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平面几何问题【几何图形的十种解法】1、 添加辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。求阴影部分面积。解：从P点向4个顶点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。S阴4428（平方厘米）例2：将图中平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。梯形下底是多少厘米？解：添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。所以梯形下底：4085（厘米）例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。求阴影部分的面积。解：如图连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分只三。S阴488318（平方厘米）2、 分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。 （单位：厘米）解：将图形分割成两个全等的梯形。S组（727）222 24（平方厘米）；例2：两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。解：将图形分割成3个三角形。S552582（85）52 12.5207.5 38（平方厘米）；例3：图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。求阴影部分面积。解：将阴影部分分割成两个三角形。S阴8（86）2862 562480（平方厘米）；3、 倍比法例1：已知：OC2AO，SABO2m2，求梯形ABCD 的面积。解：因为OC2AO，所以SBOC224（m2）； SDOC428（m2）； S梯形242818（m2）；例2：已知：S阴8.75 m2，求图中梯形的面积。解：因为7.52.53（倍）； 所以S空3 S阴； S8.75（31）35（m2）；例3：图中AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？解：设三角形ADE面积为1单位。 则SABE133；SABC3515； 所以三角形ABC的面积是三角形ADE的15倍。4、 割补平移例1：已知：S阴20 m2，EF为中位线，求梯形ABCD的面积。解：沿着中位线分割平移，将原图转化成一个平行四边形。从图中看出，阴影部分面积是平行四边形面积一半的一半。S梯形202280（m2）；例2：求右图面积（单位：厘米）解1：SS平行四边形 10（55） 100（平方厘米）；解2：SS平行四边形 S长方形 5（1010） 100（平方厘米）；例3：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。求原长方形的周长。解：C（2422）220（厘米）；5、 等腰直角三角形例1：已知长方形周长为22厘米，长7厘米，求阴影部分面积。解：b22274（厘米）； S阴（7（74）4220（平方厘米）； 或S阴7444220（平方厘米）；例2：已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别是10厘米和6厘米。求阴影部分的面积。解：1064（厘米）；642（厘米）； S阴（62）4216（厘米）；例3：长方形长9厘米，宽6厘米，求阴影部分面积。解：三角形BCE是等腰三角形； FDED963（厘米）； S阴（93）6236（平方厘米）； 或S阴99233236（平方厘米）；6、 等量代换例1：已知：AB平行于EC，求阴影部分面积。解：因为AB/EC，所以SAOESBOC； 则S阴0.5 S长方形108240（m2）；例2：图中两个正方形边长分别是6分米、4分米。求阴影部分面积。解：因为S1S2S3S2642；、 所以S1S3； 则S阴66218（平方分米）；例3：已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。解：SBDFSABCS四边形ADFC； SCEFSADES四边形ADFC； 因为SABCSADE； 所以SBDFSCEF；7、扩倍、缩倍法、例1：如图：正方形面积是32平方厘米，直角三角形中的短直角边是长直角边的四分之一，三角形面积是多少平方厘米？解：将正方形面积扩大2倍为64平方厘米；6488则a8（厘米），b842（厘米）；那么，S8228（平方厘米）；还原缩倍，所求三角形面积824（平方厘米）。例2：求右图的面积（单位：米）。解：将原图扩大两倍成长方形，求出长方形的面积后再缩小两倍，就是原图形面积。S（4030）3021050（平方米）例3：图中每个小方格都是面积为3平方厘米的正方形。求阴影部分面积。解：先将3平方厘米缩小3倍，成1平方厘米。面积是1平方厘米的正方形边长是1厘米。将图形分割成两个三角形，S3223124.5（平方厘米）；再将4.5扩大3倍，S阴4.5313.5（平方厘米）；8、看外高例1：右图两个正方形的边长分别是6厘米和3厘米，求阴影部分面积。解：从左上角向右下角添条辅助线，将S阴看成两个钝角三角形。（钝角三角形有两条外高）S阴3（63）236222.5（平方厘米）例2：右图长方形长10厘米，宽7厘米，求阴影部分面积。解：阴影部分是一个平行四边形。与底边2厘米对应的高是10厘米。S阴10220（平方厘米）例3：正方形ABCD的边长是18厘米，CE2DE。（1）求三角形CEF的面积；（2）求DF的长度；解：BCF是一个钝角三角形，EFC也是一个钝角三角形 EC18（21）212（厘米）；（1）SCEF181821218254（平方厘米）；（2）DF542129（厘米）；【几何图形的几大定理与模型】1、 鸟头模型:1) 共角三角形：两个三角形中有一个角相等或者互补（其中互补是两个角相加和为180），这两个三角形叫做共角三角形。2) 同角鸟头模型（有一个角相等）3) 互补鸟头模型（两个角互补）4) 结论：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比；上图中ABC和ADE为共角三角形，BAC和DAE为对应角，BAC的夹边为AB和AC，DAE的夹边为AD和AE，所以2、 燕尾模型1) 翅膀之比等于尾巴之比：；2) 翅膀面积和：尾巴面积翅骨：尾骨，即；3) 模型特征：三角形内有一点，这个点连接三个顶点；3、 等高模型等高模型：三角形高相等，面积之比等于底之比。即;4、 等积模型1) 等底等高的两个三角形面积相等；2) 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACDSBCD；反之，如果SACDSBCD，则可知道线AB平行于CD；3) 等底等高的两个平行四边形的面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；4) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；5) 两个平行四边形高相等，面积之比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积之比等于它们的高之比；5、 蝴蝶定理1) 风筝模型（丑蝴蝶）任意四边形结论一：或S1S3S2S4；即 上下左右；结论二：；即 头：尾头骨：尾骨；2) 梯形蝴蝶模型（特殊的风筝模型）结论一：风筝模型理论都适用；结论二：翅膀相等，即S2S4；结论二：S1：S3a2：b2；结论三：S1：S3：S2：S4a2：b2：ab：ab；3) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。6、 勾股定理1) 勾股定理的基本公式：直角三角形中，两直角边平方和等于斜边的平方，即a2b2c2；a、b为两个直角边，c为斜边；2) 勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足a2b2c2,则这个三角形是直角三角形，其中c为斜边；3) 常见勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（9，12，15）、（12，16，20）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（10，24，26）、（15，20，25）；即（3k）2（4k）2（5k）2；（5k）2（12k）2（13k）2；4) 常用计算公式：a) 完全平方公式：（ab）2a22abb2；b) 平方差公式：a2b2（ab）（ab）；5) 例题a) 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？b) 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里【平面图形面积计算】1、 基本规则图形面积计算1) 长方形面积长宽；Sab；2) 正方形面积边长边长；Sa2；正方形面积对角线对角线2； 3) 平行四边形面积底高；Sah；4) 三角形面积底高2；Sah2；5) 梯形面积(上底+下底)高2；S(ab)h2；6) 圆形面积半径半径；S