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对称性与守恒定律 齐曙光 摘要 本文对在量子体系下的对称变换及其性质作了简单的介绍 详细的分析了对称变换与守恒量以及不可测量量的关系 并且对时 空对称性导致动量 角动量 能量守恒作了详细分析 并给出了现在物理学中一些重要的对称性和守恒律的简介 关键词 量子体系对称性守恒定律 一 引言 对称性是自然界最普遍 最重要的特性 近代科学表明 自然界的所 有重要的规律均与某种对称性有关 甚至所有自然界中的相互作用 都具 有某种特殊的对称性 所谓 规范对称性 实际上 对称性的研究日趋 深入 已越来越广泛的应用到物理学的各个分支 量子论 高能物理 相对 论 原子分子物理 晶体物理 原子核物理 以及化学 分子轨道理论 配位 场理论等 生物 D N A 的构型对称性等 和工程技术 何谓对称性 按照英国 韦氏国际辞典 中的定义 对称性乃是分界 线或中央平面两侧各部分在大小 形状和相对位置的对应性 这里讲的 是人们观察客观事物形体上的最直观特征而形成的认识 也就是所谓的几 何对称性 关于对称性和守恒定律的研究一直是物理学中的一个重要领域 对称 性与守恒定律的本质和它们之间的关系一直是人们研究的重要内容 在 经典力学中 从牛顿方程出发 在一定条件下可以导出力学量的守恒定律 粗看起来 守恒定律似乎是运动方程的结果 但从本质上来看 守恒定律比 运动方程更为基本 因为它表述了自然界的一些普遍法则 支配着自然界 的所有过程 制约着不同领域的运动方程 物理学关于对称性探索的一个 重要进展是诺特定理的建立 定理指出 如果运动定律在某一变换下具有 不变性 必相应地存在一条守恒定律 简言之 物理定律的一种对称性 对 应地存在一条守恒定律 经典物理范围内的对称性和守恒定律相联系的诺 特定理后来经过推广 在量子力学范围内也成立 在量子力学和粒子物理 学中 又引入了一些新的内部自由度 认识了一些新的抽象空间的对称性 以及与之相应的守恒定律 这就给解决复杂的微观问题带来好处 尤其现 在根据量子体系对称性用群论的方法处理问题 更显优越 在物理学中 尤其是在理论物理学中 我们所说的对称性指的是体系 的拉格朗日量或者哈密顿量在某种变换下的不变性 这些变换一般可分 为连续变换 分立变换和对于内禀参量的变换 每一种变换下的不变性 都对应一种守恒律 意味着存在某种不可观测量 例如 时间平移不变性 对应能量守恒 意味着时间的原点不可观测 空间平移评议不变性 对应动 量守恒 意味着空间的绝对位置不可观测 空间旋转不变性 对应角动量守 恒 意味着空间的绝对方向不可观测 等等 在物理学中对称性与守恒定 律占着重要地位 特别是三个普遍的守恒定律 动量 能量 角动量守 恒 其重要性是众所周知 并且在工程技术上也得到广泛的应用 因此 为 了对守恒定律的物理实质有较深刻的理解 必须研究体系的时空对称性与 守恒定律之间的关系 本文将着重讨论非相对论情形下讨论量子体系的时空对称性与三个 守恒定律的关系 并在最后给出一些我们常见的对称变换与守恒定律的简 单介绍 二 对称变换及其性质 一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性 在经典力学里 运 动规律由拉格朗日函数决定 因而时空对称性表现为拉格朗日函数在时空变 换下的不变性 在量子力学里 运动规律是薛定谔方程 它决定于系统的哈密 顿算符A 因此 量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符n 的不变性 对称变换就是保持体系的哈密顿算符不变的变换 在变换s 例如空间 平移 空间转动等J 下 体系的任何状态I I 变为巾 y 呻矿 知 1 设O 为一个任意算符 它作用在l 上得到中 i b o 2 经过变换S 以后 应有 晷 m I 3 用S 作用在 2 式上 得到 陆 如 o 4 再定义逆变换 为 1 于是 中 i D 知 i 西 一 5 s l 式和 3 式比较可见 马 b i 6 1 和 6J 式分别是在变换s 下 波函数t l f 和算符F 的变换规律 而且 对称变换S 具有如下两个性质 1 与H 对易 即 丹 0 2 S 为幺正算符 即 l 一 三 对称变换与守恒量的关系 经典力学中守恒量就是在运动过程中不随时间变化的量 