的考查 不是停 留在简单的层次 而是要充分理解导数的几何意义并 能够运用 辽宁卷理科第 2 0题考查内容涉及概率与线 性规划 并附以图表 符合现代生活的需求 同时引导 教师对新增内容的重视 研究 3 2 传统 内容 的 双轨 处理 在理科 1 6份试卷中 有 1 3道立体几何题明显给 出了空问坐标系的框架 只要有利用空问向量的意识 建立空间坐标系后就容易求解 即立体几何 问题大多 可以用向量作工具解决 兼顾 了 A B 两种教材版 本 而对函数 不等式 数列 圆锥曲线等问题大多需与 导数相联系 促进了新老内容的衔接 3 3 体现课改理念 探索考查的新方式 新课程的实施特别强调了创新意识的培养和研究 性学习的理念 而在高考中如何考查 如何体现 是摆 在命题者和高中教学过程中的新问题 2 0 0 5年高考数 学试题在这些方面做出了积极的探索 例 1 全国卷 理 1 2 计算机中常用的十六进 制是逢 1 6 进 1的计数制 采用数字 0 9和字母 A F 共 1 6 个计数符号 这些符号与十进制的数的对应关系 如下表 1 6进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 0进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 l 1 1 2 1 3 1 4 1 5 例如 用十 六进制表 示 E D 1 B 则 A B A 6 E B 7 2 C 5 F D B 0 此题以我们熟悉的十进制为基础 设定了十六进 制下的运算这一新颖的情境 以考查 学生迁移 类比的数学素质 创新意 识和能力 例 2 江西卷 理 7 已知函数 Y 厂 的图象如图 1所示 其中 是函数 f 的导函数 下面 四个图象 图 2 中 Y f 的图象 大致是 2 1 1 2 2 2 I 一 2 1 A B C D 图2 此题情境新颖脱俗 对形与数的转化和信息的加 工处理 都有深度和广度的要求 较好的体现了创新 维普资讯 4 D 意识 例 3 福建卷 理 l 6 把下面不完整的命题补充 完整 并使之成为真命题 若函数 L厂 dE 3 l c 的 图象与g 的图象关于 对称 则函数 r 不唯一 注 填上你认为可以成为真命 题的一种情形即可 不必考虑所有可能的情形 例 4 上海卷 理 2 1 对定义域分别是 D D 的 函数y f Y g 规定 f l g 当 D 且 r D 函数 h 厂 j 当 Dr H r D g 当 D 且 D 1 2 略 3 若 g a 其中 a是常 数 且 a 0 请设 计一个定 义域 为 R 的函数 y f 及一个 a的值 使得 h z c O s 4 x 并予以 证 明 例 3中条件 结论都是开放的 学生拥 有主动权 虽是探究 f H 考生亦可 避生就熟 去解答 例 4中结论 是开放的 而条件要考生 自己去探索 需考生加工信 息 调动储存 制定出合理的解题思路 仔细分析 这两 例对我们的研究性学习会大有裨益的 4 注重调控 平衡文理 由于文 理考生的教学内容以及后续发展需求的 不同 近几年在文 理科高考数学试题上都保持了一定 的差异 2 0 0 5年高考数学试题继承了以前的成功经 验 本文以全国卷为例 对文 理卷比较 了解调控方法 和量化指标 表 全国卷文 理科差异量化对比表 题型 相 同 不同 姊妹 相异分值 相异分 值权重 选择题 6 4 2 3 0 全 国 填 空题 2 l l 8 7 8 5 2 I 解答题 2 3 l 4 0 选择题 5 5 2 3 5 全 国 填空题 3 l 4 8 7 5 8 解答题 2 2 2 4 8 选择题 I I l 5 全 国 填空题 2 2 8 4 4 2 9 3 解答题 3 3 3 l 4 1 从定量上看 文理 区别最小的是全国 此 套试卷继续保持 2 0 0 4年全国卷 在文理差异上的风 格 即减少相同题 减少姊妹题 增加不同题 但不同题 的数量较上年有所减少 全国I 全国 两套试题在保 持一定量的不同题外 还出现了姊妹题 三套题三种模 中学毅学教学参考 2 O 0 5 年第q 期 式 同题 姊妹题的数量 分值各有不同 既号虑考 的水平 义从不同程度 进行文理差异调控实验的对 比尝试 4 2 从定性方面分 析 文理试 卷的 差异除换 题 姊妹题外 还以调整题序进行控制难度 即文Nt H l a的 题目在试卷中的排序不一致 相同的题 目出现在不同 的 l难度位黄 在姊妹题的处理上形式也不尽相同 如全国卷 I 第 2 题 文科题以多层设问 搭桥铺路 分散难度 步 步深入 理科题则单刀直人 需要考生 自我设计 合 理安排 又如全国卷 n文第 l 8题 理第 l 9题也体现出 相同的特点 另如全国卷 I 第 l 7题 文理的区别在第 三问上 旨在 调整 文理 的难 度 不同题 目的设 置