《信号分析与处理》备课教案(第三章)(2).doc

信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换上次课的回顾：（1）频域分析与频谱的基本概念；（2）任意的周期信号，可以用傅立叶级数进行展开，并具有“三角形式”和“复指数形式”的两种形式；三角形式: 复指数形式: （3）非周期信号，采用“傅立叶变换对”可进行傅立叶变换；傅立叶变换对 周期信号的频谱是“离散谱”；非周期信号的频谱是“连续谱”（4）常用或典型非周期信号的傅立叶变换-“频谱函数”；上次课思考题：1.为什么要对信号进行变换域分析？为什么要进行傅立叶变换？2.幅频特性和相频特性代表的是什么含义？意义何在？法国科学家傅立叶简介 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”。主要贡献一 1822年首次发表“热的分析理论”中，提出“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”。主要贡献二3.3.傅里叶变换的性质-信号“时域波形”与“频域频谱”的关系 通过学习我们已经知道，任一信号可以在时域中用时间函数表示，也可以在频域中用频谱函数表示。两者之间通过傅里叶正、反变换密切联系着，只要其中一个确定，即可唯一地确定另一个。在实际信号分析中，常常需要进一步研究信号在时域特性与频域特性之间某些方面的重要联系，如信号在时域中所具有的特性在频域中有何种反映，在频域中的某些运算在时域中对应于何种运算等等。这些性质的讨论，将有助于理解信号的时域与频域之间的对应关系和它们之间的转换规律，这对简化运算是很有帮助的。 下面介绍傅立叶变换的基本性质（共有八个重要性质，强调灵活运用），并举例说明其应用。一、线性特性 如果 那么例1：设， 求的傅立叶变换解：因为 ； 所以，例2：设，试求其傅立叶变换。解：因为 所以，二、奇偶特性 通常遇到的实际信号都是时间的实函数，但它们的频谱函数一般是复函数，下面着重分析实函数与其频谱函数的奇偶虚实关系。 设为实函数，则这里， 即：实部为的偶函数，虚部为的奇函数。若为实偶函数： 则为的奇函数 则， 此时频谱函数是的实偶函数。若为实奇函数： 则为的奇函数 此时则为的偶函数则， 此时频谱函数是的虚奇函数。例：设信号的波形如图所示，求其相应的傅立叶变换解：由图中可见，为实奇函数，根据上述为实奇函数的性质，可以直接套用公式，即得：三、对称特性 或者说， 特别是，若为偶函数，则例:设(时域)(频域)因此，由(时域) 注意为偶函数，为清晰起见这里的傅立叶变换符号我们用符号来进行表示。 具体对应关系如图所示。例2:试求抽样函数的频谱函数解：利用傅立叶变换的定义直接进行求解很不容易，但利用傅立叶变换的“对称特性”进行求解则很方便。 考虑宽度为，幅度为1的矩形脉冲函数，则有：，注意这是为自变量的频域函数。取，则上式变为：根据傅氏变换的线形性质，上式两边同乘以，可得： 为了清晰起见，这里我们描述的详细一些，设则， （在频域中）将用替换，得到时域信号根据傅氏变换的“对称特性”，可得：所以， 具体对应关系如下图所示。例3:利用傅氏变换对称特性求的傅立叶变换。解：考虑到双边指数信号的傅氏变换与此函数形式相象，即： 则， 注意：双边指数信号为偶函数技巧：利用“对称特性”进行傅立叶变换，就是由时域信号观察其形式与哪个频谱函数的形式基本相象，然后以这两个信号进行对称变换，实现求解。四、尺度变换特性 如果 那么特性如下：（1） 表明将信号在时间轴上压缩为原来的倍，而其频谱函数在频率轴上将扩展为原来的倍，且其幅度将减小为原来的。即在时域信号波形的压缩意味着在频域信号频带的扩展。