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山西工程职业技术学院数学建模竞赛论文答卷题目：日常生活当中的数学模型参赛学生：专业 计算机网络技术姓名贾慧斌 班级：网10 专业计算机网络技术姓名 胡珊 班级：网10 专业计算机网络技术姓名 柴欣 班级：网10二一年六月六日贷款购房的数学模型摘要目前，银行的个人住房贷款的还款方式主要有等额本息和等额本金两种方式。等额本息是本金逐月递增，利息逐月递减，月还款数不变。等额本金是本金保持相同，利息逐月递减，月还款数递减。适合于有计划提前还贷。利息少的是等额本金方式的还款。二者的主要区别在于，前者每期还款金额相同，即每月本金加利息总额相同，客户还贷压力均衡，但利息负担相对较多；后者又叫“递减还款法”,每月本金相同,利息不同,前期还款压力大,但以后的还款金额逐渐递减,利息总负担较少。在这里我们研究第一种还款方式，找出贷款本金的变化方式，我们通过对数据的分析发现贷款本金是以等比的形式进行变化，从而很容易得出贷款购房的模型。建模问题：王师傅自有资金280000元，家庭收入是4800元，家庭生活月支出2100元，（1） 根据题中已知的条件，试建立关于购房标准的数学模型；（2） 根据建立好的模型，求解出王师傅应该购买什么标准的房子？1建模假设（1） 购房者在贷款购房后每个月要向银行支付一定的还款（即贷款本金+利息），此还款额一定。（2） 每个月的还款额当中有一部分是利息还有一部分是贷款，假设贷款部分之间存在一种关系。（3） 购房者的购房规格由他的贷款额和他所拥有的资金决定；（4） 假设购房者在十五年内的月家庭收入，月支出恒定不变。（5） 引用符号说明：a 为一个数列；b为该够房者的月家庭收入；c为该够房者的生活月支出；d为购房者所拥有的资金；e 为每平方米的销售价格；m为该够房者月还款额；x为该够房者的贷款额；y 购房者所能购买的平方米数。2 模型建立购房者每个月都需要向银行还m元；第一个月时:； 第二个月时：；第三个月时：;第四个月时；;第n个月时：；3模型求解 和 联立有： 和 联立有：n-1和 n联立有: 所以数列a是等比数列，且公比为q；每个月所还贷款额的总和为x；则有：；（1）由式可得：；（2）由（1）式和（2）式联立有：；整理化简得： ；所以该够房着购房所用的资金为：;月恒定还款额：；公比q=1.01:；购房者所能购买的平方米数： ；15年还清贷款有：；每平方米的销售价格e为3200元；所以2）王师傅自有资金280000元，家庭收入是4800元，家庭生活月支出2100元，由上述模型可得：（平方米） 4模型问题解释 1在建好模型后，对数据进行分析时发现贷款本金是以等比的形式进行变化的，每个月的贷款本金的累加就是总的贷款的金额，根据这些关系就可以得出结果。 2 在问题当中已经给出我们在第一问中的未知量，可以直接代入模型进行求解。5模型评价 由于个体购房户的家庭收入，月支出受到诸多方面的影响，如金融危机，家庭成员的意外消费。我们在建立模型时都将其忽略。还有购房的标准我们只能求出比较具体的平方米数，但是在实际的购房当中每套房子的规格都有一个固定的标准，我们的求解也只能让其在一个狭小的范围内购房。 不同科室成绩比较模型摘要不同的科室之间由于评分人的不同而使成绩产生差异，其中不同的人所打出来的分值的最大值与最小值的差也不相同，为了实现他们的纵向比较我们在这里利用一函数图像对他们的差异进行调解，而这种调节为了实现得公平，我们借助斜率为1的函数对其进行转化。从而可以实现他们的纵向比较。但是由于两个科室之间的最大值与最小值的差值不同，需要对其进行扩增和压缩，使其近似相同。在扩增和压缩的时候，我们假设他的平均值与他的最大值和最小值的二分之一相等。科员编号选项评分第一科室ABC178826688286766890364708888468667684582928678第二科室69290889679886949588794959499090929610929488981189909496表一表二建模问题： 两个科室由于评分人的评分标准不同，使得两个科室的成绩无法实现纵向比较，要解决的问题是如何调整数据，可以实现两科室成绩的纵向比较?1建模假设（1） 假设每个科室的平均值与他的最大值和最小值的二分之一相等；（2） 评分过程当中不存在人为因素的影响；（3） 引用符号说明： 为第一科室的最大值与最小值的差;为第二科室的最大值与最小值的差;为第一科室的平均值；为第二科室的平均值；E为第一科室和第二科室总成绩的平均值；2模型建立将,，平均分成n段，将中的每一小段分别都加到，所对应的每个小段上。将他们的平均值看作是对称轴，将各个点进行对应变化如下：1当时，对第一科室的成绩进行压缩，第一科室的所有的成绩都进行如下变化；对第二科室的数据进行扩增，第二科室的所有的成绩都进行如下变化；2当时，对第一科室的成绩进行扩增，第一科室的所有的成绩都进行如下变化；对第二科室的数据进行压缩，第二科室的所有的成绩都进行如下变化；对第一科室和第二科室的成绩进行变化后，每个科室的最大值与最小值的差可近似看做相等，此时我们利用y=x就可以实现他们的纵向比较。将他们的对应段的函数进行上下平移，使他们的中心与y=E重合。分别求出平移后的函数表达式（变化可由表二解释）。3模型求解：以表一给出的数据我们可以得出，=26；=12；=78.8；=92.4；根据模型，我们对第一科室的成绩进行压缩得：第一科室ABCD178.2 81.1 69.4 85.5 284.1 76.8 70.9 87.0 368.0 72.4 85.5 85.5 470.9 69.4 76.8 82.6 581.1 88.4 84.1 78.2 对第二科室的成绩进行扩增得：第二科室691.8 88.6 85.4 98.1 7101.3 82.3 94.9 96.5 883.8 94.9 96.5 94.9 988.6 88.6 91.8 98.1 1091.8 94.9 85.4 101.3 1187.0 88.6 94.9 98.1 经变化以后，两科室的成绩中最大值与最小值的差近似相等。此时我们就可以利用y=x求解了。科室一：;得：第一科室ABCD185.0 87.9 76.2 92.3 290.9 83.6 77.7 93.8 374.8 79.2 92.3 92.3 477.7 76.2 83.6 89.4 587.9 95.2 90.9 85.0 科室二：;得：第二科室685.0 81.8 78.6 91.3 794.5 75.5 88.1 89.7 877.0 75.5 89.7 88.1 981.8 81.8 85.0 91.9 1085.0 88.1 78.6 94.5 1180.2 88.8 88.1 91.3 此时对他们的成绩进行汇总（得到如上两表），就实现了两科室成绩的纵向比较。4模型问题解释：对函数进行扩增和压缩的时候，我们把平均分成n份，然后再加到每一个，所对应的每个小段上，再将他们的平均值看作是对称轴进行对应点的变化。左边对应的点都加上：，右边对应的点都减去：;这样就实现了扩增，反之就可实现压缩。5模型评价：本模型通过对数据的扩增和压缩实现不同数据