刚体的转动.ppt

第5章刚体的定轴转动 引言 5 1刚体的定轴转动定律 5 2刚体定轴转动定律的应用 5 3定轴转动刚体的角动量守恒条件 5 4定轴转动刚体的功能原理 引言1 刚体运动按自由度分类 所谓自由度S 就是系统运动时独立变化坐标的数目 系统若是单个质点 则沿指定轨道运动时 S 1 质点被约束在一个已知曲面上运动时 S 2 质点不受任何约束时 S 3 要确定一个自由刚体的位置 可按以下步骤进行 A 1 在刚体上任选一个点A 称为基点 A点在空间的位置由3个独立坐标强度确定 S 3 2 过A点和刚体上任选的另一点B 作连线AB 确定AB轴的空间取向 需两个角坐标 S 2 A 3 最后确定刚体绕AB轴转过的角度 S 1 B A B 所以 自由刚体的自由度S 6 此刚体的位置已经唯一确定 质点由A点运动到B点 对o轴的角位移是 角速度是 对p轴的角位移是 角速度是 可见质点的绕轴角速度依赖于转轴的选择 是一个相对量 引言2 刚体角速度的特征 o p A B 刚体角速度指的是自转角速度 与单质点的绕轴角速度 单质点体积为零 没有自转 完全不同 刚体的自转角指的是 刚体上任意两点的连线相对于自身的转角 如图中的 它不依赖于转轴的选择 是一个绝对量 角速度为 A B 若刚体上任意两点的连线AB始终平行于自身运动 则称此刚体运动方式为平动 刚体作平动时 其上任意质点的轨迹可以是任意曲线 且所有质点的轨迹全同 A B t时刻 t t时刻 绿色刚体作平动 角速度为零 其质心绕o轴作圆周运动 o 绿色刚体的角速度与其质心绕o轴的角速度相等 o 月球的转动称为自转 其随质心绕地球的转动称为公转 图中绿色三角形为刚体初位置 红色三角形为末位置 现将以上位移分解成两步 先取B为基点 随基点平移到达虚线三角形位置 再绕基点B1转过角到达末位置 刚体的任意位移 刚体随基点A的平移 刚体绕基点的转动 A B C B1 演示 刚体任意位移的分解 也可换一种方式分解 先随基点C平移 再绕基点C1转过角 到达末位置 显然 A B C C1 可见 当刚体连续运动时 其运动可视为随基点的平动 绕基轴的转动 前者因基点而异 后者与基点无关 地球绕南北地轴的自转运动 可视为随地表B点的平动 绕过B点平行于地轴的轴的转动 O地心 z 向天空 x 向南 y 向东 赤道面 B 在北半球 地面有一个指向天空的自转角速度 纬度愈高 此角速度愈大 地面观察者看到 悬空的单摆的摆动平面会反方向旋转 角速度为 此称傅科摆 以B为原点的地表坐标系如图所示 地球自转角速度在地表坐标系中的z向分量是 太阳 地球公转轨道 o o A A1 A2 t 0 t T1 o t T2 A是赤道上某点 t 0时刻 太阳位于A正上方 此为当地时间中午12时 t T1时刻 地球自转角达到2 T1称为平均恒星日 但此时尚未达到次日中午12点 t T2时刻 地球赤道上A点再次出现在太阳正下方 T2称为平均太阳日 定义为24小时 T1 86141秒 23小时56分 地球自转角速度 上式中为作用于刚体的外力矩 为刚体的角动量 两者的参考点必须是同一个惯性点或刚体质心 5 1刚体的定轴转动定律 牛顿定律 若刚体上各质点均绕同一轴作圆周运动 而该轴固定不动 则称此运动方式为刚体的定轴转动 此种运动满足定轴转动的角动量定理 取转轴为z轴 刚体只能绕z轴转动 垂直于z轴方向的角动量分量皆为零 方程 1 只有其z向投影有意义 上式中是在垂直z轴方向的分量 我们来导出方程 2 左右两边的具体表达式 先导出外力矩的轴向投影Mz z o 在刚体上任取质元 mi 设作用于其上的外力为 在转轴上取一点O 惯性点或质心 为力矩与角动量的参考点 mi受的外力矩为 平行于z轴 是外力矩的z向分量 z o 垂直于z轴 垂直于z轴 z o 作用于刚体的总外力矩便是 于是得到外力矩的轴向分量 下一步推导刚体角动量在z轴方向的分量Lz z o 刚体上质元 mi的速度为 mi对o点的角动量为 其z分量为 刚体总角动量的z分量为 z 定义刚体对z轴的转动惯量 对质量连续分布的刚体 