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与图形运动有关的综合题解析宜良八中 王贵清在初中阶段，我们学习了三种图形的基本运动。它们分别是平移、旋转和翻折。这三种运动都有一个共同的特点：那就是运动前的图形与运动后的图形是全等的，也就是说运动前后的图形中，相应的对应角和对应边都是相等的。当然每一种运动都有着各自特有的一些特征，而我们就是要利用这些特征去解决不同的问题，下面我们就分别来看：首先是平移，平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。平移中，图形上的每一个点移动的方向和距离都是相同的；平移后，新图形与原图形个对应点的连线平行且相等；新图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等。让我们看一个例子：例、如图1，已知ABC中，C=90，AB=10，DEF中，D=90，DE=DF=4，且点D与点A重合，点E在CA的延长线上，将DEF沿射线AC方向平移，设点D与点A的距离为，DEF与ABC重叠部分的面积为。求：（1）边AC的长。（2）当取什么范围时，重叠部分的面积大于零； 当取什么范围时，重叠部分的面积最大；（3）取什么范围时，重叠部分的形状是三角形；（4）当重叠部分的形状是四边形时，求出关于的函数解析式，并写出定义域。 首先本题的第（1）小题，利用三角比的知识很快就可以得出： 图1AC=AB 第（2）小题，通过画图不难发现：当图形开始运动（即）后，至点E到达点C之前，重叠部分的面积都是大于零的，点E到达点C时，即平移距离就是图1中EC的长， 所以第一问的取值范围是而运动过程中，重叠部分面积最大的情况就是DE边完全落在AC边上时，此时，重叠部分就是DEF，这个过程从点E到达点A开始（此时），点D 到达点C结束（此时） 所以第二问的取值范围是 第（3）小题，重叠部分形状是三角形，有两种可能，一种是开始运动（即）后，至点F到达AB边上时（如图2），此时FDAC于点D，且FD=4，根据不难求出，另一种是从点E到达点A开始，至点E到达点C之前，所以综上所述当或时，重叠部分形状是三角形第（4）小题，有前面的问题的解答过程可以知道：当时，重叠部分的形状是四边形（如图3），此时不妨设EF与AB交于点G，设图2中点F的位置为点，点D的位置为，则的长度是从图2的位置又向右平移的距离即，而要求四边形AGFD的面积，可以用DEF的面积AEG的面积，其中DEF的面积，而求AEG的面积需要作GHAC于点H，/EA，由合比性质得：，又GH/， ，又， AEG的面积 定义域：本题解答过程中，所用到平行关系和很多线段的长度就是典型的对图形平移的性质的应用。下面让我们来看图形的旋转。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动。其中对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等，都等于旋转角。让我们通过一个例题来看：例、直角三角板ABC中，A=30，BC1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且 90），得到Rt，（1）如图4，当边经过点B时，求旋转角的度数；图4（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE交边于点E，联结BE.当时，设，求与之间的函数解析式及定义域；（3）当时，求的长. 第（1）小题，由题意和旋转的性质不难得出ABC=B=60,CB=CB，所以CBB是等边三角形BCB就等于旋转角=60 第（2）小题， 当时，点D在AB边上（如图）. DE， 由旋转性质可知，CA =，CB=， ACD=BCE. ， . CADCBE. . 又A=30 . （02）分两种情况讨论，首先当时，点D在AB边上 AD=x，DBE=90. 此时，. 当S =时，. 整理，得 . 解得 ，即AD=1. 当时，点D在AB的延长线上（如图）. 仍设AD=x，则，DBE=90. . 当S =时，. 整理，得 .解得 ，（负值，舍去）. 即. 综上所述：AD=1或.三、翻折翻折是指把一个图形按某一直线翻折180后所形成的新的图形的变化。翻折特征：除了翻折前后的两个图形全等，对应边、对应角相等以外，翻折还有这样的性质：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴，那么每一对对称点的连线段会被对称轴垂直平分。下面我们通过两个例题来看： 例、如图，已知四边形ABCD中，DC / AB，AD=BC，DC=12，AB=20，作DHAB，垂足为H，点E是线段HB上一动点，以E为圆心，EA为半径作E，E与线段DC相交于点F，设AE=x，DF=y，AECBDHF(1)当EF / AD时，求AE的长；(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)将ADF沿AF所在的直线翻折，点D落在平面上的 处，当E=1时，试求AE的长。解：第（1）小题：当EFAD时，DFAE四边形AEFD是平行四边形又EA=EF 四边形AEFD是菱形EA=AD在四边形ABCD中，DCAB,AD=BC, DC=12，AB=20，AHABAH=4在RtADH中， DH=3AE=AD=5第(2)小题:利用垂径定理和勾股订立我们可以解决：联结EF, 作EMDC于点ME在线段HB上，且OE与线段DC仅有一个公共点点D、F在直线EM的两侧在RtEMF中，MF=DM=HE=x-4DF=DM+MF 定义域： 4x第（3）小题：若不能发现点D在什么特殊的位置，此问就无从下手，考虑到翻着前后图形的对应边、对应角相等，我们可以这样来做:联结AF,可得DFA=EFA则D必落在射线FE上当DE=1时，有x-y=或y-x=当x-y=1时，AE=当y-x=1时，AE=让我们再来看下一个：例、如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE/ BC，交AD于点E（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以PE为半径的E与DB为半径的D外切时，求的正切值；备用图DCBA（3）将ABD沿直线AD翻折，得到AB/D，联结B/C如果ACE=BCB/，求AP的值EPDCBA解：第（1）小题用平行线分线段成比例定理不难解决。在RtABC中，AC=4，CD=3，AD=5， PE/ BC，,， ,，即，（）第（2）小题，根据两圆外切的性质我们可以知道：当以PE为半径的E与DB为半径的D外切时，有DE=PE+BD，即， 解之得， PE