（2） 表明将信号在时间轴上扩展为原来的倍，而其频谱函数在频率轴上将压缩为原来的倍，且其幅度将增大为原来的。即在时域信号波形的扩展意味着在频域信号频带的压缩。（3） 包含了信号的“扩展/压缩”与“反褶”两种变换。如对于的情况，表明信号在时域的反褶，也对应着其频谱函数在频域的反褶，即： 以矩形脉冲信号的尺度变换为例，变换图形如下图所示。感性体验：可以通过以不同于录音时的速度播放录音来体验这一特性的实际效应。（1）如果用较高的速度播放，即相当于，则压缩了时域信号，对应于频域中则拓展了频域带宽，因而可以感觉到实际音调的升高。（2）如果用较低的速度播放，即相当于，则拓展了时域信号，对应于频域中则压缩了频域带宽，因而可以感觉到实际音调的降低。例1： 五、时移特性 如果 那么 特性表明：若信号在时域内沿时间轴移动，相当于其在频域内乘以因子，即幅度谱不变，相位谱变换。例题：设，试求函数的傅立叶变换。解：因为，由图中可见：，而，所以，根据傅氏变换的时移特性，可得： 所以， 实际就是倍的信号，即，具体图形如右图所示。 以上讨论了傅立叶变换的“尺度变换特性”和“时移特性”，如果时域信号同时进行“时移”和“尺度变换”，则有下式成立：例：已知，试求信号的频谱函数。解：对照上式，可知：，所以，六、频移特性（亦称“调制特性”） 如果 那么 其中，为常数。该特性表明：信号频谱沿轴向左、右平移，就相当于信号在时域分别乘以因子和。例1：试求和的傅立叶变换。解：设，则有由欧拉公式： ，所以同理可得： 上述和的频谱图如下图所示。例2：试求和的傅立叶变换。解：设信号的频谱函数为，则式（1）同理可得：可见：时域信号乘以余弦信号或正弦信号之后，原频谱被一分为二，并各向左、右频移，在频域中的频移过程中幅频特性形状始终保持不变。 频移特性(或调制特性)广泛应用于通讯技术中，将原信号乘以较高频率的正弦/余弦信号进行调制，在时域中的表现就是由改变了正弦/余弦信号的幅度，在频域中则使的频谱产生平移(移动到高频端)，这样的信号再发射出去就可以传播到很远的空间，这也就是发射调幅广播的原理。例3：求矩形调幅信号的傅立叶变换。解：设矩形脉冲的频谱函数为，则 由式（1）可得： 下图所示为矩形脉冲与矩形脉冲调幅信号的频谱。例4：求信号的傅立叶变换。解：设阶跃信号的频谱函数为，则 由式（1）可得： 下图所示为阶跃信号与阶跃调幅信号的频谱。七、微分特性（1）时域微分特性： 如果 那么 例题：设信号为三角脉冲信号，图形如图所示。求其傅立叶变换。解：用解析式可以表示如下： 即， 所以，将上式两边进行傅氏变换，同时应用时域微分特性，可得：所以，（2）频域微分特性： 如果 那么 或者 例题：设信号，求其傅立叶变换。解：因为，则根据频域微分特性，应有： 也即，两边同乘以，并注意到，即得： 八、积分特性如果 那么 其中：例题：试求如图所示之矩形波的积分的频谱函数。解：因为，实际上是幅值的矩形脉冲信号右移了。即， 所以，由于，利用积分特性可得： 综合利用性质举例：例1：已知，求其频谱函数解： 设 对称特性 尺度变换特性 线形特性 例2：已知，求其频谱函数解： 设 对称特性 线形特性 时域微分特性 线形特性 总结： 傅立叶变换的八个性质非常重要，通过灵活利用性质，不仅能够加深理解傅立叶变换的本质，同时也可以大大简化计算。需要注意的是，灵活运用性质的前提是必须牢记典型和常用信号的傅立叶变换。 教材P75页、表3.1 详细列出了傅立叶变换性质的对应关系。思考题： 已知，思考下列信号的傅立叶变换：(1);(2);(3);(4);(5)提示：（1）利用尺度变换、频域微分特性； （2）利用频域微分、尺度变换、时移特性； （3）利用时域微分、频域微分、尺度变换特性； （4）利用频域微分