从此考虑过 渡到量子力学 当S 是厄米算符 则S 表示某个力学量 而 i d S 如骨一I 瓤 骨 0 7 所以 S 是守恒量 然而 当S 不是厄米算符 则S 就不表示力学量 但是 若 为连续变换 时 我们就很方便的找到了力学量守恒 设S 是连续变换 于是可写成为S 1 I h F x 为一无穷小参量 当入 加 时 为恒等变换 考虑到除时间反演外 时空对称变换都是幺正变换 所以 i 1 以争朋一以妒 l 以 一妒 8 I 8 式中忽略x 的高阶小量 由上式看到 妒 9 即F 是厄米算符 F 称为变换算符S 的生成元 由此可见 当S 不是厄 米算符时 s 与某个力学量F 相对应 再根据f 对1 o 和 l m 哥珂得 哥 昏 0 1 0 可见F 是体系的一个守恒量 从上面的讨论说明 量子体系的对称性 对应着力学量的守恒 下面具 体讨论时空对称性与动量 能量 角动量守恒 1 空间平移不变性 空间均匀性 与动量守恒 空间平移不变性就是指体系整体移动8 时 体系的哈密顿算符保持不 变 当没有外场时 体系就是具有空间平移不变性 设体系的坐标酐平移到r 西 那么波函数币 变换到l I J r y t f 删f 1 l 为平移算符 由于波函数t l 茬7 处和巾商处应该是一样 所以 y J 妒 1 2 采矗换质替换J 菥 g r 也一样 上式变为 P p y 一占 1 3 将上式右边作三维的泰勒展开 0 9 2 0 0 81 0 9 万方数据 矿 茹一睁瓣矿睁去 蕊努r 罗除 羹单f V1 i 黝 1 7 7 将 王3 式靼 挂 式健天 1 1 式审 舞褥霎 叫德审戎入 褥 中 乎一 砷 y F 一占 矿御y 一妒国 比较上我的两端 所以平移葬符为 瓠 妻体系其寄空麓 势夺受牲 巅长 怒对称受换 蓉 轻对耪 群 卜咐枷小 蠢瓯箨 阳 o 郫平穆算符童 的咎成元 足 午恒缝 空间旋转不变性就是指体系整体绕任意疥旋如时 体系的哈密顿 算符不变 当体聚处于中心对称场或无外场时 体系舆有空间旋转不 变蠖 我体系豹矢镪 沿 辅旋转硒 帮 历 二酗 臻变先 1 十茹 褥她酵戋 径 蛐点移动 西 茹x 悖 式巾菇熬寿翱臻巍予再 冬 掰程静警匿 箨么 靛癞羲矿f 变换翔y q y 一拶 2 0 蓉轴为蓬转箕符 簪推算平移冀簿稿鞴 波蠡数在 鞋盈在 一艿 链蒹 样 所鞋鞋 矿p 描铲 i y i 一艿 2 把 1 9 式代入 1 4 式中 即樽 蓉鼎 矿 一疥 怿p 矿 2 2 0 州P 霉枣 毽 三矢鼙港台蘩投瓣公式簪 器净 舔丢x t 于是 2 2 式鳟激改霉鸯 一矽 i 9 蛔 2 3 t r 砖 奎拍 f 和 2 4 当体系其寄宅婀旋转小蹙牲 别 垦对称蹙撬 s 蹿与蛀辩骆 簿 陆骑 P 卟 c 2 5 由北褥 豫嗣 0 2 6 所以 转动肆村氩 柏 成庀Z 魁守怕母 3 时间平移不变性与能量守恒 时闻平移不变性就是接体系终时阉平移拜重 其哈整顿葵符不变 卷体 系赴于不变外场或浚有铃场时 镶系羽蹬密顿冀捋与嚣阏无关 a 时 钟志成 应用群伦导引 2001 3 A W 约什 物理学中的群伦基础 1982 4 W 顾莱纳 B 缪勒 量子力学 对称性 2002 5 于祖荣 核物理中的群论方法 1993 6 卓崇培 刘文杰 时空对称性与守恒定律 1982 7 曾谨言 钱伯初 量子力学专题分析 1990 8 李政道 场论与粒子物理 1980 9 曾谨言 量子力学导论 1998 10 刘连寿 理论物理基础教程 2003 本文读者也读过 10条 本文读者也读过 10条 1 胡先权 丁朝远 空间平移不变性与动量守恒的严格证明 期刊论文 重庆师范学院学报 自然科学版 2001 18 3 2 罗海东 时空对称性及守恒定律 期刊论文 青海师范大学学报 自然科学版 2003 1 3 向永红 刘国芳 XIANG Yong hong LIU Guo fang 浅谈大学物理中的 对称性 与力学三大守恒定律的关系 期刊 论文 天津成人高等学校联合学报2005 7 2 4 李质勇 LI Zhi yong 时空对称性与力学守恒定律 期刊论文 齐齐哈尔大学学报 自然科学版 2006 22 3 5 张容 时空对称性与力学守恒定律 期刊论文 西南民族学院学报 自然科学版 2002 28 3 6 杨慧 Yang hui 对称性对哈密顿算符的研究 期刊论文 科技信息2009 1 7 李建荣 LI Jian