对于刚体 Jz是常量 动力学方程成为 转动惯量是转动问题中系统惯性的量度 上式可简写成 此称刚体定轴转动的转动定律 它与一维牛顿第二定律F ma对应 刚体定轴转动的动能表示式 z o 质元的动能 刚体的动能 它与平动动能对应 1 均匀圆环对于中心垂直轴 选取质量元dm 5 2 1几种典型刚体的转动惯量 相当于质量为m的质点对轴的J dm R 2 均匀圆盘对于中心垂直轴 利用上题结果dJ r2dm 解 可视圆盘由许多小圆环组成 r dr C r 3 均匀细杆对质心轴及边缘轴 C A m x x dx 可见 同一刚体对不同转轴的J不同 0 边缘轴 质心轴 对边缘轴 5 2 2计算转动惯量的几条规律 3 对薄平板刚体有垂直轴定理 2 平行轴定理 1 对同一轴可叠加 由 知 其他常用的转动惯量 R R R 例1 转轴O光滑无摩擦 初态静止 求杆下摆到 角时的角加速度 角速度和杆转轴受的力 初始位置 运动瞬间位置 mg 解 1 画出作用于杆的全部外力 2 关于O轴的转动定理 此处 解出 mg 因 是 的函数 此方程需变形 3 求刚体杆上转轴受的的约束力 杆质心作圆周运动 其法向运动方程为 刚体杆对过质心转轴的转动定理 将 5 6 1 代入 4 解出 刚体转轴受力 mg C 5 3定轴转动刚体的角动量守恒条件 1 若合外力矩的轴向分量为零 M 0 则刚体角动量守恒 J 常值 2 几个刚体绕同一定轴转动时 若合外力矩为零 则刚体系总角动量守恒 若对过质心轴合外力矩为零 则对该轴 刚体角量守恒 无论质心轴是否是惯性系 5 4定轴转动刚体的功能原理 刚体定轴转动中的动能定理 合外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量 只有保守力做功时 力矩的功 刚体的重力势能 hc是质心高度 用机械能守恒原理重解上题 转轴光滑 初态静止 求下摆到 角时的角加速度 角速度 用守恒定理比用转动定律简单 势能零点 解 非保守力不作功 杆机械能守恒 质心动能 刚体对质心动能 刚体动能的另一种表达式 科尼西定理 势能零点 刚体在惯性系中的动能 质心动能 刚体在质心系中的动能 内动能 5 4 1刚体的无滑动滚动 纯滚动 纯滚动条件 p点相对速度为零 刚体作平面平行运动时 质心作平面运动 刚体则绕过质心的垂直轴转动 在转动刚体与其他刚体的接触线上所有点 瞬间相对速度为零 此称纯滚动 例 两个质量和半径都相同 但转动惯量不同的柱体 在斜面上作纯滚动 哪个滚得快 x y mg C R f 质心运动方程的x向投影 绕质心转动的角动量定理 纯滚动条件 转动惯量小的滚得快 5 4 2进动 旋进 o mg C o是惯性点 在图示时刻 刚体自转角动量在xz平面内 重力mg对o点的力矩指向y轴正向 在dt时间内 刚体角动量增量沿方向 自转轴将向图面内倾斜 下一时刻类推 于是自转角动量扫出一个锥面 这种高速自转的物体 z x 的自转轴绕另一个轴缓慢转动的现象称为进动 方向与方向相同 dt时间内轴oo 转过d 角 44 对o点的重力矩 M mgr 角动量定理 进动角速度 p 炮膛内的来复线造成自转角动量 空气阻力对质心的矩使炮弹进动 保持弹头向前 5 4 3转动定律应用要点 3 解题步骤 2 确定转轴 4 定转向 列方程 2 特别注意 a 明确转动轴位置 b 选定转动的正方向 注意力矩 角速度 角加速度的正负 c 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴 第一类 已知运动规律求力矩M 微分法 第二类 已知力矩及初始条件 求刚体运动 积分法 1 两类问题 1 认刚体 3 分析力和力矩 解 轮作定轴转动 m作平动 二者用绳相连 因绳不可伸长 m的速度大小与轮边缘线速度大小相等 例1 己知定滑轮为均质圆盘 其上绕一细绳 绳一端固定在盘上 另一端挂重物m 重物从静止开始下落 绳与轮无相对滑动 绳不可伸长 轮半径R m下落时间t v0 0 下落距离h 求 轮对O轴的转动惯量J 定轴O 对轮 