含绝对值的不等式解法,一元二次不等式解法.doc

含绝对值的不等式解法，一元二次不等式解法。 重点 理解绝对值的几何意义，掌握|ax+b|c(c0)型的不等式解法；利用二次函数图象，掌握一元二次不等式解法，弄清一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系。 难点 含有两个绝对值的一次不等式解法，对含有字母系数的一元二次不等式的分类讨论求解。 教材分析 |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是x|-axa (a0)的解集是x|xa或x-a。把不等式|x|a (a0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c (c0)型的不等式的解法。 一元二次不等式ax2+bx+c0(或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。 求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。 x2+3x-40 (x+4)(x-1)0 或 或 -4x1或。 原不等式解集为x|-4x1。 x2+3x-40 (x+)2 |x+| -x+ -4x1。 原不等式解集为x|-4x1。 例题分析与解答 例1解关于x的不等式|ax-2|4，其中aR。 分析与解答：|ax-2|4属于|x|0)型。 -4ax-24, 不等号各端加2，得-2ax0时，-x，当ax, 当a=0时，不等式化为20时不等式解集是x|-x，a0时不等式解集是x|x-，a=0时不等式解集是R。 例2解不等式|x-3|-|2x+3|2。 分析与解答 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。 (1) -4x-。 (2) -x-。 (3)。 综上，原不等式的解集为x|-4x-x|-x-=x|-4x-。 例3解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a0,其中aR。 分析与解答 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)20,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。x2+(2-a)x-2a0 (x+2)(x-a)-2时，原不等式解集是x|-2xa。 当a-2时，原不等式解集是x|ax0的解是-3x1，求关于x的不等式cx2+(a+b)x+6(b-a)0的解集是-3x1。 y=ax2+bx+c的图象开口向下，a0。 且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根， -3+1=-，即=2, -31=，即=-3， b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a0, a0， x2-x-20, (x-2)(x+1)0, -1x2，原不等式解集为x|-1x2。 另法： a0, 将=-3，=2，代入得-3x2+3x+60，即x2-x-20，其中aR。 分析与解答 a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。 当a=0时，不等式化为8x+10。不等式的解为x|x-,xR。 当a0时，由=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。 (1)若0a16时，0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为，。 不等式的解为x|x。 (2)若4a16时，0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相离，不等式的解为R。 (3) 若a=4时，=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为x|x-,xR。 (4) 若a=16时，=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为x|x,xR。 (5) 若a0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是, 不等式的解集是： x|x。 本周参考练习 1关于x的不等式|ax+1|b的解是-x，求a，b的值。 2解不等式1|x-2|7。 3不等式ax2+bx+c0的解为x，其中0的解。 4不等式x2-ax-6a0的解为x，且-5(),求实数a的取值范围。 参考答案： 1解：由|ax+1|b, -bax+1b， -b-1axb-1。当a0时，x。 , 不满足a0,舍去。当a0时，x。 当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。 2解由1|x-2|7,1x-27或-7x-2-1。 3x9或 -5x1。 3解：必有a0的解为x，+=-,