对m 定轴O T a 纯滚动条件 下落时间与行程的关系 联立解得圆盘转动惯量 4个方程可解出T J a 例2 如图 设滑块A 重物B及滑轮C的质量分别为MA MB MC 滑轮C是半径为r的均匀圆板 滑块A与桌面之间 滑轮与轴承之间均无摩擦 轻绳与滑轮之间无滑动 A B 3 滑轮C与重物B之间绳的张力T2 求 1 滑块A的加速度a 2 滑块A与滑轮C之间绳的张力T1 a a 解 A B a a C 解方程组得 注意到T2 T1 这是定滑轮质量MC 0的必然结果 T1 T2 定滑轮C有指向图内的角加速度 按转动定律 应有指向图内的静摩擦力矩 T2 T1 r 若MC 0 则 例3 己知质量为m 半径为R的均匀圆盘 初角速度 绕中心轴逆时针转动 空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度 即 不计轴承处的摩擦 解 不同r处盘面速度不同 力臂也不同 面元的速度为 受切向阻力为 求 圆盘停止转动时所转过的圈数N O 考虑到圆盘的上下两面 阻力对转轴的力矩为 负号表示与初始角速度反向 R O 总阻力矩 R 随着角速度的变小 阻力矩也在变小 利用刚体定轴转动定律 即 分离变量 积分 例4 质量为M 半径为R 水平放置的均匀圆盘以角速度 1绕垂直于圆盘并通过盘心的光滑轴转动 m v R M 有一质量为m的小物块以速度v垂直落在园盘的边沿并粘在盘上 求 1 小物块粘在盘上后 盘的角速度 2 2 小物块在碰撞过程中受到的冲量的方向及大小 m v R M 解 1 以m M为一个系统 过程中其所受外力矩为零 故角动量守恒 碰前m对轴的角动量为零 但其动量不为零 解 2 求I应用动量定理 碰撞前后m动量方向不同 分方向讨论 思考 碰撞过程中动能是否守恒 方向向上 方向沿切线 平行于轴方向 垂直于轴方向 例5 如图 一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转 初始时 圆盘处于静止状态 一质量为m的粘土块从h高度处自由落下 与圆盘碰撞后粘在一起 之后一起转动 已知 M 2m 600 求 碰撞后瞬间盘的 P点转到x轴时圆盘的 解 1 m自由下落 碰撞 t极小 对m 盘系统 冲力远大于重力 故重力对O力矩可忽略 角动量守恒 解 2 对 m M 地球 系统 只有重力作功 机械能守恒 取P x重合时Ep 0 由 1 2 解得 由和 3 4 5 解出 由转动定律和 5 式 有 例6 质量为M的匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转 轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连 另一端与质量为m的物体相连 弹簧另一端固定在地面上 轻绳与盘无滑动 系统处于静止状态 此时一质量为m0的小物块从h高度处自由落下 与m碰撞后粘在一起 求 m下降的最大位移s h m0 S 解 m0的质量很小 整个过程分成两个阶段 第一阶段 m0与m碰撞 但碰撞过程未引起m的明显移动 第二阶段 m0与m一起下降 h m0 S 计算m0与m碰撞前的速度v0 第一阶段 取M m m0为系统 第一阶段角动量守恒 碰前m0对转轴角动量 碰后m0 m对转轴角动量 碰后圆盘对转轴角动量 此处 38 只有保守力做功 此阶段机械能守恒 取下落s处为重力势能零点 化简以上一元二次方程 即可解出S 其中x0为m下降前弹簧的伸长量 且mg kx0 h m0 S 第二阶段 取M m m0 弹簧和地球为系统 初始重力势能 圆盘初动能 弹簧初势能 末态重力势 m m0初动能 注意 易犯的两个错误 1 不分过程 从小物块m0下落开始 到发生碰撞 再到碰后系统下降的整个过程笼统处理 对全过程应用机械能守恒 完全非弹性碰撞 机械能有损耗 2 对小物块m0与m的碰撞过程 对M m m0系统应用动量守恒 第5章第一次作业 5 4用矢量微商法则求地表某点P对地心的速度和加速度 5 10计算刚体的转动惯